1、2简谐运动的描述学科素养与目标要求物理观念：1.知道什么是振动的振幅、周期、频率及相位.2.知道简谐运动的数学表达式，知道描述简谐运动的基本物理量.科学思维：理解周期和频率的关系，能够结合简谐运动的图象进行有关判断.科学探究：观察简谐运动图象，结合数学知识，理解表达式中各物理量的含义.一、描述简谐运动的物理量1.振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离.2.全振动(如图1所示)图1类似于OBOCO的一个完整的振动过程.3.周期和频率(1)周期定义：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间.单位：国际单位是秒(s).(2)频率定义：单位时间内完成全振动的次数.单位：赫兹(Hz).(3)T和f的关系
2、：T.4.相位描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态.二、简谐运动的表达式简谐运动的一般表达式为xAsin(t).1.x表示振动物体相对于平衡位置的位移；t表示时间.2.A表示简谐运动的振幅.3.叫做简谐运动的“圆频率”，表示简谐运动的快慢，2f(与周期T和频率f的关系).4.t代表简谐运动的相位，表示t0时的相位，叫做初相位(或初相).5.相位差若两个简谐运动的表达式为x1A1sin(t1)，x2A2sin(t2)，则相位差为(t2)(t1)21.1.判断下列说法的正误.(1)在机械振动的过程中，振幅是不断变化的.()(2)振幅是振动物体离开平衡位置的最大位移，它是矢量.()(3)振动周期指
3、的是振动物体从一侧最大位移处，运动到另一侧最大位移处所用的时间.()(4)按x5sin (8t) cm的规律振动的弹簧振子的振动周期为0.25 s.()2.有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时(t0)具有正的最大位移，则它的振动方程是x_ m.答案0.008sin (4t)一、描述简谐运动的物理量如图所示为理想弹簧振子，O点为它的平衡位置，其中A、A点关于O点对称.(1)振子从某一时刻经过O点计时，至下一次再经过O点的时间为一个周期吗？(2)先后将振子拉到A点和B点由静止释放，两种情况下振子振动的周期相同吗？振子完成一次全振动通过的位移相同吗？路程相同吗？答案(1)不是
4、.经过一个周期振子一定从同一方向经过O点，即经过一个周期，位移、速度第一次均与初始时刻相同.(2)周期相同，振动的周期决定于振动系统本身，与振幅无关.位移相同，均为零.路程不相同，一个周期内振子通过的路程与振幅有关.1.对全振动的理解(1)全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，称为一次全振动.(2)全振动的四个特征：物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同.时间特征：历时一个周期.路程特征：振幅的4倍.相位特征：增加2.2.对周期和频率的理解(1)周期(T)和频率(f)都是标量，反映了振动的快慢，T，即周期越大，频率越小，振动越慢.
5、(2)一个振动系统的周期、频率由振动系统决定，与振幅无关.3.对振幅的理解(1)振动物体离开平衡位置的最大距离.(2)振幅与位移的区别振幅等于最大位移的数值.对于一个给定的振动，振动物体的位移是时刻变化的，但振幅是不变的.位移是矢量，振幅是标量.(3)路程与振幅的关系振动物体在一个周期内的路程为四个振幅.振动物体在半个周期内的路程为两个振幅.振动物体在个周期内的路程不一定等于一个振幅.例1如图2所示，将弹簧振子从平衡位置下拉一段距离x，释放后振子在A、B间振动，且AB20 cm，振子由A首次到B的时间为0.1 s，求：图2(1)振子振动的振幅、周期和频率；(2)振子由A到O的时间；(3)振子在
6、5 s内通过的路程及偏离平衡位置的位移大小.答案(1)10 cm0.2 s5 Hz(2)0.05 s(3)1 000 cm10 cm解析(1)由题图可知，振子振动的振幅为10 cm，t0.1 s，所以T0.2 s.由f得f5 Hz.(2)根据简谐运动的对称性可知，振子由A到O的时间与振子由O到B的时间相等，均为0.05 s.(3)设弹簧振子的振幅为A，A10 cm.振子在1个周期内通过的路程为4A40 cm，故在t5 s25T内通过的路程s4025 cm1 000 cm.5 s内振子振动了25个周期，故5 s末振子仍处在A点，所以振子偏离平衡位置的位移大小为10 cm.例2(多选)(2018嘉
7、兴市高二第一学期期末)如图3所示为一质点的振动图象，曲线满足正弦变化规律，则下列说法中正确的是()图3A.该振动为简谐振动B.该振动的振幅为10 cmC.质点在前0.12 s内通过的路程为20 cmD.0.04 s末，质点的振动方向沿x轴负方向答案AD解析该图象表示质点的位移随时间周期性变化的规律，是简谐振动，故A正确；由题图可知该振动的振幅为5 cm，故B错误；由题图可知质点振动的周期为0.08 s，0.12 s1T，质点通过的路程为6A30 cm，故C错误；根据振动规律可知，0.04 s末质点的振动方向沿x轴负方向，故D正确.二、简谐运动表达式的理解2.从表达式xAsin (t)体会简谐运
