1、山东省枣庄市第三中学2021届高三数学上学期期中试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知复数满足z1+i，则（）A+iBiC+iDi2设aR，则“a2a”是“|a|1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件3函数f（x）的部分图象大致为（）ABCD4新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时t（n）（单位：小时）大致服从的关系为t（n）（t0，N0为常数）已知第16天检测过程
2、平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为（）A16小时B11小时C9小时D8小时5已知函数f（x）sin（2x+），其中为实数，若f（x）|f（）|对xR恒成立，且f（）f（），则f（x）的单调递增区间是（）Ak，k+（kZ）Bk，k+（kZ）Ck+，k+（kZ）Dk，k（kZ）6已知两定点A（2，0），B（1，0），如果动点P满足|PA|2|PB|，点Q是圆（x2）2+（y3）23上的动点，则|PQ|的最大值为（）A5B5+C3+2D327已知等差数列an的前n项和Sn，若a70，a80，则下列结论正确的是（）AS7S8BS1
3、5S16CS150DS1308已知点A（3，4）是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，若以F1F2为直径的圆经过点A，则双曲线C的离心率为（）AB2CD5二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9已知向量（），（cos，sin）（0），则下列命题正确的是（）A若，则B若在上的投影为，则向量与的夹角为C存在，使得|+|+|D 的最大值为10已知f（x）是定义域为R的函数，满足f（x+1）f（x3），f（1+x）f（3x），当0x2时，f（x）x2x，则下列说法正确的是（）Af
4、（x）的最小正周期为4Bf（x）的图象关于直线x2对称C当0x4时，函数f（x）的最大值为2D当6x8时，函数f（x）的最小值为11在ABC中，已知bcosC+ccosB2b，且+，则（）Aa、b、c成等比数列BsinA：sinB：sinC2：1：C若a4，则SABCDA、B、C成等差数列12已知lnx1x1y1+20，x2+2y22ln260，记，则（）AM的最小值为B当M最小时，CM的最小值为D当M最小时三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填写在答题卡相应位置上）13求经过点A（5，2）且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程 14函数ysinxcosx的图象可
5、由函数ysinx+cosx的图象至少向右平移 个单位长度得到15ABC的三个顶点都在抛物线E：y232x上，其中A（2，8），ABC的重心G是抛物线E的焦点，则BC所在直线的方程为 16已知ab0，则a+的最小值为 四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）在条件bsinasinB，asinBbcos（A+）中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b+c6，a2，_求ABC的面积18（12分）已知集合Ax|ylog2（4x2+15x9），xR，Bx|xm|1，xR（1）求集合A；（2）若p：xA，q：xB，且
6、p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围19（12分）已知函数（1）当a0时，求f（x）的最小值；（2）若对存在x0R，使得，求实数a的取值范围20（12分）已知数列an的前n项和Sn满足2Sn（n+1）an（nN*），且a12（1）求数列an的通项公式；（2）设bn（an1）2，数列bn的前n项和Tn，求证：Tn21（12分）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且此抛物线的准线被椭圆C截得的弦长为1（）求椭圆C的标准方程；（）直线l交椭圆C于A、B两点，线段AB的中点为M（1，t），直线m是线段AB的垂直平分线，试问直线m是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由22（12
7、分）设函数f（x）ln（x+a）+x2（）若当x1时，f（x）取得极值，求a的值，并讨论f（x）的单调性；（）若f（x）存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1【分析】求出z的模，然后代入要求的式子，结合复数的四则运算法则计算即可【解答】解：因为z1+i，所以则故选：D【点评】本题考查复数的模的计算，以及复数的四则运算法则属于基础题2【分析】分别解出a2a，|a|1，即可判断出关系【解答】解：a2a，解得0a1，|a|1，解得1a1，0a1是|a|1的充分不必要条件，故选：A【点评】
