1、2015-2016学年广西柳州市铁路一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合A=x|x3，xR，B=x|x10，xN，则AB=（）A0，1B0，1，2C2，3D1，2，32若复数a21+（a1）i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（）A1B1C0D13设向量，均为单位向量，且|+|=1，则与夹角为（）ABCD4已知tan=，则=（）ABC3D35已知某运动员每次投篮命中的概率都是40%现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有一次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2
2、，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数作为一组，代表三次投篮的结果经随机模拟产生了如下20组随机数：907，966，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，393，027，556，488，730，113，537，989据此估计，该运动员三次投篮恰有一次命中的概率为（）A0.25B0.2C0.35D0.46如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）Aa1+x0（a3+x0（a0+a2x0）的值Ba3+x0（a2+x0（a1+a0x0）的值Ca0+x0（a1+x0（a2+a3x0）的值Da2+x0（a0+x0（a3+a1x
3、0）的值7等差数列an中，a=a3+a11，bn为等比数列，且b7=a7，则b6b8的值为（）A4B2C16D88如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆垂直于x轴的直线l：x=t（0ta）经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y（图中阴影部分），若函数y=f（t）的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是（）ABCD9定义在R上的函数y=f（x），满足f（1x）=f（x），（x）f（x）0，若x1x2且x1+x21，则有（）Af（x1）f（x2）Bf（x1）f（x2）Cf（x1）=f（x2）D不能确定10已知点A（0，2），抛物线C：y2=ax（a0）的
4、焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则a的值等于（）ABC1D411某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为（）AB3CD12如图，已知双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|=8，P是双曲线右支上的一点，直线F2P与y轴交于点A，APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=2，则该双曲线的离心率为（）ABC2D3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是（用数字作答）14已知x，y满足，则函数z=x+3y的最大
5、值是15如图所示22方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3中的任何一个，允许重复若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有种（用数字作答）ABCD16数列an的前n项和为Sn，2Snnan=n（nN*），若S20=360，则a2=三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且=（1）求角B的大小；（2）若a+c=2，SABC=，求b的值18一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为5，15，（15，25，（25，35，（35，45
6、，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在5，15内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望（以直方图中的频率作为概率）19已知四棱锥SABCD的底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，E是SC上的任意一点过点E的平面垂直于平面SAC（1）请作出平面截四棱锥SABCD的截面（只需作图并写出作法）；（2）当SA=AB时，求二面角BSCD的大小20已知F1，F2是椭圆+=1（ab0）的两个焦点，O为坐标原点，点P（1，）在椭圆上，且=0，O是以F1F2为直径的圆，直线l：y=kx+m与O相
7、切，并且与椭圆交于不同的两点A，B（1）求椭圆的标准方程；（2）当=，且满足时，求弦长|AB|的取值范围21已知函数g（x）=aln x，f（x）=x3+x2+bx（1）若f（x）在区间1，2上不是单调函数，求实数b的范围；（2）若对任意x1，e，都有g（x）x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围选修4-5：不等式选讲22已知函数f（x）=|x+a|+|x2|（1）当a=4时，求不等式f（x）6的解集；（2）若f（x）|x3|的解集包含0，1，求实数a的取值范围2015-2016学年广西柳州市铁路一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分
