1、专题四函数与导数第1讲函数的图象与性质1. (3,+)【解析】依题意知,不等式f(x)f(2x-3)等价于x3,即满足f(x)0时,由对称轴可知-2,即m;当m0时,不满足.综上,实数m的取值范围是.3. 0【解析】由已知等式得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的函数,所以f(6)=f(2).由f(x+2)=-f(x),得f(2) =-f(0).因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(6)=0.4. 1【解析】由题意可知,f=f=f=-4+2=1.5. 4-2a,9-3a)27-3a,64-4a)【解析】当x2,3)时,x=2,所以f(x)=x2-a
2、x=-.由a4,得f(x)4-2a,9-3a).当x3,4)时,x=3,所以f(x)=x3-ax,由f(x)=3x2-a,且a4,可得f(x)27-3a,64-4a).综上,函数的值域为4-2a,9-3a)27-3a,64-4a).6. 【解析】当x-1,0时,-x0,1,所以f(-x)=-x=f(x),周期为2,所以根据数形结合有即0kf(1),只能推出f(x)不是R上的单调减函数,不能说明f(x)是单调增函数.8. 【解析】因为当0xa2时,f(x)=(a2-x+2a2-x-3a2)=-x;当a2x2a2时,f(x)=(x-a2+2a2-x-3a2)=-a2;当x2a2时,f(x)=(x-
3、a2+x-2a2-3a2)=x-3a2.综上,f(x)= 因此,根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象(如图所示),观察图象可知,要使任意的xR,f(x-1)f(x),则需满足2a2-(-4a2)1,解得-a.(第8题)9. (1) 当 x0,f(-x)=-x2+2(-x)=-x2-2x.又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x)=-x2-2x,所以f(x)=x2+2x,所以m=2.y=f(x)的图象如图所示.(第9题)(2) 由(1)知f(x)= 由图象可知,f(x)在-1,1上单调递增,要使f(x)在-1,a-2上单调递增,只需 解得1a3,即实数a的取值范围为(
4、1,3.10. (1) 设f(x)=k1x(k10),g(x)=(k20),因为f(1)=1,g(1)=1,所以k1=1,k2=1.所以f(x)=x,g(x)=.(2) 由(1)得h(x)=x+,则函数h(x)的定义域是(-,0)(0,+),h(-x)=-x+=-=-h(x),所以函数h(x)=f(x)+g(x)是奇函数.(3) 由(1)得S(x)=x2+2.设x1,x2(0,+),且x1x2,则S(x1)-S(x2)=(+2)-(+2)=-=(x1-x2)(x1+x2).因为x1,x2(0,+),且x1x2,所以x1-x20,所以S(x1)-S(x2)0,所以S(x1)0,所以 g(0)=1
5、,所以g(x)g(-x)=g(0)=1.(2) 设x0,g(x)g(-x)=g(0)=1.由题设,对任意x0,g(x)1,可得g(-x)1 ,则0g(x)1,即x0时,g(x)1.设任意的x1,x2R ,且x1x2,则g(x1)-g(x2)=g(x1-x2)+x2-g(x2)=g(x1-x2)g(x2)-g(x2)=g(x1-x2)-1g(x2),因为x1x2,所以x1-x20,所以g(x1-x2)1,则g(x1-x2)-10,所以g(x1)-g(x2)0,即g(x1)g(x2),所以函数y=g(x)在R上是增函数. (3) g(|2x-1|)g(3-a)=1g(|2x-1|+3-a)=g(0)|2x-1|+3-a=0,所以a=|2x-1|+3有解,所以(|2x-1|+3)mina ,所以a3,即实数a的取值范围为3,+).
