1、要点导学各个击破离散型随机变量及其分布列例1(2014苏北四市期末)某品牌汽车4S店经销A,B,C三种排量的汽车,其中A,B,C三种排量的汽车依次有5,4,3款不同车型.某单位计划购买该品牌3辆不同车型的汽车,且购买每款车型等可能.(1) 求该单位购买的3辆汽车均为B种排量汽车的概率;(2) 记该单位购买的3辆汽车的排量种数为X,求X的分布列及数学期望.【分析】(1) 古典概型,利用组合数公式即可.(2) 中先确定随机变量X的所有可能取值,然后求出各取值的概率,列出分布列.【解答】(1) 设“该单位购买的3辆汽车均为B种排量汽车”为事件M,则P(M)=,所以该单位购买的3辆汽车均为B种排量汽车
2、的概率为.(2) 随机变量X的所有可能取值为1,2,3.则P(X=1)=,P(X=3)=,P(X=2)=1-P(X=1)-P(X=3)=.所以X的概率分布列为X123P数学期望E(X)=1+2+3=.【点评】求离散型随机变量分布列的步骤:(1) 找出随机变量X的所有可能取值xi(i=1,2,3,n);(2) 求出各取值的概率P(X=xi)=pi;(3) 列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确.变式从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动.(1) 求所选3人中恰有一名男生的概率;(2) 求所选3人中男生人数X的分布列.【解答】(1) 所选3人中恰有一名男生
3、的概率P=.(2) X的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.所以X的分布列为X0123P例2假定某人每次射击命中目标的概率均为,现连续射击3次.(1) 求此人至少命中目标2次的概率;(2) 若此人前3次射击都没有命中目标,则再补射1次后结束射击;否则,射击结束.记此人射击结束时命中目标的次数为X,求X的数学期望.【分析】问题(1)要考虑独立重复试验的问题,“至少命中2次”要分“恰命中2次”和“恰命中3次”两种情形.问题(2)要弄清X可能为0,1,2,3,然后分别求其相应概率.【解答】(1) 设此人至少命中目标2次的事件为A,则P(A)=+=
4、,即此人至少命中目标2次的概率为.(2) 由题意知X的可能取值为0,1,2,3,且P(X=0)=,P(X=1)=+=,P(X=2)=,P(X=3)=.从而E(X)=0+1+2+3=.【点评】在处理n次独立重复试验问题时要从三个方面考虑:一是每次试验在相同条件下进行;二是各次试验下的条件是相互独立的;三是每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生.事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,n,其中p是一次试验中该事件发生的概率.变式(2014南通期末)如图,设P1,P2,P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点,现任选其中三个不同点构成一个三角形,记该三角
5、形的面积为随机变量S.(变式)(1) 求S=的概率;(2) 求S的分布列及数学期望E(S).【解答】(1) 从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有种不同选法,其中S=的是有一个角是30的直角三角形(如P1P4P5),共62=12种,所以P=.(2) S的所有可能取值为,.S=的为顶角是120的等腰三角形(如P1P2P3),共6种,所以P=.S=的为等边三角形(如P1P3P5),共2种,所以P=.又由(1)知P=,故S的分布列为SP所以E(S)=+=.离散型随机变量的均值与方差例3如图,茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数,乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X表示.(例3)(1
6、) 若X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差;(2) 若X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数Y的概率分布和数学期望.【分析】求一些数字的平均数或方差,直接利用相应公式求解即可.问题(2)中对条件“这两名同学的植树总棵树Y”的正确理解是解题的关键.求概率时,应注意到基本事件数应为44=16,而Y的可能取值为17,18,19,20,21,然后再求其相应概率及其分布列、数学期望.【解答】(1) 当X=8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10,所以平均数为=,方差为s2=(8-)2+(8-)2+(9-)2+=.(2) 当X=9时,由茎叶图可知,甲组同
7、学的植树棵树是:9,9,11,11;乙组同学的植树棵数是:9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有44=16种可能的结果,这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵,乙组选出的同学植树8棵”,所以该事件有2种可能的结果,因此P(Y=17)=.同理可得P(Y=18)=,P(Y=19)=,P(Y=20)=,P(Y=21)=.所以随机变量Y的分布列为:Y1718192021PE(Y)=17+18+19+20+21=19.【点评】离散型随机变量的期望和方差都是随机变量的重要特征数,期望反映了随机变量的平均值,方差反映
8、了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.变式(2014南京、盐城二模)某中学有4位学生申请A,B,C三所大学的自主招生.若每位学生只能申请其中一所大学,且申请其中任何一所大学是等可能的.求:(1) 恰有2人申请A大学的概率;(2) 被申请的大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X).【解答】(1) 记“恰有2人申请A大学”为事件A,则P(A)=.答:恰有2人申请A大学的概率为.(2) X的所有可能值为1,2,3.P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.故X的概率分布列为X123P所以X的数学期望E(X)=1+2+3=.1. 设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X去描述1次
9、试验的成功次数,则P(X=0)=.【答案】【解析】由题意知,X服从二点分布,成功率为,所以P(X=0)=.2. (2014苏州模拟)已知随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1,2,3),则P(X=2)=.【答案】【解析】由分布列的性质知+=1,所以a=3,所以P(X=2)=.3. (2014苏州、无锡、常州、镇江、连云港、徐州调研)甲、乙两个同学进行定点投篮游戏,已知他们每一次投篮投中的概率均为,且各次投篮的结果互不影响.甲同学决定投5次,乙同学决定投中1次就停止,否则就继续投下去,但投篮次数不超过5.(1) 求甲同学至少有4次投中的概率;(2) 求乙同学投篮次数的概率分布和数学期望.【解
10、答】(1) 设甲同学在5次投篮中,“至少有4次投中”的概率为P,则P=P(x=4)+P(x=5)=+=.(2) 由题意,=1,2,3,4,5.P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=,P(=4)=,P(=5)=.所以的分布列为12345P数学期望E()=1+2+3+4+5=.4. (2014南京学情调研)将编号为1,2,3,4的四个小球分别放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,每个盒子中有且仅有一个小球.若小球的编号与盒子的编号相同,得1分,否则得0分.记为四个小球得分总和.(1) 求=2时的概率;(2) 求的概率分布及数学期望.【解答】(1) 当=2时,则编号为1,2,3,4的四个小球中有且仅有两个小球的编号与盒子的编号相同,故P(=2)=,即=2时的概率为.(2) 由题知的可能取值有0,1,2,4,则P(=1)=,P(=2)=,P(=4)=,P(=0)=1-=.故的分布列为:0124P所以E()=0+1+2+4=1.