1、黄浦区2012学年度第一学期高三年级期终考试 数学试卷(文科) （一模） 2013年1月17日考生注意：1每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；3本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分1函数的最小正周期为【答案】【KS5U解析】因为，所以函数的最小正周期为。2已知集合，则 【答案】【KS5U解析】因为，所以。3若(为虚数单位)为纯虚数，则实数的
2、值为 【答案】2【KS5U解析】因为为纯虚数，所以，解得。4若数列的通项公式为，则 【答案】【KS5U解析】因为，所以,，所以。5若双曲线的一条渐近线过点P(1, 2)，则b的值为_【答案】4【KS5U解析】双曲线的渐近线方程为，因为点P(1, 2)在第一象限，所以点P(1, 2)在渐近线上，所以有，所以。6已知，则的值为 【答案】【KS5U解析】因为所以。7已知直线：和：，则的充要条件是= 【答案】3【KS5U解析】因为的斜截式方程为，斜率存在为，所以直线的斜率也存在所以，即，所以要使，则有，解得或且，所以。8的展开式中的系数是 （用数字作答）【答案】36【KS5U解析】展开式的通项为，由，
3、得，所以，所以的系数是36.9执行右边的程序框图，若，则输出的S = 【答案】81【KS5U解析】由程序框图可知该程序是计算.当时，由得，所以所求的。10盒中装有形状、大小完全相同的7个球，其中红色球4个，黄色球3个若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于【答案】【KS5U解析】从7个球中取2个有种，颜色不同的有，所以取出的2个球颜色不同的概率等于。11已知，且函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围是 【答案】【KS5U解析】由得，设。做出函数的图象，当时，直线与有两个交点，所以要使有且仅有两个零点，则有，即实数的取值范围是。12已知函数(且)满足，若是的反函数，则关于x的不等
4、式的解集是 【答案】【KS5U解析】因为，所以，解得。因为是的反函数，所以，。所以由得，即，解得，即不等式的解集是。13已知抛物线上一点(m0)到其焦点F的距离为5，该抛物线的顶点在直线MF上的射影为点P，则点P的坐标为【答案】【KS5U解析】抛物线的焦点坐标，准线方程为。因为，所以解得。所以抛物线方程为，即，所以。即，则直线MF的方程为，斜率为。因为,所以的斜率为，即直线的方程为，即所以由解得，即点P的坐标为。14已知命题“若，则集合”是假命题，则实数的取值范围是【答案】【KS5U解析】题意即不等式在时有解. 令，则，又令，则的图像是直线，不等式 有解的充要条件是，或，或，或-7m0，或-1
5、m0-7m0.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15在四边形ABCD中，且0，则四边形ABCD是 （ ）A菱形 B矩形 C直角梯形 D等腰梯形【答案】A【KS5U解析】由可知四边形ABCD为平行四边形，又0，所以，即对角线垂直，所以四边形ABCD是菱形，选A.16已知且C，则（i为虚数单位）的最小值是 （ ）A B CD 【答案】D【KS5U解析】因为，所以的轨迹为圆。又的几何意义为圆上点到点距离的最小值。圆心到点的距离为,所以的最小值是，选D.17若矩阵满足下列条件：每行中的四
6、个数所构成的集合均为；四列中有且只有两列的上下两数是相同的则这样的不同矩阵的个数为 （ ）A24 B48 C144 D288【答案】C【KS5U解析】因为只有两列的上下两数相同，取这两列，有种，从1、2、3、4中取2个数排这两列，有种，排另两列，有种，共有=144种；.选C.18若是R上的奇函数，且在上单调递增，则下列结论：是偶函数；对任意的都有；在上单调递增；在上单调递增其中正确结论的个数为 （ ）A1 B2 C3 D4【答案】B【KS5U解析】取f(x)=x3，x=-1，则f(-x)+|f(x)|=f(1)+|f(-1)|=20，故错，又f(-x)=-x3在(-,0上单调减，故错. 对于，
7、设xR，则|f(-x)|=|-f(x)|=| f(x)| y=|f(x)|是偶函数，所以对；对于，设x1-x20，f(x)在0,+)上单调递增，f(-x1) f(-x2)f(0)=0 f 2(-x1) f 2 (-x2) f 2(x1) f 2 (x2)，f(x1) f(-x1)=- f 2(x1)- f 2(x2)= f(x2) f(-x2) y=f(x)f(-x)在(-,0上单调递增，故对.所以选B.三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤19（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分如图所示，在棱