8、动的周期性.当(t2)(t1)2n时，tnT，振子位移相同，每经过周期T完成一次全振动.3.从表达式xAsin (t)体会特殊点的值.当(t)等于2n时，sin (t)1，即xA；当(t)等于2n时，sin (t)1，即xA；当(t)等于n时，sin (t)0，即x0.例3(多选)一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x0.1sin 2.5t，位移x的单位为m，时间t的单位为s.则()A.弹簧振子的振幅为0.2 mB.弹簧振子的周期为1.25 sC.在t0.2 s时，振子的运动速度为零D.若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为x0.2sin (2.5t)，则A滞后B答案CD解析由振
9、动方程x0.1sin 2.5t，可知振幅为0.1 m，圆频率2.5 rad/s，故周期T s0.8 s，故A、B错误；在t0.2 s时，x0.1 m，即振子的位移最大，速度最小，为零，故C正确；两振动的相位差212.5t2.5t，即B超前A，或者说A滞后B，故D正确.三、简谐运动的周期性和对称性如图4所示图4(1)时间的对称物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDBtBD.物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中tOBtBOtOAtAO，tODtDOtOCtCO.(2)速度的对称物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反.物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，速
10、度大小相等，方向可能相同，也可能相反.(3)位移的对称物体经过同一点(如C点)时，位移相同.物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，位移大小相等、方向相反.例4如图5所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t0.2 s时，振子速度第一次变为v；在t0.5 s时，振子速度第二次变为v，已知B、C之间的距离为25 cm.图5(1)求弹簧振子的振幅A；(2)求弹簧振子的振动周期T和频率f.答案(1)12.5 cm(2)1 s1 Hz解析(1)弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，所以振幅是B、C之间距离的，所以A
11、 cm12.5 cm.(2)由简谐运动的对称性可知从P到B的时间与从B返回到P的时间是相等的，所以tBP s0.1 s同理可知：tPO s0.15 s，又tPOtBP联立得：T1 s，所以f1 Hz.1.(描述简谐运动的物理量)(多选)一个质点做简谐运动的图象如图6所示，下列叙述中正确的是()图6A.质点的振动频率为4 HzB.在10 s内质点经过的路程为20 cmC.在5 s末，质点做简谐运动的相位为D.t1.5 s和t4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是 cm答案BD解析由题图振动图象可直接得到周期T4 s，频率f0.25 Hz，故A错误；做简谐运动的质点一个周期内经过的路程是4A8
12、cm，10 s为2.5个周期，故质点经过的路程为20 cm，故B正确；由图象知位移与时间的关系为x2sin(t) cm.当t5 s时，其相位为5，故C错误；在1.5 s和4.5 s两时刻，质点位移相同，x2sin(1.5) cm cm，故D正确.2.(简谐运动的表达式)一个小球和轻质弹簧组成的系统，按x15sin(8t) cm的规律振动.(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相；(2)另一简谐运动表达式为x25sin(8t) cm，求它们的相位差.答案(1)0.25 s4 Hz5 cm(2)解析(1)已知8 rad/s，由得T0.25 s，f4 Hz.由x15sin(8t) cm知A5 cm，1
13、(2)由(t2)(t1)21得.3.(简谐运动的分析)如图7所示为A、B两个简谐运动的位移时间图象.请根据图象回答：图7(1)A的振幅是_ cm，周期是_ s；B的振幅是_cm，周期是_s.(2)写出这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式；(3)在t0.05 s时两质点的位移分别是多少？答案(1)0.50.40.20.8(2)xA0.5sin(5t) cmxB0.2sin(2.5t) cm(3)xA cmxB0.2sin cm.解析(1)由题图知：A的振幅是0.5 cm，周期是0.4 s；B的振幅是0.2 cm，周期是0.8 s.(2)t0时刻A中振动的质点从平衡位置开始沿负方向振动，A，由T
14、A0.4 s，得A5 rad/s.则A简谐运动的表达式为xA0.5sin (5t) cm.t0时刻B中振动的质点从正向最大位移处开始沿负方向振动，B，由TB0.8 s得B2.5 rad/s，则B简谐运动的表达式为xB0.2sin(2.5t) cm.(3)将t0.05 s分别代入两个表达式中得：xA0.5sin(50.05) cm0.5 cm cm，xB0.2sin(2.50.05) cm0.2sin cm.4.(简谐运动的周期性和对称性)如图8所示，一质点沿水平直线做简谐运动，先后以相同速度通过a、b两点，经历时间tab1 s，过b点后再经t1 s质点第一次反向通过b点.O点为平衡位置，若在这
