1、2017 年考试大纲修订内容中增加了数学文化的要求，其主要目的是注重传统文化在现实中的创造性转化和创新性发展，从而实现考试的社会意义和现实目的其实，近几年高考数学试卷早已出现以数学文化为背景的新颖命题，将数学知识、方法、文化融为一体，有效考查学生在新情境下对知识的理解及迁移运用能力只不过前几年考纲未做明确要求，未引起广大师生的重视.2017 年考纲作出明确要求后，相信以后的高考关于数学文化的命题会加大，应引起师生们的重点关注高考将会从以下几个角度实现数学知识与数学文化的有效“嫁接”策略（三）重视高考对数学文化的考查考场解题胜人一筹典例 1(2008湖北高考)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月
2、转移轨道飞向月球，在月球附近一点 P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在 P 点第三次变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道绕月飞行，若用 2c1和 2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用 2a1和 2a2分别表示椭圆轨道和的长轴的长，给出下列式子：以现代科技或数学时事为题材a1c1a2c2；a1c1a2c2；c1a2a1c2；c1a1c2a2.其中正确式子的序号是()A B C D解析 由题图知 2a12a2，2c12c2；即 a1a2，c1c2，a1c1a2c2，不正确 a1c1|PF|，a2c2|
3、PF|，a1c1a2c2，正确a1a20，c1c20.a21a22，c21c22，又a1c1 a2c2.即 a1c2a2c1，即 a21c222a1c2a22c212a2c1.a21c21c22a222a1c22a2c1，即(a1c1)(a1c1)(a2c2)(a2c2)2a1c22a2c1，整理得(a1c1)(a1a2c1c2)2a1c22a2c1.a1c1，a1a2，c1c2，2a1c22a2c1.即 c1a2a1c2，正确c1a2a1c2，a10，a20，c1a2a1a2a1c2a1a2.即c1a1c2a2，不正确答案 B精彩赏析本例以“嫦娥一号”卫星为背景，抽象出一条对称轴、一个焦点和
4、一个顶点的两个椭圆间的几何性质，并采用数形结合的方式构筑成题，题中所给的有关椭圆基本量的四个式子，形式上采用加、减、乘、除四则运算，并结合相等与不等关系组合而成，搭配对称和谐，富有数学美感，该题对于引导中学数学教育，理论联系实际，关注科普知识、重视数学文化有着非常重要的导向作用 类题尝试1.(2007北京高考)2002 年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)，如果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较小的锐角为.那么 cos 2 的值等于_解析：小正方形的面积为 1，大
5、正方形的面积为 25.每一个直角三角形的面积是 6，设直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，则a2b225，12ab6，两条直角边的长分别为 3，4，又直角三角形中较小的锐角为，cos 45，cos 22cos21 725.答案 725以数学名著为题材典例 2(1)(2016四川高考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例若输入 n，x 的值分别为 3，2，则输出v 的值为()A9 B18C20 D35(2)(2015全国卷)九章算术是我国古代
6、内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有()A14 斛 B22 斛C36 斛D66 斛(3)(2014湖北高考)算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六成一该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L与高 h，计算其体
7、积 V 的近似公式 V 136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3.那么，近似公式 V 275L2h相当于将圆锥体积公式中的 近似取为()A.227 B.258C.15750D.355113(4)(2013湖北高考)我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中积水深九寸，则平地降雨量是_寸(注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸)解析(1)由程序框图知，初始值：n3，x2，v1，i2，第一次循环：v4，i1；第二次循环：v9，i0；第三次循环：v18，i1
8、.结束循环，输出当前 v 的值 18.故选 B.(2)设米堆的底面半径为 r 尺，则2 r8，所以 r16，所以米堆的体积为 V1413r251216253209(立方尺)故堆放的米约有3209 1.6222(斛)故选 B.(3)由题意知 275L2h13r2h 275L213r2，而 L2r，代入得258.(4)以我国数学名著数书九章为题材，考查台体的体积圆台中截面圆的半径为十寸，圆台内水的体积为 V13h(r2中r2下r中 r下)3 9(10262106)588(立方寸)，降雨量为V1425881963(寸)答案(1)B(2)B(3)B(4)3精彩赏析本例(1)(4)是以九章算术、数书九章
9、和算数书为背景，相应考查算法、圆锥的体积公式和圆台的体积公式等数学知识九章算术大约成书于公元 1 世纪，是中国古代最著名的传世数学著作，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系；数书九章成书于 1247 年 9 月，是对九章算术的继承和发展，它概括了宋元时期中国传统数学的主要成就，标志着中国古代数学的高峰；算数书成书于公元前 186 年以前，是目前已知最早的中国数学著作，它不仅系统地总结了秦和先秦的数学成就，为中国古代数学的发展奠定了基础，同时对后世的九章算术的产生也有一定的影响，而且开创了我国古代数学重应用的特色，标志着我国古代数学理论体系开始初步形成以上高考试题，介绍了三部数学名著，让学生
