1、组合数的综合应用(习题课)新版课程标准学业水平要求理解组合数的概念,能利用组合数公式解决简单的实际问题.1.进一步理解组合的定义,熟练掌握组合数公式的应用.(数学建模)2.能解决含有限制条件的组合问题,掌握常见的类型及解决策略.(逻辑推理)3.能解决简单的排列、组合的综合问题.(逻辑推理)关键能力素养形成类型一简单的组合问题【典例】1.特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策.某教育行政部门为本地两所农村小学招聘了6名特岗教师,其中体育教师2名,数学教师4名.按每所学校1名体育教师,2名数学教师进行分配,则不同的分配方案有()A.24B.14C.12D.82.男运动员6名,女
2、运动员4名,其中男女队长各1名,选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法?(1)男运动员3名,女运动员2名.(2)至少有1名女运动员.(3)既要有队长,又要有女运动员.【思维引】1.根据题意,假设两个学校为甲、乙,先为甲学校安排1名体育教师,2名数学教师,再将剩下的1名体育教师,2名数学教师安排给乙学校,由分步乘法计数原理计算可得答案.2.(1)根据组合数公式将问题分步进行.(2)分四类求解,也可以用间接法.(3)分两类:男队长、女队长,当是男队长时再选女队员,最后选男队员,当是女队长时,其余队员可以任意选.【解析】1.选C.根据题意,假设两个学校为甲、乙,先为甲学校安排1名体育教师,
3、2名数学教师,有=12种选法,再将剩下的1名体育教师,2名数学教师安排给乙学校,有1种选法,则有12种不同的分配方案.2.(1)第一步:选3名男运动员,有种选法;第二步:选2名女运动员,有种选法,故共有=120(种)选法.(2)方法一(直接法):“至少有1名女运动员”包括以下几种情况,1女4男,2女3男,3女2男,4女1男.由分类加法计数原理知共有+=246(种)选法.方法二(间接法):不考虑条件,从10人中任选5人,有种选法,其中全是男运动员的选法有种,故“至少有1名女运动员”的选法有-=246(种).(3)当有女队长时,其他人选法任意,共有种选法;不选女队长时,必选男队长,共有种选法,其中
4、不含女运动员的选法有种,故不选女队长时共有-种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有+-=191(种).【内化悟】在选择解题方法时,何时采用直接法,何时采用间接法?提示:正面考虑情况较多时通常采用间接法,在某些特定问题上,也可充分考虑“正难则反”的思维方式.【类题通】解简单的组合应用题的策略(1)解简单的组合应用题时,首先要判断它是不是组合问题,组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关,而组合问题与取出元素的顺序无关.(2)要注意两个基本原理的运用,即分类与分步的灵活运用.提醒:在分类和分步时,一定注意有无重复或遗漏.【习练破】1.(2020新高考全国卷)6名同学到甲
5、、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有()A.120种B.90种C.60种D.30种【解析】选C.甲场馆安排1名有种方法,乙场馆安排2名有种方法,丙场馆安排3名有种方法,所以由分步乘法计数原理得不同的安排方法共有=60种.2.在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人去参加市级培训,在下列条件下,有多少种不同的选法?(1)任意选5人.(2)甲、乙、丙三人必须参加.(3)甲、乙、丙三人不能参加.(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加.(5)甲、乙、丙三人至少1人参加.(6)甲、乙、丙三人至多2人参加.【
6、解析】(1)有=792种不同的选法.(2)甲、乙、丙三人必须参加,只需从另外的9人中选2人,共有=36种不同的选法.(3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的9人中选5人,共有=126种不同的选法.(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加,分两步,先从甲、乙、丙中选1人,有=3种选法,再从另外的9人中选4人,有种选法,共有=378种选法.(5)方法一(直接法):可分为三类:第一类:甲、乙、丙中有1人参加,共有=378种;第二类:甲、乙、丙中有2人参加,共有=252种;第三类:甲、乙、丙中有3人参加,共有=36种;共有+=666种不同的选法.方法二(间接法):12人中任意选5人,共有种,甲、乙、丙三人
7、都不能参加的有种,所以,共有-=666种不同的选法.(6)方法一(直接法):甲、乙、丙三人至多2人参加,可分为三类:第一类:甲、乙、丙都不参加,共有种;第二类:甲、乙、丙中有1人参加,共有种;第三类:甲、乙、丙中有2人参加,共有种.共有+=756种不同的选法.方法二(间接法):12人中任意选5人,共有种,甲、乙、丙三人全参加的有种,所以,共有-=756种不同的选法.【加练固】将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中.(1)有多少种放法?(2)若每盒至多一球,则有多少种放法?(3)若恰好有一个空盒,则有多少种放法?(4)若每个盒内放一个球,并且恰好有一个球的编号与盒子
8、的编号相同,则有多少种放法?【解析】(1)每个小球都可能放入四个盒子中的任何一个,将小球一个一个放入盒子,共有4444=44=256(种)放法.(2)这是全排列问题,共有=24(种)放法.(3)先取四个球中的两个“捆”在一起,有种选法,把它与其他两个球共三个元素分别放入四个盒子中的三个盒子,有种投放方法,所以共有=144(种)放法.(4)一个球的编号与盒子编号相同的放法有种,当一个球与一个盒子的编号相同时,用局部列举法可知其余三个球的投入方法有2种,故共有2=8(种)放法.类型二与几何有关的组合应用题【典例】1.空间中有10个点,其中有5个点在同一个平面内,其余点无三点共线,四点共面,则以这些