8、，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合A=x|x3，xR，B=x|x10，xN，则AB=（）A0，1B0，1，2C2，3D1，2，3【考点】交集及其运算【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可【解答】解：由B中不等式解得：x1，xN，即B=x|x1，且xN，集合A=x|x3，xR，AB=1，2，3，故选：D2若复数a21+（a1）i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（）A1B1C0D1【考点】复数的基本概念【分析】复数是纯虚数，实部为0虚部不为0，求出a的值即可【解答】解：因为复数a21+（a1）i（i为虚数单位）是纯虚数，所以a21=0且a10，
9、解得a=1故选B3设向量，均为单位向量，且|+|=1，则与夹角为（）ABCD【考点】数量积表示两个向量的夹角；单位向量【分析】设与的夹角为，将已知等式平方，结合向量模的含义和单位向量长度为1，化简整理可得=，再结合向量数量积的定义和夹角的范围，可得夹角的值【解答】解：设与的夹角为，|+|=1，（+）2=2+2+2=1（*）向量、均为单位向量，可得|=|=1代入（*）式，得1+2+1=1=1，所以=根据向量数量积的定义，得|cos=cos=，结合0，得=故选C4已知tan=，则=（）ABC3D3【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得所给式子的
10、值【解答】解：tan=，则=3，故选：D5已知某运动员每次投篮命中的概率都是40%现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有一次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数作为一组，代表三次投篮的结果经随机模拟产生了如下20组随机数：907，966，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，393，027，556，488，730，113，537，989据此估计，该运动员三次投篮恰有一次命中的概率为（）A0.25B0.2C0.35D0.4【考点】随机数的含义与应用【分析
11、】当三次投篮恰有一次命中时，就是三个数字xyz中只有一个数字在集合1，2，3，4，再逐个考察个数据即可【解答】解：根据题意，因为1，2，3，4表示投篮命中，其它为不中，当三次投篮恰有一次命中时，就是三个数字xyz中只有一个数字在集合1，2，3，4，考查这20组数据，以下8个数据符合题意，按次序分别为：925，458，683，257，027，488，730，537，所以，其概率P（A）=0.4，故选D6如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）Aa1+x0（a3+x0（a0+a2x0）的值Ba3+x0（a2+x0（a1+a0x0）的值Ca0+x0（a1+x0（a2+a3x0）的值Da2+x
12、0（a0+x0（a3+a1x0）的值【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，根据秦九韶算法即可得解【解答】解：由秦九韶算法，S=a0+x0（a1+x0（a2+a3x0），故选：C7等差数列an中，a=a3+a11，bn为等比数列，且b7=a7，则b6b8的值为（）A4B2C16D8【考点】等差数列的通项公式【分析】根据题意，利用等差数列的定义与性质，求出a7的值，再利用等比数列的性质求出b6b8的值【解答】解：等差数列an中，a3+a11=2a7，又a=a3+a11，所以a72=2a7，解得a7=2，或a7=0（舍去），所以b7=a7=2，所以b6b8=a72=4故选：A8如图，有四个平面图
13、形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆垂直于x轴的直线l：x=t（0ta）经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y（图中阴影部分），若函数y=f（t）的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】直接利用图形的形状，结合图象，判断不满足的图形即可【解答】解：由函数的图象可知，几何体具有对称性，选项A、B、D，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y，在中线位置前，都是先慢后快，然后相反选项C，后面是直线增加，不满足题意；故选：C、9定义在R上的函数y=f（x），满足f（1x）=f（x），（x）f（x）0，若x1x2且x1+x21，则有（）Af
14、（x1）f（x2）Bf（x1）f（x2）Cf（x1）=f（x2）D不能确定【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质【分析】由题意可得函数f（x）关于直线x=对称，且当x时，f（x）0；当x时，f（x）0，即可得出函数f（x）在区间上单调性分类讨论，与，即可得出【解答】解：定义在R上的函数y=f（x），满足f（1x）=f（x），函数f（x）关于直线x=对称（x）f（x）0，当x时，f（x）0，函数f（x）在此区间上单调递增；当x时，f（x）0，函数f（x）在此区间上单调递减若，函数f（x）在区间上单调递增，f（x2）f（x1）若，又x1+x21，f（x2）f（1x1）=f（x1）综上可
15、知：f（x2）f（x1）故选A10已知点A（0，2），抛物线C：y2=ax（a0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则a的值等于（）ABC1D4【考点】抛物线的简单性质【分析】作出M在准线上的射影，根据|KM|：|MN|确定|KN|：|KM|的值，进而列方程求得a【解答】解：依题意F点的坐标为（，0），设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|=|MK|，|KM|：|MN|=1：，则|KN|：|KM|=2：1，kFN=，kFN=2=2，求得a=4，故选D11某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四