10、更加了解九章算术数书九章和算数书等数学名著，从这个意义上讲，这些试题的价值实际上已远远超出了试题本身类题尝试2(2016全国丙卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图执行该程序框图，若输入的 x2，n2，依次输入的 a 为 2，2，5，则输出的 s()A7 B12C17 D34解析：选 C 第一次运算：s0222，k1；第二次运算：s2226，k2；第三次运算：s62517，k32，结束循环，s17.3(2015全国卷)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入的 a，b 分别为 14，18，则输 出的 a()A0 B2
11、C4 D14解析：选 B a14，b18.第一次循环：1418 且 144，a14410；第三次循环：104 且 104，a1046；第四次循环：64 且 64，a642；第五次循环：24 且 24，b422；第六次循环：ab2，跳出循环，输出 a2，故选 B.典例 3(2012湖北高考)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数 1，3，6，10，记为数列an，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn可以推测：(1)b2 012 是数列an中的第_项；(2)b2k1_(用 k 表示)以数学名人为题材解析 由题意
12、可得 an123nn（n1）2，nN*，故 b1a4，b2a5，b3a9，b4a10，b5a14，b6a15，由上述规律可知：b2ka5k5k（5k1）2(k 为正整数)，b2k1a5k1（5k1）（5k11）25k（5k1）2，故 b2 012b21 006a51 006a5 030，即 b2 012 是数列an中的第 5 030 项 答案(1)5 030(2)5k（5k1）2精彩赏析此题是以形为载体，考查数列的通项公式等基础知识，考查特殊与一般的数学思想方法，考查归纳与猜想、推理与计算的能力，试题既合理引用了经典史料，又不刻意增加难度，同时对学生的数感进行了有效地考查，让学生在数学史的背景
13、中，体验数学的理性精神在数学史上，古希腊数学家毕达哥拉斯最早把正整数和几何图形联系在一起，把数描绘成沙滩上的小石子，又按小石子所能排列的形状，把正整数与正三角形、正方形等图形联系起来，得数分为三角形数、正方形数，这样一来，抽象的正整数就有了生动的形象，寻找它们之间的规律也就容易多了 毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘在算术引论中将多边形数推广到多面体数，公元前 6 世纪，还没有纸，用小石子研究数的性质，既方便又直观，这真是古希腊人的一种创造，也是认识数的一种有趣方法，英语中的“calculation”一词来源于拉丁文“calculus”，就是小石子的意思 类题尝试4古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过
14、各种多边形数如三角形数 1，3，6，10，第 n 个三角形数为n（n1）212n212n.记第 n 个 k 边形数为 N(n，k)(k3)，以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式：三角形数 N(n，3)12n212n，正方形数 N(n，4)n2，五边形数 N(n，5)32n212n，六边形数 N(n，6)2n2n，可 以 推 测 N(n，k)的表 达 式，由 此 计 算 N(10，24)_解析：由 N(n，4)n2，N(n，6)2n2n，可以推测：当 k 为偶数时，N(n，k)k21 n2k22 n，于是 N(n，24)11n210n，故 N(10，24)1110210101 000
15、.答案：1 000即时体会领悟 致同学 数学文化只是一种命题载体，没必要引起广大师生的紧张和恐慌只要平时多积累和了解一些这方面的常识，解题中注意审题，实现载体与考点的有效转化，透过表象看本质，问题便可迎刃而解一、选择题1九章算术是人类科学史上应用数学的最早巅峰，在研究比率方面的应用十分丰富，其中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来 1 534 石，验其米内杂谷，随机取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约()A134 石 B169 石C268 石 D338 石解析：选 B 设这批米内夹谷约为 x 石，根据随机抽样事件的概率得x1 534 28254，得 x169.故选
16、 B.2我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九面一，所得开立方除之，即立圆径“开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V，求其直径 d 的一个近似公式d3 169 V.人们还用过一些类似的近似公式，根据 3.141 59判断，下列近似公式中最精确的一个是()Ad3 169 VBd3 2VCd3 300157VDd3 2111V解析：选 D 由球体积公式得 d36V3 1.909 860 93V.因为169 1.777 777 78，3001571.910 828 03，21111.909 090 91.而2111最接近于 6，所以选 D.3我国古代数学名著九章算术中，有
17、已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列 1，12，13，14，1n.第二步：将数列的各项乘以 n，得数列(记为)a1，a2，a3，an.则 a1a2a2a3an1an 等于()An2 B(n1)2Cn(n1)Dn(n1)解析：选 C a1a2a2a3an1an n1n2n2n3 nn1nn n2112 1231（n1）n n21121213 1n11n n2n1n n(n1)4九章算术是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中
