1、第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)考点一圆锥曲线中的定点问题 解析 试题 1(2014高考山东卷节选)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，A 为 C 上异于原点的任意一点，过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B，交 x 轴的正半轴于点 D，且有|FA|FD|.当点 A 的横坐标为 3 时，ADF 为正三角形(1)求 C 的方程；(2)若直线 l1l，且 l1和 C 有且只有一个公共点 E.证明直线 AE 过定点
2、，并求出定点坐标考点一 考点二 考点三 上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)(1)由题意知 Fp2，0.设 D(t,0)(t0)，则 FD 的中点为p2t4，0.因为|FA|FD|，由抛物线的定义知 3p2tp2，解得 t3p 或 t3(舍去)由p2t43，解得 p2.所以抛物线 C 的方程为 y24x.考点一考点一 考点二 考点三 试题 解析 上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)(2)由(1)知 F(1,0)，设 A(x0，y0)(x0y00)，D(xD,0)(xD0)，因为|FA|FD|，则
3、|xD1|x01，由 xD0 得 xDx02，故 D(x02,0)故直线 AB 的斜率 kABy02.因为直线 l1和直线 AB 平行，设直线 l1的方程为 yy02xb，代入抛物线方程得 y28y0y8by00，由题意 64y2032by0 0，得 b2y0.考点一考点一 考点二 考点三 试题 解析 上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)设 E(xE，yE)，则 yE4y0，xE4y20.当 y204 时，kAEyEy0 xEx04y0y04y20y204 4y0y204，可得直线 AE 的方程为 yy0 4y0y204(xx0)，由 y204
4、x0，整理可得 y 4y0y204(x1)，直线 AE 恒过点 F(1,0)当 y204 时，直线 AE 的方程为 x1，过点 F(1,0)，所以直线 AE 过定点 F(1,0)考点一考点一 考点二 考点三 试题 解析 上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)考点二圆锥曲线中的定值问题 解析 试题 2(2016高考北京卷)已知椭圆 C：x2a2y2b21 过 A(2,0)，B(0,1)两点(1)求椭圆 C 的方程及离心率；(2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N，求证：四边形
5、 ABNM 的面积为定值考点一 考点二 考点三 上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)考点二(1)由题意得 a2，b1，所以椭圆 C 的方程为x24 y21.又 c a2b2 3，所以离心率 eca 32.(2)证明：设 P(x0，y0)，(x00，y0b0)的离心率是 22，点 P(0,1)在短轴 CD 上，且PCPD 1.(1)求椭圆 E 的方程；(2)设 O 为坐标原点，过点 P 的动直线与椭圆交于 A，B 两点是否存在常数，使得OA OB PAPB为定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由考点三考点一 考点二 考点三 上页 下页 课前
6、自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)考点三考点一 考点二 考点三 解析 试题 (1)由已知，点 C，D 的坐标分别为(0，b)，(0，b)又点 P 的坐标为(0,1)，且PCPD 1，于是1b21，ca 22，a2b2c2，解得 a2，b 2.所以椭圆 E 的方程为x24 y221.上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)考点三考点一 考点二 考点三 解析 试题 (2)当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 ykx1，点A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)联立x24 y221，ykx1，得
7、(2k21)x24kx20.其判别式(4k)28(2k21)0，所以 x1x24k2k21，x1x222k21.从而OA OB PAPBx1x2y1y2x1x2(y11)(y21)上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)考点三考点一 考点二 考点三 解析 试题 (1)(1k2)x1x2k(x1x2)124k2212k21 12k212，所以，当 1 时，12k2123.此时，OA OB PAPB3 为定值当直线 AB 的斜率不存在时，直线 AB 即为直线 CD.此时，OA OB PAPBOC OD PCPD 213.故存在常数 1，使得OA OB
8、PAPB为定值3.上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)考点三考点一 考点二 考点三 诊断评价考点错题题号错因(在相应错因中画)知识性 方法性 运算性审题性考点一考点二考点三 用自己的方式诊断记录 减少失误从此不再出错根据上面所做题目，请填写诊断评价上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)考点一圆锥曲线中的定点问题经典结论全通关定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为 ykxb，然后利用条件建立 b，k 等量关系进行消元，借助于直线系方程找出定点；(2)从特殊情况入手，先探求定点，
9、再证明一般情况考点一 考点二 考点三 上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)考点一 解析 师生共研析重点例(2016宜兴模拟)已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 22，它的一个焦点恰好与抛物线 y24x 的焦点重合(1)求椭圆 C 的方程；(2)设椭圆的上顶点为 A，过点 A 作椭圆 C 的两条动弦 AB，AC，若直线 AB，AC 斜率之积为14，直线 BC 是否一定经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由考点一 考点二 考点三 试题 上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合
10、应用(二)考点一(1)易知x22 y21.(2)由(1)知 A(0,1)，当直线 BC 的斜率不存在时，设 BC：xx0，设 B(x0，y0)，则 C(x0，y0)，kABkACy01x0 y01x01y20 x20 12x20 x20 1214，不合题意故直线 BC 的斜率存在设直线 BC 的方程为：ykxm(m1)，并代入椭圆方程，得：(12k2)x24kmx2(m21)0，由(4km)28(12k2)(m21)0 得 2k2m210.考点一 考点二 考点三 试题 解析 上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)考点一设 B(x1，y1)，C(x