9、点为顶点,共可构成四面体的个数为()A.205B.110C.204D.2002.平面上有9个点,其中4个点在同一条直线上(4个点之间的距离各不相等),此外任何三点不共线.(1)过每两点连线,可得几条直线?(2)以一点为端点,作过另一点的射线,这样的射线可作出几条?(3)分别以其中两点为起点和终点,最多可作出几个向量?【思维引】1.从共面的五个点中取0个、1个、2个、3个分四类进行,再结合组合数公式求解.也可以用间接法.2.(1)从9个点任取2个点,除去共线的情况即可.(2)根据射线的定义,结合题目中点是共线还是不共线进行讨论.(3)向量有方向,所以直接取出点即可.【解析】1.选A.方法一:可以
10、按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类,则得到所有的取法总数为+=205.方法二:从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况,得到所有构成四面体的个数为-=205.2.(1)任取两点共有种取法,共线四点任取两点有种取法,所以共有直线-+1=31条.(2)不共线的五点可连得条射线,共线的四点中,外侧两点各可发出1条射线,内部两点各可发出2条射线,而在不共线的五点中取一点,共线的四点中取一点而形成的射线有条,故共有+21+22+=66条射线.(3)任意两点之间,可有方向相反的2个向量各不相等,则可有=72个向量.【内化悟】常见的与几何有关的组合问题有哪些?提示
11、:异面直线的条数问题、四面体个数问题、三角形的个数问题、射线的条数问题等.【类题通】解几何有关的组合应用题的解题策略(1)图形多少的问题通常是组合问题,要注意共点、共线、共面、异面等情形,防止多算.常用直接法,也可采用间接法.(2)在处理几何问题中的组合问题时,应将几何问题抽象成组合问题来解决.【习练破】如图,在以AB为直径的半圆周上,有异于A,B的六个点C1,C2,C6,线段AB上有异于A,B的四个点D1,D2,D3,D4.(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形?其中含C1点的有多少个?(2)以图中的12个点(包括A,B)中的4个点为顶点,可作出多少个四边形?【解析】(1)方法一
12、:可作出三角形+=116(个).方法二:可作三角形-=116(个).其中以C1为顶点的三角形有+=36(个).(2)可作出四边形+=360(个).【加练固】以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有()A.70个B.64个C.58个D.52个【解析】选C.正方体的8个顶点中任取4个共有=70个,不能组成四面体的4个顶点有6个,已有6个面,对角面有6个,所以以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有70-12=58个.类型三组合应用中的分组分配问题角度1不同元素分组分配问题【典例】有6本不同的书,按下列分配方式分配,则共有多少种不同的分配方式?(1)分成三组,每组分别有1本,2本,3本.(2)分给甲、乙、丙
13、三人,其中一个人1本,一个人2本,一个人3本.(3)分成三组,每组都是2本.(4)分给甲、乙、丙三人,每人2本.【思维引】(1)先从6本书中取出一本作为一组,再从剩余的5本中任取2本作为一组,则其余3本为一组.(2)在(1)分组的基础上进行排列即可.(3)先从6本书中取出2本作为一组,再从剩余的4本中任取2本作为一组,则其余2本为一组,其中有重复须除以.(4)在(3)中分组的基础上排列即可.【解析】(1)分三步:先选一本有种选法,再从余下的5本中选两本有种选法,最后余下的三本全选有种选法.由分步乘法计数原理知,分配方式共有=60(种).(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人,在(1)问的基础上,还
14、应考虑再分配问题.因此,分配方式共有=360(种).(3)先分三组,有种分法,但是这里面出现了重复,不妨记六本书为A,B,C,D,E,F,若第一组取了A,B,第二组取了C,D,第三组取了E,F,则该种方法记为(AB,CD,EF),但种分法中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD),共种情况,而这种情况只能作为一种分法,故分配方式有=15(种).(4)在(3)的基础上再分配即可,共有分配方式=90(种).【素养探】在解不同元素分组分配问题的过程中,经常用到核心素养中的数学运算,通过题中条件的分析选择合适的排列组合公式,再结合
15、计数原理进行计算.将本例中这6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4人,每人至少一本,则结果如何?【解析】这6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4人,每人至少一本,则有(3,1,1,1)和(2,2,1,1)两种.当为(3,1,1,1)时,有种分组方法,所以有=480种分法;当为(2,2,1,1)时,有种分法,所以有=1 080种分法.角度2相同元素分配问题【典例】1.假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额,则每所中学至少分到一个名额的方法数为()A.30B.21C.10D.152.6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子,求下列方法的种数.每个盒子都不空;恰有一个空盒子;恰有两个空