18、，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深 1 寸，锯道长 1 尺问这块圆柱形木料的直径是多少？长为 1 丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)已知弦 AB1 尺，弓形高 CD1 寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为()注：1丈10尺100寸，3.14，sin 22.5 513A600 立方寸B610 立方寸C620 立方寸D633 立方寸解析：选 D 连接 OA，OB，OD，设O 的半径为 R，则(R1)252R2，R13.sinAODADAO 513.AOD22.5，即AOB45.故AOB4.S 弓形 ACBS 扇形 OACBSOAB 124 1321210
19、126.33 平方寸 该木材镶嵌在墙中的体积为 VS 弓形 ACB100633 立方寸选 D.二、填空题5九章算术“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列上面 4 节的容积共为 3 升，下面 3节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为_升解析：设该数列an的首项为 a1，公差为 d，依题意a1a2a3a43，a7a8a94，即4a16d3，3a121d4，解得a17d43，d 766，则 a5a14da17d3d4321666766.答案：67666中国古代数学名著九章算术中记载了公元前 344 年商鞅督造一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)若 取
20、3，其体积为 12.6(立方寸)，则图中的 x 的值为_解析：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得：(5.4x)31122x12.6.解得 x1.6.答案：1.67我国古代数学名著九章算术中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”其 体 现 的 是 一 种 无 限 与 有 限 的 转 化 过 程，比 如 在2 2 2中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程2xx 确定 x2，则 11111_解析：由题意，可令 11111x，即 11xx，即 x2x10，解得 x1 52x1 52舍，故 111111 52.答案：1
21、 52三、解答题8.中国古代数学名著九章算术中的“引葭赴岸”是一道名题，其内容为：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与齐，问水深葭长各几何”意为：今有边长为 1 丈的正方形水池的中央生长着芦苇，长出水面的部分为 1 尺，将芦苇牵引向池岸，恰巧与水岸齐接，问水深芦苇的长度各是多少？将该问题拓展如图，记正方形水池的剖面图为 ABCD，芦苇根部O 为 AB 的中点，顶端为 P(注芦苇与水面垂直)，在牵引顶端 P 向水岸边点 D 的过程中，当芦苇经过 DF 的中点 E 时，问芦苇的顶端离水面的距离为多少？(注：1 丈10 尺，60124.5)解：设水深为 x 尺，则 x252(x1)2
22、，解得，x12.水深为 12 尺，芦苇长为 13 尺，以 AB 所在的直线为 x 轴，芦苇所在的直线为y 轴，建立直角坐标系，在牵引过程中，P 的轨迹是以 O 为圆心，半径为 13 的圆，其方程为 x2y2169(5x5，12y13)，E 点的坐标为52，12.OE 所在的直线方程为 y245 x，由联立解得 y169576601132424.5 62449.则此时芦苇的顶端离水面的距离为62449 123649尺9(2015湖北高考)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马 P-ABCD 中，侧棱 PD底面 AB
23、CD，且 PDCD，过棱 PC 的中点 E，作 EFPB 交 PB 于点 F，连接 DE，DF，BD，BE.(1)证明：PB平面 DEF.试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由(2)若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为3，求DCBC的值解：(1)证明：如图，以 D 为原点，射线 DA，DC，DP 分别为 x，y，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系设 PDDC1，BC(0)，则 D(0，0，0)，P(0，0，1)，B(，1，0)，C(0，1，0)，(，1，1)，因为点 E 是棱 PC 的中点，所以 E0，12，12，0，12，1
24、2，于是0，所以 PBDE.又已知 EFPB，而 DEEFE，所以 PB平面 DEF.因为(0，1，1)，所以0，所以 DEPC，而 PBPCP，所以 DE平面 PBC.由 DE平面 PBC，PB平面 DEF，可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体 BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB，DEF，EFB，DFB.(2)由 PD平面 ABCD，所以(0，0，1)是平面 ABCD 的一个法向量由(1)知，PB平面 DEF，所以(，1，1)是平面 DEF 的一个法向量 若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为3，结合 0，解得 2，所以DCBC1 22.故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为3 时，DCBC 22.