16、面体的外接球的体积为（）AB3CD【考点】由三视图求面积、体积【分析】由于正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，所以此四面体一定可以放在棱长为1的正方体中，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，由此能求出此四面体的外接球的体积【解答】解：由于正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，所以此四面体一定可以放在正方体中，所以我们可以在正方体中寻找此四面体如图所示，四面体ABCD满足题意，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，由题意可知，正方体的棱长为1，所以外接球的半径为R=，所以此四面体的外接球的体积V=故选C12如图，已知双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1、F2，|
17、F1F2|=8，P是双曲线右支上的一点，直线F2P与y轴交于点A，APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=2，则该双曲线的离心率为（）ABC2D3【考点】双曲线的简单性质【分析】由圆锥曲线的定义及图中的相等关系推出a，从而求出离心率【解答】解：如图记AF1、AF2与APF1的内切圆相切于N、M；则AN=AM，PM=PQ，NF1=QF1，AF1=AF2；则NF1=AF1AN=AF2AM=MF2；则QF1=MF2；则PF1PF2=（QF1+PQ）（MF2PM）=QF1+PQMF2+PM=PQ+PM=2PQ=4，即2a=4，则a=2由F1F2=8=2c，得c=4，则e=2故选：C二、填空
18、题：本大题共4小题，每小题5分.13在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是15（用数字作答）【考点】二项式系数的性质【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2，即可求解含x3的项的系数【解答】解：（1+）6展开式的通项为Tr+1=C6r（）r=C6r，令r=4得含x2的项的系数是C64=15，在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是：15故答案为：1514已知x，y满足，则函数z=x+3y的最大值是7【考点】二元一次不等式（组）与平面区域【分析】先画出可行域，再把目标函数变形为直线的斜截式，由截距的最值即可求得【解答】解：画出可行域，如图所示解得C（1，2），函数z=x+
19、3y可变形为，可见当直线过点C 时z取得最大值，所以zmax=1+6=7故答案为：715如图所示22方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3中的任何一个，允许重复若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有27种（用数字作答）ABCD【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】根据题意，先分析A、B两个方格，由于其大小有序，则可以在l、2、3中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格根据分类计数原理可得【解答】解：若A方格填3，则排法有232=18种，若A方格填2，则排法有132=9种，根据分类计数原理，所以不同的填法有18+9=27种故答案为：2716数列an的前n项和为
20、Sn，2Snnan=n（nN*），若S20=360，则a2=1【考点】数列递推式；数列的求和【分析】由已知得Sn=，从而，解得a1=1，进而，由此得到an是等差数列，从而由已知条件利用等差数列的性质能求出a2【解答】解：2Snnan=n（nN*），Sn=，解得a1=1，an是等差数列，S20=360，S20=360，解得a20+1=36，即a20=37，19d=a20a1=38，解得d=2，a2=a1+d=12=1故答案为：1三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且=（1）求角B的大小；（2）若a+c=2，SABC=，求b的值【
21、考点】正弦定理；余弦定理【分析】（1）利用正弦定理、和差公式即可得出；（2）利用三角形面积计算公式、余弦定理即可得出【解答】解：（1）在ABC中，=，由正弦定理可得： =化为：2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，2sinAcosB+sin（C+B）=0，2sinAcosB+sinA=0，sinA0，cosB=，又B（0，），B=（2）=，ac=1b2=a2+c22accosB=a2+c2+ac=（a+c）2ac=3，18一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为5，15，（15，25，（25
22、，35，（35，45，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在5，15内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望（以直方图中的频率作为概率）【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【分析】（1）求解得a=0.03，由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20根据平均数值公式求解即可（2）XB（3，），根据二项分布求解P（X=0），P（X=1），P（X=2）=，P（X=3），列出分布列，求解数学期望即可【解答】解：（1）由题意得，（0.02+0.0