8、本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3【分析】根据题意，分析可得函数f（x）为奇函数且当x0时，有f（x）0，利用排除法分析可得答案【解答】解：根据题意，对于函数f（x），有f（x）f（x），即函数f（x）为奇函数，排除A、B；当x0时，有f（x）0，排除D；故选：C【点评】本题考查函数的图象分析，注意用排除法分析，属于基础题4【分析】由第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时知，N016，再由第16天检测过程平均耗时为16小时求出t0的值，由第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时求出N0的值，从而求出第49天检测过程平均耗时【解答】解：由
9、第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时知，N016，所以，解得t064又，解得N064，所以，故当n49时，故选：C【点评】本题主要考查了函数的实际应用，是基础题5【分析】由题意求得的值，利用正弦函数的性质，求得f（x）的单调递增区间【解答】解：若f（x）|f（）|对xR恒成立，则f（）为函数的函数的最大值或最小值，即2+k+，kZ，则k+，kZ，又f（）f（），sin（+）sinsin（2+）sin，sin0令k1，此时，满足条件sin0，令2x2k，2k+，kZ，解得：xk+，k+（kZ）则f（x）的单调递增区间是k+，k+（kZ）故选：C【点评】本题考查的知识点是函数yAsin（x
10、+）的图象变换、三角函数的单调性，属于基础题6【分析】设出P的坐标，利用|PA|2|PB|求动点P的轨迹，画出图形，数形结合得答案【解答】解：设点P（x，y），由|PA|2|PB|，得，所以P的轨迹方程为x2+y24x0，即（x2）2+y24又点Q是圆（x2）2+（y3）23，如图，由图可知，圆（x2）2+y24上，当P为（2，2）时，P到（2，3）距离最大为5，又圆（x2）2+（y3）23的半径为，|PQ|的最大值为故选：B【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题7【分析】先根据题意可知前7项的和为正，从第8项开始为负，即可判断A；根据题意可知数列为递减数列，
11、进而可知S15S16，即可判断B；当|a8|a7|时，S150，即可判断C；利用等差中项的性质和求和公式可知S13a713，即可判断D【解答】解：根据题意可知数列为递减数列，前7项的和为正，从第8项开始为负，故数列Sn中S7最大，故A不正确，当|a8|a7|时，S150，故C不正确，S13a7130，故D正确a160，S16S15+a16，S15S16，故B不正确故选：D【点评】本题主要考查了等差数列的性质，考查了学生分析问题和演绎推理的能力，综合运用基础知识的能力，属中档题8【分析】根据圆周角定理得到AF1AF2，所以|F1F2|2|AO|102c，由此求得c5；结合双曲线的定义求得a，所以
12、根据双曲线离心率的公式解答【解答】解：由已知得AF1AF2，所以|F1F2|2|AO|10，所以c5，又2a，所以a，所以双曲线C的离心率e，故选：C【点评】本题主要考查了双曲线的性质，主要考查了离心率的求法，解答关键是利用双曲线的定义求得a的值二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9【分析】利用向量的数量积为0，求出正切函数值，判断A；利用向量的数量积求解向量的投影以及向量的夹角判断B；通过向量的模的求法求解判断C；利用向量的数量积结合两角和与差的三角函数，求解最大值判断D【解答】解：
13、若，则，则，故A错误；若在上的投影为，且|1，则|cos，cos，故B正确；若（+）22+2+2，（|+|）2|2+|2+2|，若|+|+|，则|cos|，即cos1，故0，|+|+|，故C正确；，因为0，则当时，的最大值为，故D正确，故选：BCD【点评】本题考查命题的真假的判断，向量的数量积的应用，三角函数的恒等变换的应用，考查转化思想以及计算能力10【分析】根据对任意实数x满足f（x+1）f（3x），且f（x+1）f（x3），可以得出函数的奇偶性和周期性，再根据当0x2时，f（x）x2x可得函数的单调性逐次判断各选项即可；【解答】解：对任意实数x满足f（x+1）f（3x），可得函数f（x）
14、关于x2对称轴，又f（x+1）f（x3），f（x+4）f（x）即函数f（x）是周期函数，周期为4f（4x）f（x4），那么f（x）f（x）函数f（x）是偶函数，又当0x2时，f（x）x2x函数f（x）在区间，2上单调递增函数f（x）在区间0，上单调递减当0x4时，函数f（x）的最大值为2函数f（x）的周期为4当6x8时，函数f（x）（x7）2（x7）x215x+56，当x7.5时，取得最小值，则D选项正确故选：ABCD【点评】考查函数的单调性，对称性和周期性，属中档题11【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到a2b，利用三角函
15、数恒等变换的应用化简已知等式可得sinAsinBsin2C，由正弦定理可得abc2，可求ac，进而逐项分析各个选项即可得解【解答】解：将bcosC+ccosB2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB2sinB，即sin（B+C）2sinB，sin（B+C）sinA，sinA2sinB，利用正弦定理化简得：a2b，又+，即，sinAsinBsin2C，由正弦定理可得abc2，ac，a：b：ca：2：1：，故A错误，由正弦定理可得sinA：sinB：sinC2：1：，故B正确；若a4，可得b2，c2，可得cosC，可得sinC，可得SABC42，故C正确；若A、B、C成等差数列