15、两秒内质点所通过的路程是8 cm，试求该质点的振动周期和振幅.图8答案4 s4 cm解析简谐运动是以平衡位置为中心的对称运动，因为通过a、b两点时的速度相同，根据简谐运动的对称性，可知质点从b点返回a点所用的时间必与从a点到b点所用的时间相同，即tbatab1 s，质点从a点经最左端位置d再返回a点所用的时间tada必与质点从b点经最右端位置c再返回b点所用的时间tbcb相等，即tadatbcbt1 s.综上所述，质点的振动周期为Ttabtbcbtbatada4 s.由题图和简谐运动的对称性可知，质点在一个周期内通过的路程为s2222(2)28 cm16 cm.所以质点的振幅为A4 cm.一、
16、选择题考点一描述简谐运动的物理量1.(2018宝鸡高二检测)如图1所示，O点为弹簧振子的平衡位置，小球在B、C间做无摩擦的往复运动.若小球从C点第一次运动到O点历时0.1 s，则小球振动的周期为()图1A.0.1 s B.0.2 sC.0.3 s D.0.4 s答案D解析小球从C点第一次运动到O点的时间为0.1 s，对应的时间为一个周期的，故小球振动的周期为0.4 s，D正确.2.如图2所示，在光滑水平面上振动的弹簧振子的平衡位置为O，把振子拉到A点，OA1 cm，然后释放振子，经过0.2 s振子第1次到达O点，如果把振子拉到A点，OA2 cm，则释放振子后，振子第1次到达O点所需的时间为()
17、图2A.0.2 s B.0.4 s C.0.1 s D.0.3 s答案A解析简谐运动的周期只跟振动系统本身的性质有关，与振幅无关，两种情况下振子第1次到达平衡位置所需的时间都是振动周期的，故A正确.3.关于弹簧振子的位置和路程，下列说法中正确的是()A.运动一个周期，位置一定不变，路程一定等于振幅的4倍B.运动半个周期，位置一定不变，路程一定等于振幅的2倍C.运动个周期，位置可能不变，路程一定等于振幅的3倍D.运动一段时间位置不变时，路程一定等于振幅的4倍答案A解析运动一个周期，振子完成一次全振动，回到起始位置，故位置一定不变，路程是振幅的4倍，故A正确；例如：振子从一端开始运动，经过半个周期
18、，则振子恰好到达另一端点，位置变化，故B错误；若从最大位置与平衡位置之间的某点开始运动，运动周期时由于速度不是均匀变化的，路程并不等于振幅的3倍，故C错误；只有振子振动一个周期时，路程才等于振幅的4倍，例如：回到出发点，但速度反向，则不是一个周期，路程不等于振幅的4倍，故D错误.4.如图3所示，弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间距离是20 cm，从A到B运动时间是2 s，则()图3A.从OBO振子做了一次全振动B.振动周期为2 s，振幅是10 cmC.从B开始经过6 s，振子通过的路程是60 cmD.从O开始经过3 s，振子处在平衡位置答案C解析振子从OBO只完成了半个全振动
19、，A错误；从AB振子也只是完成了半个全振动，所以振动周期是4 s，B错误；振幅A cm10 cm，6 sT，所以振子经过的路程为6A60 cm，C正确；从O开始经过3 s，振子处在最大位移处(A或B)，D错误.5.一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图象如图4所示，由图可知()图4A.质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cmB.质点经过1 s通过的路程总是2 cmC.03 s内，质点通过的路程为6 cmD.t3 s时，质点的振幅为零答案C解析由题图可以直接看出振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25 Hz，所以A错误；质点在1 s即个周期内通过的路程不一定等于一个振幅，所以B错误；
20、因为t0时质点在最大位移处，03 s为T，质点通过的路程为3A6 cm，所以C正确；振幅等于质点偏离平衡位置的最大距离，与质点的位移有着本质的区别，t3 s时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm，所以D错误.6.如图5所示，物体A和B用轻绳相连挂在弹簧下静止不动，A的质量为m，B的质量为M，弹簧的劲度系数为k.当连接A、B的绳突然断开后，物体A将在竖直方向上做简谐运动，则A振动的振幅为()图5A. B.C. D.答案A解析轻绳断开前，弹簧的伸长量为x1.若弹簧下只挂有A，则静止时弹簧的伸长量x2，此位置为A在竖直方向上做简谐运动的平衡位置，则A振动的振幅为x1x2，故A正确.考点二简谐运动的表
