1、第4讲 二次函数性质的再研究与幂函数一、选择题1下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()Ay(xR，且x0) Byx(xR)Cyx(xR) Dyx3(xR)解析对于f(x)x3，f(x)(x)3(x3)f(x)，f(x)x3是奇函数，又yx3在R上是增函数，yx3在R上是减函数答案D2已知幂函数yf(x)的图像经过点，则f(2)()A. B4C. D.解析 设f(x)x，因为图像过点，代入解析式得：，f(2)2.答案 C3已知函数f(x)ex1，g(x)x24x3，若有f(a)g(b)，则b的取值范围为 ()A2，2 B(2，2)C1,3 D(1,3)解析f(a)g(b)ea1b2
2、4b3eab24b2成立，故b24b20，解得2b0，a(a4)0，a4，由于a为正整数，即a的最小值为5.答案C二、填空题7对于函数yx2，yx有下列说法：两个函数都是幂函数；两个函数在第一象限内都单调递增；它们的图像关于直线yx对称；两个函数都是偶函数；两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；两个函数的图像都是抛物线型其中正确的有_解析 从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较答案 8若二次函数f(x)ax24xc的值域为0，)，则a，c满足的条件是_解析由已知得答案a0，ac49方程x2mx10的两根为、，且0,12，则实数m的取值范围是_解析m.(1,2)且函数m在(1,2)
3、上是增函数，11m2，即m.答案10已知f(x)m(x2m)(xm3)，g(x)2x2.若同时满足条件：xR，f(x)0或g(x)0；x(，4)，f(x)g(x)0，则m的取值范围是_解析当x1时，g(x)1时，g(x)0，当x1时，g(x)0，m0不符合要求；当m0时，根据函数f(x)和函数g(x)的单调性，一定存在区间a，)使f(x)0且g(x)0，故m0时不符合第条的要求；当m0时，如图所示，如果符合的要求，则函数f(x)的两个零点都得小于1，如果符合第条要求，则函数f(x)至少有一个零点小于4，问题等价于函数f(x)有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小的零点小于4，函数f(x
4、)的两个零点是2m，(m3)，故m满足或解第一个不等式组得4m2，第二个不等式组无解，故所求m的取值范围是(4，2)答案(4，2)三、解答题11设f(x)是定义在R上以2为最小正周期的周期函数当1x1时，yf(x)的表达式是幂函数，且经过点.求函数在2k1,2k1)(kZ)上的表达式解设在1,1)上，f(x)xn，由点在函数图象上，求得n3.令x2k1,2k1)，则x2k1,1)，f(x2k)(x2k)3.又f(x)周期为2，f(x)f(x2k)(x2k)3.即f(x)(x2k)3(kZ)12已知函数f(x)x22ax3，x4, 6(1)当a2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使
5、yf(x)在区间4,6上是单调函数；(3)理当a1时，求f(|x|)的单调区间解 (1)当a2时，f(x)x24x3(x2)21，由于x4,6，f(x)在4,2上单调递减，在2,6上单调递增，f(x)的最小值是f(2)1，又f(4)35，f(6)15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图像开口向上，对称轴是xa，所以要使f(x)在4,6上是单调函数，应有a4或a6，即a6 或a4.(3)当a1时，f(x)x22x3，f(|x|)x22|x|3，此时定义域为x6,6，且f(x)f(|x|)的单调递增区间是(0,6，单调递减区间是6,013设函数f(x)ax22x2，对于满足1x0，求实数a的取值范围解不等式ax22x20等价于a，设g(x)，x(1,4)，则g(x) ，当1x0，当2x4时，g(x)，因此实数a的取值范围是.14已知函数f(x)xk2k2(kZ)满足f(2)0，使函数g(x)1qf(x)(2q1)x在区间1,2上的值域为？若存在，求出q；若不存在，请说明理由解(1)f(2)0，解得1k0满足题设，由(1)知g(x)qx2(2q1)x1，x1,2g(2)1，两个最值点只能在端点(1，g(1)和顶点处取得而g(1)(23q)0，g(x)max，g(x)ming(1)23q4.解得q2，存在q2满足题意