1、师说考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin cos cos sin .(2)cos()cos cos sin sin .(3)tan()tan tan 1tan tan .题型专题(十二)三角恒等变换与解三角形高考常考这些点，研透常考题型，考题千变难离左右 三角恒等变换及求值2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2 2sin cos .(2)cos 2 cos2 sin2 2cos2 112sin2.(3)tan 2 2tan 1tan2.典例(1)(2016全国乙卷)已知 是第四象限角，且sin(4)35，则 tan4 _解析 由题意知 sin4 35，是第四象限
2、角，所以cos4 0，所以 cos4 1sin24 45.tan4 tan4 2 sin2 4cos2 4cos4sin4455343.答案 43(2)(2016河南六市联考)已知 cos6 sin 4 35，则sin76的值是_解析 由 cos6 sin 4 35，可得 32 cos 12sin sin 4 35，即32sin 32 cos 4 35，3sin6 4 35，sin6 45，sin76sin6 45.答案 45类题通法三角恒等变换的“4 大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin2 cos2 tan 45等；(2)项的分拆与角的配凑：如 sin2 2cos2(sin2
3、 cos2)cos2，()等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦 演练冲关1(2016贵阳模拟)已知 2，sin 513，则tan4()A 717B.177C.717D177解析：选 C 因为2，所以 cos 1213，所以tan 512，所以 tan4 tan tan41tan tan4 51211 512 717.2(2016东北四市联考)已知 sin6 cos6 ，则cos 2()A1 B1 C.12D0解析：选 D sin6 cos6 ，12cos 32 sin 32 cos 12sin，即12 32 sin(1232)cos，ta
4、n sin cos 1，cos 2cos2sin2cos2sin2sin2cos21tan2tan210.师说考点1正弦定理及其变形在ABC 中，asin Absin Bcsin C2R(R 为ABC 的外接圆半径)变形：a2Rsin A，sin A a2R，abcsin Asin Bsin C 等正（余）弦定理2余弦定理及其变形在ABC 中，a2b2c22bccos A.变形：b2c2a22bccos A，cos Ab2c2a22bc.3三角形面积公式SABC12absin C12bcsin A12acsin B.典例(1)(2016全国甲卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b
5、，c，若 cos A45，cos C 513，a1，则 b_.解析 因为 A，C 为ABC 的内角，且 cos A45，cos C 513，所以 sin A35，sin C1213，所以 sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C35 5134512136365.又 a1，所以由正弦定理得 basin Bsin A 6365532113.答案 2113(2)(2016全国乙卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cos C(acos Bbcos A)c.求 C；若 c 7，ABC 的面积为3 32，求ABC 的周长解 由已知及正弦定
6、理得 2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，即 2cos Csin(AB)sin C，故 2sin Ccos Csin C.可得 cos C12，所以 C3.由已知得12absin C3 32.又 C3，所以 ab6.由已知及余弦定理得 a2b22abcos C7，故 a2b213，从而(ab)225.所以ABC 的周长为 5 7.类题通法正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理注意 应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”演练冲
7、关1(2016郑州模拟)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若b3cos Basin A，则 cos B()A12B.12C 32D.32解析：选 B 由正弦定理知 sin B3cos Bsin Asin A1，即 tan B 3，所以 B3，所以 cos Bcos3 12，故选 B.2(2016福建质检)在ABC 中，B3，AB2，D 为 AB中点，BCD 的面积为3 34，则 AC 等于()A2B.7C.10D.19解析：选 B 因为 SBCD12BDBCsin B121BCsin3 3 34，所以 BC3.由余弦定理得 AC249223cos3 7，所以 AC 7，
8、故选 B.3(2016河北三市联考)在ABC 中，a，b，c 分别为内角A，B，C 的对边，且 asin BbsinA3.(1)求 A；(2)若ABC 的面积 S 34 c2，求 sin C 的值解：(1)asin BbsinA3，由正弦定理得 sin AsinA3，即 sin A12sin A 32 cos A，化简得 tan A 33，A(0，)，A56.(2)A56，sin A12，由 S 34 c212bcsin A14bc，得 b 3c，a2b2c22bccos A7c2，则 a 7c，由正弦定理得 sin Ccsin Aa 714.师说考点解三角形实际问题的常考类型及解题思路(1)