11、2，y2)，则 x1，x2是方程的两根，由根与系数的关系得，x1x2 4km12k2，x1x22m2112k2，由 kABkACy11x1 y21x2 14得：4y1y24(y1y2)4x1x2，即(4k21)x1x24k(m1)(x1x2)4(m1)20，整理得(m1)(m3)0，又因为 m1，所以 m3，此时直线 BC 的方程为 ykx3.所以直线 BC 恒过一定点(0,3)考点一 考点二 考点三 试题 解析 上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)考点一由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：yy0kxx0，则直线必过定点x0，y0；若
12、得到了直线方程的斜截式：ykxm，则直线必过定点0，m.考点一 考点二 考点三 上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)解析 试题 巩固训练增分练椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，过其右焦点 F 与长轴垂直的弦长为 1.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A、B，点 P 是直线 x1 上的动点，直线 PA 与椭圆的另一交点为 M，直线 PB 与椭圆的另一交点为 N.求证：直线 MN 经过一定点考点一考点一 考点二 考点三 上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合应
13、用(二)(1)依题意 eca 32，过焦点 F与长轴垂直的直线 xc与椭圆x2a2y2b21联立解得弦长为2b2a 1，所以椭圆的方程为x24 y21.(2)证明：设 P(1，t)，则 kPAt012t3，直线 lPA：yt3(x2)，联立方程yt3x2，x24 y21，解析 试题 考点一考点一 考点二 考点三 上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)得(4t29)x216t2x16t2360，可知2xM16t2364t29，所以 xM188t24t29，则xM188t24t29，yM 12t4t29.同理得到xN8t224t21，yN4t4t21
14、.由椭圆的对称性可知这样的定点在 x 轴上 解析 试题 考点一考点一 考点二 考点三 上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)不妨设这个定点为 Q(m,0)，则 kMQ12t4t29188t24t29 m，kNQ4t4t218t224t21m，kMQkNQ，故(8m32)t26m240，得 m4.即直线 MN 经过定点(4,0)解析 试题 考点一考点一 考点二 考点三 上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)圆锥曲线中的定值问题经典结论全通关解答圆锥曲线的定值，从三个方面把握(1)从特殊开始，求出定值，
15、再证明该值与变量无关；(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以求出定值考点二考点一 考点二 考点三 上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)考点二 解析 试题 师生共研析重点例(2016湖南东部六校联考)如图，已知M(x0，y0)是椭圆 C：x26 y231 上的任一点，从原点 O 向圆 M：(xx0)2(yy0)22作两条切线，分别交椭圆于点 P，Q.(1)若直线 OP，OQ 的斜率存在，并记为 k1，k2，求证：k1k2 为定值；(2)试问|OP|
16、2|OQ|2 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由考点一 考点二 考点三 上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)考点二考点一 考点二 考点三(1)证明：因为直线 OP：yk1x 以及 OQ：yk2x 与圆 M 相切，所以|k1x0y0|1k21 2，化简得(x202)k212x0y0k1y2020，同理(x202)k222x0y0k2y2020，所以 k1，k2 是方程(x202)k22x0y0ky2020 的两个不相等的实数根，所以 k1k2y202x202.解析 试题 上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥
17、曲线的综合应用(二)考点二考点一 考点二 考点三 因为点 M(x0，y0)在椭圆 C 上，所以x206 y2031，即 y20312x20，所以 k1k2112x20 x202 12.(2)|OP|2|OQ|2 是定值，定值为 9.理由如下：()当直线 OP，OQ 不落在坐标轴上时，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立yk1xx26 y231，解得x21612k21y21 6k2112k21.解析 试题 上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)考点二考点一 考点二 考点三 所以 x21y2161k2112k21，同理，得 x22y2261k
18、2212k22，由 k1k212，得|OP|2|OQ|2x21y21x22y2261k2112k21 61k2212k22 61k2112k21 61 12k1212 12k12 918k2112k21 9.()当直线 OP，OQ 落在坐标轴上时，显然有|OP|2|OQ|29，综上，|OP|2|OQ|29.解析 试题 上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)解析 试题 巩固训练增分练(2016合肥模拟)设 A，B 为抛物线 y2x 上相异两点，其纵坐标分别为 1，2，分别以 A，B 为切点作抛物线的切线 l1，l2，设 l1，l2相交于点 P.(1
19、)求点 P 的坐标；(2)M 为 A，B 间抛物线段上任意一点，设PM PAPB，试判断 是否为定值？如果为定值，求出该定值，如果不是定值，请说明理由考点二考点一 考点二 考点三 上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)(1)由题知 A(1,1)，B(4，2)，设点 P 的坐标为(xP，yP)，切线 l1：y1k(x1)，联立y1kx1y2x，由抛物线与直线l1相切，解得 k12，即 l1：y12x12，同理，l2：y14x1.联立 l1，l2的方程，可解得xP2yP12，即点 P的坐标为2，12.解析 试题 考点二考点一 考点二 考点三 上页 下