21、达式7.(多选)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为xAsint，则质点()A.第1 s末与第3 s末的位移相同B.第1 s末与第3 s末的速度相同C.第3 s末与第5 s末的位移方向相同D.第3 s末与第5 s末的速度方向相同答案AD解析根据xAsint可求得该质点振动周期为T8 s，则该质点振动图象如图所示，图象切线的斜率为正，表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1 s末和第3 s末的位移相同，但切线的斜率一正一负，故速度方向相反，选项A正确，B错误；第3 s末和第5 s末的位移方向相反，但两点切线的斜率均为负，故速度方向相同，选项C错误，D正确.8.(多选)物体A做简谐运动的振
22、动方程是xA3sin m，物体B做简谐运动的振动方程是xB5sin m.比较A、B的运动()A.振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 mB.周期是标量，A、B周期相等，都为100 sC.A振动的频率fA等于B振动的频率fBD.A的相位始终超前B的相位答案CD解析振幅是标量，A、B的振幅分别为3 m、5 m，A错；A、B的周期均为T s6.28102 s，B错；因为TATB，故fAfB，C对；AB，为定值，D对.9.(多选)如图6所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动.以竖直向上为正方向，物块做简谐运动的表达式为x0.1sin(2.5t) m.t0时刻，一小球从
23、距物块平衡位置h高处自由落下；t0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度.取重力加速度的大小g10 m/s2.以下判断正确的是()图6A.h1.7 mB.简谐运动的周期是0.8 sC.0.6 s内物块运动的路程是0.2 mD.t0.4 s时，物块与小球运动方向相反答案AB解析t0.6 s时，物块的位移为x0.1sin(2.50.6) m0.1 m，则对小球h|x|gt2，解得h1.7 m，选项A正确；简谐运动的周期是T s0.8 s，选项B正确；0.6 s内物块运动的路程是3A0.3 m，选项C错误；t0.4 s，此时物块在平衡位置向下振动，则此时物块与小球运动方向相同，选项D错误.考点三简谐
24、运动的周期性与对称性10.一质点做简谐运动，它从最大位移处经0.3 s第一次到达某点M处，再经0.2 s第二次到达M点，则其振动频率为()A.0.4 Hz B.0.8 HzC.2.5 Hz D.1.25 Hz答案D解析由题意知，从M位置沿着原路返回到起始最大位移处的时间也为0.3 s，故完成一个全振动的时间为：T0.3 s0.2 s0.3 s0.8 s，故频率为f1.25 Hz，D正确.11.(2018沈阳市郊联体高二上学期期末)弹簧振子做机械振动，若从平衡位置O开始计时，经过0.3 s时，振子第一次经过P点，又经过了0.2 s，振子第二次经过P点，则到该振子第三次经过P点可能还需要多长时间(
25、)A.1.2 s B.1.0 s C.0.4 s D.1.4 s答案D解析若从O点开始向右振子按如图甲所示路线振动，则振子的振动周期为：T14(0.30.2) s1.6 s，则该质点再经过时间t1T10.2 s1.4 s，第三次经过P点.若振子从O点开始向左振动，则按如图乙所示路线振动，设从P到O的时间为t，则0.2 st，解得：t s，可得周期为：T24(0.1) s s，则该质点再经过时间t2T20.2 s s，第三次经过P点，故D正确，A、B、C错误.12.(多选)(2018天津卷)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点.t0时振子的位移为0.1 m，t1 s时位移为0.1 m，则(
26、)A.若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 sB.若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 sC.若振幅为0.2 m，振子的周期可能为4 sD.若振幅为0.2 m，振子的周期可能为6 s答案AD解析若振幅为0.1 m，则tnT(n0，1，2，).当n0时，T2 s；n1时，T s；n2时，T s，故选项A正确，选项B错误.若振幅为0.2 m，振动分两种情况讨论：振子振动如图甲所示，则振子由C点振动到D点用时至少为，周期最大为2 s.振子振动如图乙中实线所示.由xAsin(t)知t0时，Asin ，即振子由C点振动到O点用时至少为，由简谐运动的对称性可知，振子由C点振动到D点用时至少为，则T最大为6
27、 s；若振子振动如图乙中虚线所示，振子由C点振动到D点，则周期最大为2 s.综上所述C错误，D正确.二、非选择题13.一竖直悬挂的弹簧振子，下端装有一记录笔，在竖直面内放置一记录纸，当振子上下振动时，以速率v水平向左匀速拉动记录纸，记录笔在纸上留下如图7所示的图象，y1、y2、x0、2x0为纸上印迹的位置坐标.由此图知振动的周期为_，振幅为_.图7答案解析由题图图象可知，记录纸在一个周期内沿x方向的位移为2x0，水平速度为v，故周期T；又由图象知2Ay1y2，故振幅A.14.某个质点的简谐运动图象如图8所示.图8(1)求振动的振幅和周期；(2)写出简谐运动的表达式.答案(1)10 cm8 s(2)x10sin(t) cm解析(1)由题图读出振幅A10 cm简谐运动方程xAsin(t) cm代入数据得10 cm10sin(7) cm解得T8 s.(2)xAsin(t)10sin(t) cm.