9、实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解正、余弦定理的实际应用典例(2016河南六市联考)如图，在一条海防警戒线上的点A，B，C 处各有一个水声监测点，B，C 两点到 A 的距离分别为20 千米和 50 千米，某时刻，B 收到发自静止目标 P 的一个声波信号，8 秒后 A，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是 1.5 千米/
10、秒(1)设 A 到 P 的距离为 x 千米，用 x 表示 B，C 到 P 的距离，并求 x 的值；(2)求 P 到海防警戒线 AC 的距离解(1)依题意，有 PAPCx，PBx1.58x12.在PAB 中，AB20，cosPABPA2AB2PB22PAABx2202（x12）22x203x325x，同理，在PAC 中，AC50，cosPACPA2AC2PC22PAACx2502x22x5025x.cosPABcosPAC，3x325x25x，解得 x31.(2)作 PDAC 于点 D，在ADP 中，由 cosPAD2531，得 sinPAD 1cos2PAD4 2131，PDPAsinPAD3
11、14 2131 4 21.故静止目标 P 到海防警戒线 AC 的距离为 4 21千米类题通法解三角形中实际问题的 4 个步骤(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案演练冲关1(2016武昌区调研)据气象部门预报，在距离某码头正西方向 400 km 处的热带风暴中心正以 20 km/h 的速度向东北方向移动，距风暴中心
12、 300 km 以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为()A9 h B10 h C11 hD12 h解析：选 B 记码头为点 O，热带风暴中心的位置为点 A，t 小时后热带风暴到达 B 点位置，在OAB 中，OA400，AB20t，OAB45，根据余弦定理得 4002400t2220t400 22 3002，即 t220 2t1750，解得 10 25t10 25，所以所求时间为 10 2510 2510(h)，故选 B.2.(2016湖北七市联考)如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的 A，B 两点处进行测量，在点 A 处测得塔顶 C 在西偏北 20的方向上，仰角为 60；在点
13、B 处测得塔顶 C 在东偏北 40的方向上，仰角为 30.若 A，B 两点相距 130 m，则塔的高度 CD_m.解析：分析题意可知，设 CDh，则 AD h3，BD 3h，在ADB 中，ADB1802040120，由余弦定理 AB2BD2AD22BDADcos 120，可得 13023h2h232 3h h312，解得 h10 39，故塔的高度为 10 39 m.答案：10 39解三角形与其他知识的交汇解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式求最值、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点高考变的
14、是题目，不变的是知识，交汇创新题只不过是载体的改变而已 典例(2016山东高考)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 2(tan Atan B)tan Acos Btan Bcos A.(1)证明：ab2c；(2)求 cos C 的最小值解(1)证明：由题意知2sin Acos Asin Bcos B sin Acos Acos Bsin Bcos Acos B，化简得 2(sin Acos Bsin Bcos A)sin Asin B，即 2sin(AB)sin Asin B.因为 ABC，所以 sin Asin B2sin C，由正弦定理得 ab2c.(2)由(1)
15、知 c ab2，所 以 cos C a2b2c22aba2b2ab222ab38abba 1412，当且仅当 ab 时，等号成立，故 cos C 的最小值为12.类题通法(1)本题是三角恒等变换、解三角形与基本不等式的交汇问题(2)解答此类问题的一般思路是利用三角恒等变换对所给条件进行转化，再结合正余弦定理，转化到边的关系，利用基本不等式求解 演练冲关1在ABC 中，若 sin Csin Asin B0，则ABC 的形状为()A等边三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰直角三角形解析：选 A 设角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，由可知 P 为 BC 的中点结合题意及正弦定理可得 cab0
16、，故 c()ab(ac)(cb)0，而与为不共线向量，所以 accb0，故 abc.故选 A.2(2016河北五校联考)已知锐角ABC 中内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，a2b 26abcos C，且 sin2C2sin Asin B.(1)求角 C 的值；(2)设函数 f(x)cos x(0)，且 f(x)图象上相邻两最高点间的距离为，求 f(A)的取值范围解：(1)因为 a2b26abcos C，由余弦定理知 a2b2c22 abcos C，所以 cos C c24ab，又 sin2C2sin Asin B，则由正弦定理得c22ab，所以 cos C c24ab2ab4ab12，又因为 C(0，)，所以 C3.(2)f(x)cos x 32 sin x32cos x 由已知可得2，所以 2，则 f(A)因为 C3，所以 B23 A，因为 0A2，0B2，所以6 A2，所以 02A3 23，所以 f(A)的取值范围是(0，3