16、盒子.【思维引】1.由于名额之间没有差别,只需将10个名额分成三部分即可.2.6个小球是相同的,所以只要将6个小球分隔成4组即可.先选出一个空盒,再将6个小球分隔成3组.在6个小球的7个空隙中放入5个隔板,在其中各有两个隔板放到同一个间隙中.【解析】1.选D.用“隔板法”.在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板,有=15(种)分配方法.2.先把6个相同的小球排成一行,在首尾两球外侧放置一块隔板,然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板,有=10(种).恰有一个空盒子,插板分两步进行.先在首尾两球外侧放置一块隔板,并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板,如|0|000|00|,有
17、种插法,然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒,如|0|000|00|,有种插法,故共有=40(种).恰有两个空盒子,插板分两步进行.先在首尾两球外侧放置一块隔板,并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板,有种插法,如|00|0000|,然后将剩下的两块隔板插入形成空盒.其一:这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子,如|00|0000|,有种插法.其二:将两块板与前面三块板之一并放,如|00|0000|,有种插法.故共有(+)=30(种).【类题通】1.分组、分配问题的求解策略(1)分组问题属于“组合”问题,常见的分组问题有三种.完全均匀分组,每组的元素个数均相等;部分均匀分组,应注意
18、不要重复,若有n组均匀,最后必须除以n!;完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象.(2)分配问题属于“排列”问题.分配问题可以按要求逐个分配,也可以分组后再分配.2.相同元素分配问题的建模思想(1)隔板法:如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置,便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板,相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法,此法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题.(2)将n个相同的元素分给m个不同的元素(nm),有种方法.可描述为n-1个空中插入m-1块板.【习练破】1.有30个完全相同的苹果,分给4个不同的小朋友,每个小朋友至少分得4个苹
19、果,问有多少种不同的分配方案?()A.680B.816C.1 360D.1 456【解析】选A.先给每个小朋友分三个苹果,剩余18个苹果利用“隔板法”,18个苹果有17个空,插入三个“板”,共有=680种方法,故有30个完全相同的苹果,分给4个不同的小朋友,每个小朋友至少分得4个苹果,有680种不同的分配方案.2.(2020南充高二检测)我省5名医学专家驰援湖北武汉抗击新冠肺炎疫情,现把5名专家分配到A,B,C三个集中医疗点,每个医疗点至少要分配1人,其中甲专家不去A医疗点,则不同分配种数为()A.116B.100C.124D.90【解析】选B.根据题意,分2步进行分析:将5名医学专家分为3组
20、,若分为2、2、1的三组,有=15种分组方法,若分为3、1、1的三组,有=10种分组方法,则有15+10=25种分组方法;将分好的三组分派到三个医疗点,甲专家所在组不去A医疗点,有2种情况,再将剩下的2组分派到其余2个医疗点,有2种情况,则3个组的分派方法有22=4种情况,则有254=100种分配方法.课堂检测素养达标1.甲、乙、丙三位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有()A.36种B.48种C.96种D.192种【解析】选C.甲选2门有种选法,乙选3门有种选法,丙选3门有种选法.所以共有=96(种)选法.2.一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑
21、球,从中取2个球,则这两个球同色的不同取法有()A.27种B.24种C.21种D.18种【解析】选C.分两类:一类是2个白球有=15种取法,另一类是2个黑球有=6种取法,所以取法共有15+6=21(种).3.随着中国电子商务的发展和人们对网购的逐渐认识,网购鲜花速递行业迅速兴起.佳佳为祝福母亲的生日,准备在网上定制一束混合花束.客服为佳佳提供了两个系列,如下表:粉色系列黄色系列玫瑰戴安娜、粉佳人、糖果、桃红雪山假日公主、金辉、金香玉康乃馨粉色、小桃红、白色粉边火焰、金毛、黄色配叶红竹蕉、情人草、满天星散尾叶、栀子叶、黄莺、银叶菊佳佳要在两个系列中选一个系列,再从中选择2种玫瑰、1种康乃馨、2种配叶组成混合花束.则佳佳可定制的混合花束一共有_种.【解析】若选粉色系列有种选法,若选黄色系列有种选法,佳佳可定制的混合花束一共有+=54+54=108种.答案:1084.(2020天津高二检测)从3名男生和3名女生中选出3人分别担任三个不同学科课代表,若这3人中必须既有男生又有女生,则不同的选法共有_种.(用数字作答)【解析】根据题意,分2步进行分析:从3名男生和3名女生中选出3人,要求这3人中必须既有男生又有女生,则有-=18种情况,将选出的3人全排列,安排担任三个不同学科课代表,有=6种情况,则有186=108种选法.答案:108三关闭Word文档返回原板块