20、页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)(2)设 M(y20，y0)，且2y01.由PM PAPB得y202，y012 3，32 6，32，即y20236y01232，解得y0229y0129，则 y0231y031，即 为定值 1.解析 试题 考点二考点一 考点二 考点三 上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)考点三圆锥曲线中的探索存在性问题经典结论全通关1存在性问题的解题步骤(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，
21、若无解则不存在(3)得出结论考点一 考点二 考点三 上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)考点三2解决探索性问题的注意事项存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径考点一 考点二 考点三 上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)考点三 解析 试题 师生共研析重点例(2016广西模拟)已知椭圆
22、 C：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为F(1,0)，短轴的一个端点 B 到点 F 的距离等于焦距(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，是否存在直线 l，使得BFM 与BFN 的面积比值为 2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由考点一 考点二 考点三 上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)(1)由已知得 c1，a2c2，b2a2c23，所以椭圆 C 的方程为x24 y231.(2)SBFMSBFN2 等价于|FM|FN|2，当直线 l 的斜率不存在时，|FM|FN|1，不符合题意
23、，舍去；当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 yk(x1)，由x24 y23 1ykx1，消去 x 并整理得(34k2)y26ky9k20，考点三考点一 考点二 考点三 解析 试题 上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 y1y26k34k2，y1y2 9k234k2，由|FM|FN|2 得 y12y2，由解得 k 52，因此存在直线 l：y 52(x1)，使得BFM 与BFN 的面积比值为 2.考点三考点一 考点二 考点三 解析 试题 上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四
24、讲 圆锥曲线的综合应用(二)有关存在性问题需要探索的还有是否存在椭圆双曲线、抛物线、点 P、圆过定点或直线过定点、某一常数、某三角形面积的最值等使得某一个条件成立，若存在并求之，若不存在说明理由.解决这些问题要以存在为前提，充分探究条件成立的内在本质联系，按照与之有关的思路方法进行探索，结果将会自然呈现.考点三考点一 考点二 考点三 上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)考点三 解析 试题 巩固题组增分练1.已知抛物线：y22px，准线与 x 轴的交点为 P(2,0)(1)求抛物线 的方程(2)如图，Q(1,0)，过点 P 的直线 l 与抛物线
25、交于不同的两点 A，B，AQ 与 BQ 分别与抛物线 交于点 C，D，设 AB，DC 的斜率分别为 k1，k2，AD，BC 的斜率分别为 k3，k4.问：是否存在常数，使得 k1k3k4k2？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由考点一 考点二 考点三 上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)(1)由题意知p22，则 p4，所以抛物线 的方程为 y28x.(2)假设存在实数.设直线 AB 的方程为 xmy2，Ay218，y1，By228，y2，Cy238，y3，Dy248，y4.由xmy2，y28x，化简得 y28my160，所以y1y28m，y
26、1y216.AQ 1y218，y1，AC y238y218，y3y1.考点三考点一 考点二 考点三 解析 试题 上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)由AQ AC 化简可得 y1y38，同理可得 y2y48.易得 k18y1y2，k28y3y488y1 8y2 y1y2y1y2，k38y1y48y18y2y2，k48y2y38y28y1y1.所以代入 k1k3k4k2，得8y1y2y1y2 y1y2y1y2，所以存在常数 8，使得 k1k3k4k2.考点三考点一 考点二 考点三 解析 试题 上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第
27、四讲 圆锥曲线的综合应用(二)考点三 解析 试题 2如图，椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的离心率是 22，点 P(0,1)在短轴 CD 上，且PCPD 1.(1)求椭圆 E 的方程；(2)设 O 为坐标原点，过点 P 的动直线与椭圆交于 A，B 两点是否存在常数，使得OA OB PAPB为定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由考点一 考点二 考点三 上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)(1)由已知，点 C，D 的坐标分别为(0，b)，(0，b)又点 P 的坐标为(0,1)，且PCPD 1，于是1b21，ca 22，a2b2c2，解
28、得 a2，b 2.所以椭圆 E 的方程为x24 y221.(2)当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 ykx1，点 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)考点三考点一 考点二 考点三 解析 试题 上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)联立x24 y221，ykx1，得(2k21)x24kx20.其判别式(4k)28(2k21)0，所以 x1x24k2k21，x1x222k21.从而OA OB PAPBx1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)1考点三考点一 考点二 考点三 解析 试题 上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)24k2212k21 12k212，所以，当 1 时，12k2123.此时，OA OB PAPB3 为定值当直线 AB 的斜率不存在时，直线 AB 即为直线 CD.此时，OA OB PAPBOC OD PCPD 213.故存在常数 1，使得OA OB PAPB为定值3.考点三考点一 考点二 考点三 解析 试题 上页 下页 课前自主诊断 限时规范训练 课堂对点补短 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)限时规范训练 本课内容结束