16、，且A+B+C，2BA+C，可得B，由于cosB，故D错误故选：BC【点评】此题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题12【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），点A在函数ylnxx+2的图象上，点B在直线x+2y2ln260上，则M（x1x2）2+（y1y2）2的最小值转化为函数ylnxx+2的图象上的点与直线x+2y2ln260上点距离最小值的平方，利用导数求出切点坐标，再由点到直线的距离公式求解求出d的最小值为两直线平行时的距离，即可得到M的最小值，并可求出此时对应的x2从而得解【解答】解：设A（x1，y1），B（x
17、2，y2），点A在函数ylnxx+2的图象上，点B在直线x+2y42ln20上，M（x1x2）2+（y1y2）2的最小值转化为函数ylnxx+2的图象上的点与直线x+2y2ln260上点距离最小值的平方由ylnxx+2，得y1，与直线x+2y2ln260平行的直线的斜率为k令1，得x2，则切点坐标为（2，ln2），切点（2，ln2）到直线x+2y2ln260的距离d即M（x1x2）2+（y1y2）2的最小值为又过（2，ln2）且与x+2y2ln260垂直的直线为yln22（x2），即2xy4+ln20，联立，解得x，即当M最小时，x2故选：AB【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数学转
18、化思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是中档题三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填写在答题卡相应位置上）13【分析】注意到截距为0和不为0两种情况【解答】解：当截距为0时，设直线方程为ykx，则5k2，直线方程为2x+5y0当截距不为0时，设直线方程为由题意，ax+2y+10综上，2x+5y0或x+2y+10【点评】解题时注意别忽略了截距为0时的情况14【分析】令f（x）sinx+cosx2sin（x+），则f（x）2sin（x+），依题意可得2sin（x+）2sin（x），由2k（kZ），可得答案【解答】解：yf（x）sinx+cosx2sin（x+），
19、ysinxcosx2sin（x），f（x）2sin（x+）（0），令2sin（x+）2sin（x），则2k（kZ），即2k（kZ），当k0时，正数min，故答案为：【点评】本题考查函数ysinx的图象变换得到yAsin（x+）（A0，0）的图象，得到2k（kZ）是关键，也是难点，属于中档题15【分析】利用重心坐标公式求出B、C横坐标、纵坐标的和，得出BC的中点，再利用作差法求得斜率，从而求出直线方程【解答】解：由题意知，抛物线y232x的焦点为F（8，0）；设B（x1，y1），C（x2，y2），由重心坐标公式得（x1+x2+2）8，（y1+y2+8）0，所以x1+x222，y1+y28；因为三
20、个顶点在抛物线上，所以32x1，32x2；两式相减可得：斜率为k4；又BC的中点坐标为M（11，4），BC的方程是y+44（x11），即4x+y400故答案为：4x+y400【点评】本题考查了抛物线的几何性质与三角形重心公式的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题16【分析】直接利用关系式的恒等变换和基本不等式的应用求出结果【解答】解：由于ab0，所以a+3当且仅当，即a，b时，等号成立故答案为：3【点评】本题考查的知识要点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17【分析】若选
21、：由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得sin，进而可求A利用余弦定理可求bc的值，根据三角形的面积公式即可求解若选：由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得tanA，结合范围0A，可得A由余弦定理可求bc的值，根据三角形的面积公式即可求解；【解答】解：若选：由正弦定理得sinBsinsinAsinB，因为0B，所以sinB0，所以sinsinA，又因为B+CA，所以cos2sincos，因为0A，0，所以cos0，sin，所以A又a2b2+c2bc（b+c）23bc，a2，b+c6，所以bc4，所以SABCbcsinA4sin若选：由正弦定理得：sinAsinBsinBcos（A+）因为0B，
22、所以sinB0，sinAcos（A+），化简得sinAcosAsinA，即tanA，因为0A，所以A又因为a2b2+c22bccos，所以bc，即bc2412，所以SABCbcsinA（2412）63【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18【分析】（1）根据条件可知集合A即求，故可表示出，（2）由题得Bm+1，+）（，m1，根据p是q的充分不必要条件可知A是B的真子集，根据集合包含关系即可求出m取值范围【解答】解：（1）集合A即为函数定义域，即需4x2+15x90，即（x3）（4x3）0，解得；（2）由|xm|