8、长为2的正方体中，,分别为线段,的中点（1）求三棱锥的体积； （2）求异面直线与所成的角20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分在ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c，且A, B, C成等差数列（1）若，且，求的值；（2）若，求的取值范围21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分如图所示，是一个矩形花坛，其中AB= 6米，AD = 4米现将矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求：B在上，D在上，对角线过C点， 且矩形的面积小于150平方米 （1）设长为米，矩形的面积为平方米，试用解析式将表示成的函数，并写出该函数
9、的定义域；（2）当的长度是多少时，矩形的面积最小?并求最小面积 22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分给定椭圆：，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到点F的距离为（1）求椭圆C和其“准圆”的方程； （2）过椭圆C的“准圆”与轴正半轴的交点P作直线，使得与椭圆C都只有一个交点，求的方程；（3）若点是椭圆的“准圆”与轴正半轴的交点，是椭圆上的两相异点，且轴，求的取值范围23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分对于函数与常数，若恒成立，则称为函数
10、的一个“P数对”设函数的定义域为，且（1）若是的一个“P数对”，求；（2）若是的一个“P数对”，且当时，求在区间上的最大值与最小值；（3）若是增函数，且是的一个“P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由与；与 黄浦区2012学年度第一学期高三年级期终考试数学试卷（文科）参考答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分1； 2； 32； 4； 54 6； 73； 836；981； 10； 11 12； 13；14二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相
11、应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15A 16D 17C 18B三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤19（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分解：（1）在正方体中，是的中点， 3分又平面，即平面，故，所以三棱锥的体积为6分（2）连，由、分别为线段、的中点，可得，故即为异面直线与所成的角 8分平面，平面，在中， 所以异面直线EF与所成的角为 12分20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分解：（1）A、B、C成等差数列，又， 2分 由得，
12、4分又由余弦定理得， 6分由、得， 8分（2） 11分由（1）得， 由且，可得故，所以，即的取值范围为 14分21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分解：（1）由NDCNAM，可得，即，3分故， 5分由且，可得，解得，故所求函数的解析式为，定义域为 8分（2）令，则由，可得，故 10分， 12分当且仅当，即时又，故当时，取最小值96故当的长为时，矩形的面积最小，最小面积为（平方米）14分22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分解：（1）由题意知，且，可得，故椭圆C的方程为，其“准圆”方程为 4分（2）由题意可
13、得点坐标为，设直线过且与椭圆C只有一个交点，则直线的方程可设为，将其代入椭圆方程可得 6分，即，由，解得， 8分所以直线的方程为，的方程为，或直线的方程为，的方程为 10分（3）由题意，可设，则有，又A点坐标为，故， 12分故, 14分又，故， 所以的取值范围是 16分23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分解：（1）由题意知恒成立，令，可得，数列是公差为1的等差数列，故，又，故 3分（2）当时，令，可得，由可得，即时， 4分可知在上的取值范围是 又是的一个“P数对”，故恒成立，当时， 6分故当为奇数时，的取值范围是；当为偶数时，的取值范围是 8分由此可得在上的最大值为，最小值为10分（3）由是的一个“P数对”，可知恒成立，即恒成立， 令，可得， 12分即，又，是一个等比数列，所以 15分当时，由是增函数，故，又，故有18分