23、32+a+0.018）10=1解得a=0.03；又由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20，而50个样本小球重量的平均值为：=0.210+0.3220+0.330+0.1840=24.6（克）故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在5，15内的0.2；则XB（3，），X=0，1，2，3；P（X=0）=（）3=；P（X=1）=（）2=；P（X=2）=（）（）2=；P（X=3）=（）3=，X的分布列为：X0123P即E（X）=0=19已知四棱锥SABCD的底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，E是SC上的任意一点过点E的平面垂
24、直于平面SAC（1）请作出平面截四棱锥SABCD的截面（只需作图并写出作法）；（2）当SA=AB时，求二面角BSCD的大小【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的性质【分析】（1）根据条件先证明BD平面SAC，则面 与底面的交线平行于BD即可；（2）建立空间直角坐标系，求出平面BSC、平面SCD的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角BSCD的大小【解答】（1）SA底面ABCD，SABD，底面ABCD是正方形，BDAC，则BD平面SAC，若点E的平面垂直于平面SAC，则平面 与底面的交线平行于BD即可（2）解：如图所示建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，AB，AD，AS所在的直线分别为
25、x，y，z轴设AB=1由题意得B（1，0，0），S（0，0，1），C（1，1，0），D（0，1，0），=（1，0，1），又=（1，1，1）设平面BSC的法向量为（x1，y1，z1），则，令z1=1，则=（1，0，1，=（0，1，1）=（1，0，0），设平面SCD的法向量为=（x2，y2，z2），则，令y2=1，则=（0，1，1），设二面角BSCD的平面角为，则|cos|=显然二面角BSCD的平面角为为钝角，所以=120，即二面角CPBD的大小为12020已知F1，F2是椭圆+=1（ab0）的两个焦点，O为坐标原点，点P（1，）在椭圆上，且=0，O是以F1F2为直径的圆，直线l：y=kx+m与O
26、相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B（1）求椭圆的标准方程；（2）当=，且满足时，求弦长|AB|的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的关系【分析】（1）依题意，易得PF1F1F2，进而可得c=1，根据椭圆的方程与性质可得+=1，a2=b2+c2，联立解可得a2、b2、c2的值，即可得答案；（2）根据题意，直线l与x2+y2=1相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径1，即=1，变形为m2=k2+1，联立椭圆与直线的方程，即，得（1+2k2）x2+4kmx+2m22=0，设由直线l与椭圆交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），则0，解可得k0，可得x1+x2=，x1x2=，进而将其代入y1y2
27、=（kx1+m）（kx2+m）可得y1y2关于k的表达式，又由=x1x2+y1y2=，结合题意，解可得k21，根据弦长公式可得|AB|=2，设u=k4+k2（k21），则u2，将|AB|用u表示出来，由u ，2分析易得答案【解答】解：（1）依题意，由=0，可得PF1F1F2，c=1，将点p坐标代入椭圆方程可得+=1，又由a2=b2+c2，解得a2=2，b2=1，c2=1，椭圆的方程为+y2=1（2）直线l：y=kx+m与x2+y2=1相切，则=1，即m2=k2+1，由直线l与椭圆交于不同的两点A、B，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m22=0，=（4
28、km）24（1+2k2）（2m22）0，化简可得2k21+m2，x1+x2=，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，=x1x2+y1y2=，解可得k21，|AB|=2设u=k4+k2（k21），则u2，|AB|=2=2，u，2分析易得，|AB|21已知函数g（x）=aln x，f（x）=x3+x2+bx（1）若f（x）在区间1，2上不是单调函数，求实数b的范围；（2）若对任意x1，e，都有g（x）x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）求出函数的导数，根据f（
29、x）在1，2上最大值大于0，最小值小于0，得到关于b的不等式组，解出即可；（2）由g（x）x2+（a+2）x分离出参数a后，转化为求函数最值，利用导数可求最值【解答】解：（1）由f（x）=x3+x2+bx，得f（x）=3x2+2x+b，f（x）在区间1，2上不是单调函数，f（x）在1，2上最大值大于0，最小值小于0f（x）=3+b，16b5；（2）由g（x）x2+（a+2）x，得（xlnx）ax22xx1，e，lnx1x，且等号不能同时取，lnxx，即xlnx0，a恒成立，即a（）min令t（x）=，x1，e，求导得，t（x）=，当x1，e时，x10，lnx1，x+2lnx0，从而t（x）0，
30、t（x）在1，e上为增函数，tmin（x）=t（1）=1，a1选修4-5：不等式选讲22已知函数f（x）=|x+a|+|x2|（1）当a=4时，求不等式f（x）6的解集；（2）若f（x）|x3|的解集包含0，1，求实数a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【分析】（1）由条件利用绝对值的意义，求得不等式的解集（2）（2）原命题等价于f（x）|x3|在0，1上恒成立，即1xa1x在0，1上恒成立，由此求得a的范围【解答】解：（1）当a=4时，求不等式f（x）6，即|x4|+|x2|6，而|x4|+|x2|表示数轴上的x对应点到4、2对应点的距离之和，而0和6对应点到4、2对应点的距离之和正好等于6，故|x4|+|x2|6的解集为x|x0，或x6（2）原命题等价于f（x）|x3|在0，1上恒成立，即|x+a|+2x3x在0，1上恒成立，即1x+a1，即1xa1x在0，1上恒成立，即1a02016年8月1日