23、1xm1或xm1，即xm+1或xm1，则Bm+1，+）（，m1，因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，则，解得，所以实数m的取值范围是【点评】本题考查命题及其关系，涉及函数求定义域，集合的包含关系等知识点，属于中档题19【分析】（1）f（x），由a0，可得x（1，+）时，f（x）0；x（0，1）时，f（x）0即可得出单调性（2）对a分类讨论：若a0，则f（x）0，容易判断出结论若a0，k可得f（）1若a0，由（1）可知：函数f（x）的最小值为f（1），只要，解得a范围即可得出【解答】解：（1）f（x），a0，x（1，+）时，f（x）0；x（0，1）时，f（x）0函数f（x）在（1，+
24、）上单调递增，在（0，1）上单调递减x1时，函数f（x）取得极小值即最小值f（1）（2）对a分类讨论：若a0，则f（x）0，不存在x0R，使得成立若a0，则f（）1，满足题意若a0，由（1）可知：函数f（x）的最小值为f（1），解得a综上可得：实数a的取值范围是（，）（0，+）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20【分析】（1）首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；（2）利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果【解答】解：（1）因为数列an的前n项和Sn满足2Sn（n
25、+1）an（nN*），所以：2Sn+1（n+2）an+1且a12得：2an+1（n+2）an+1（n+1）an，整理得：nan+1（n+1）an，所以，所以数列为常数列所以，所以an2n证明：（2）由（1），b（2n1）22n（2n1）4n，所以，4，得：，所以3Tn4+2（2n1）4n+1，整理得：【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题21【分析】（）求出抛物线的焦点，准线，利用已知条件列出方程，求解a，b即可得到椭圆C的标准方程（）法一：显然点M（1，t）在椭圆C内部，故，且直线l的
26、斜率不为0，当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为yk（x1）+t，代入椭圆方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，求出直线m：yt4t（x1），推出直线m过定点法二：显然点M（1，t）在椭圆C内部，故，且直线l的斜率不为0，当直线l的斜率存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用平方差法，求出直线m的方程yt（4x3）推出直线m过定点【解答】解：（）抛物线的焦点为，准线为则有，解得a24，b21故椭圆C的标准方程为（）法一：显然点M（1，t）在椭圆C内部，故，且直线l的斜率不为0，当直线l的斜率存在且不为0时，易知t0，设直线l的方程为yk（x1）+
27、t，代入椭圆方程并化简得：（1+4k2）x2+（8kt8k2）x+4k28kt+4t240，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，解得因为直线m是线段AB的垂直平分线，故直线m：yt4t（x1），即：yt（4x3）令4x30，此时，于是直线m过定点当直线l的斜率不存在时，易知t0，此时直线m：y0，故直线m过定点，综上所述，直线m过定点法二：显然点M（1，t）在椭圆C内部，故，且直线l的斜率不为0，当直线l的斜率存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减得由线段AB的中点为M（1，t），则x1+x22，y1+y22t，故直线l的斜率因为直线m是线段AB的垂直平分线
28、，故直线m：yt4t（x1），即：yt（4x3）令4x30，此时，于是直线m过定点当直线l的斜率不存在时，易知t0，此时直线m：y0，故直线m过定点，综上所述，直线m过定点【点评】本题考查了抛物线与椭圆的方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查抛物线的简单性质，解题的关键是设点的坐标，然后联立方程，平方差法的应用，是压轴题22【分析】（I）先求函数定义域，然后对函数求导，由题意可得，f（1）0，代入可求a，代入a的值，分别解f（x）0，f（x）0，求解即可（II）由题意可得在区间（a，+）上，f（x）0有根，结合一元二次方程根的存在情况讨论该方程的4a28，求a的取值范围，结合a的取值，把极
29、值点代入函数f（x）可得，【解答】解：（），依题意有f（1）0，故从而f（x）的定义域为，当时，f（x）0；当时，f（x）0；当时，f（x）0从而，f（x）分别在区间单调增加，在区间单调减少（）f（x）的定义域为（a，+），方程2x2+2ax+10的判别式4a28（）若0，即，在f（x）的定义域内f（x）0，函数单调递增，故f（x）无极值（）若0，则a或若，f（x）当时，f（x）0，当时，f（x）0，所以f（x）无极值若，f（x）也无极值（）若0，即或，则2x2+2ax+10有两个不同的实根，当时，a2a22，则a，x1+a0，x1a，a，a2a22，0，x2a，从而f（x）在f（x）的定义域内没有零点，故f（x）无极值当时，a2a22，x1+a0，0，x1a，x2a，f（x）在f（x）的定义域内有两个不同的零点，由极值判别方法知f（x）在xx1，xx2取得极值综上，f（x）存在极值时，a的取值范围为由于x1+x2a，x1x2，则f（x）的极值之和为【点评】本题考查利用导数研究函数的极值及单调性，解题时若含有参数，要对参数的取值进行讨论，而分类讨论的思想也是高考的一个重要思想，要注意体会其在解题中的运用