1、高2014级数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求）1. 设全集I是实数集R，与都是I的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：因为，所以又因为，所以所以阴影部分为故答案选B考点：集合的表示；集合间的运算.2. 已知，则复数（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由由共轭复数定义得故答案选B考点： 复数的运算；共轭复数.3. 在ABC中，若 ，则 为A. B. C. 或 D. 或【答案】C则 为或 .本题选择C选项.4. 已知，则函数在区间上
2、为增函数的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：当时，情况为符合要求的只有一种；当时，则讨论二次函数的对称轴要满足题意则产生的情况表示：.，9种情况满足的只有三种：综上所述得：使得函数在区间为增函数的概率为：考点：1.一次函数与二次函数的性质；2.古典概型.【名师点睛】本题考查一次函数与二次函数的性质、古典概型，属中档题；求解古典概型问题的关键是找出样本空间中的基本事件数及所求事件包含的基本事件数，常用方法有列举法、树状图法、列表法等，所求事件包含的基本事件数与样本空间包含的基本事件数的比值就是所求事件的概率.5. 若椭圆过抛物线的焦点， 且与双曲线有相同的焦点，则该
3、椭圆的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：抛物线的焦点为，所以椭圆中，双曲线焦点为 ，所以椭圆方程为考点：椭圆双曲线抛物线方程及性质6. 函数在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】C考点：三角函数的图象和性质及运用7. 某锥体的正视图和侧视图如下图，其体积为，则该锥体的俯视图可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：选项C的体积，故选C.考点：1、三视图；2、锥体的体积.【方法点晴】本题主要考查三视图和锥体的体积，计算量较大，属于中等题型.应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正）
4、,主视图与左视图高度保持平齐 （简称高平齐）,左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）,若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称此外本题应注意掌握锥体的面积公式.8. 已知正项等比数列满足：，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）A. B. 9 C. D. 不存在【答案】C【解析】由题意可得： ，则： ，数列为正项数列，则 ，即 ，且： ，则： ， ，当且仅当 时等号成立.综上，的最小值为 .本题选择C选项.点睛：条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利
5、用基本不等式求解最值9. 已知周期函数是定义在R上的奇函数，且的最小正周期为3， ,则 的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）的最小正周期为3，f（2）=f（2-3）=f（-1）=-f（1），又f（1）2，f（2）=m，m=-f（1）-2，m-210. 重庆市乘坐出租车的收费办法如下：不超过3千米的里程收费10元;超过3千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于05千米则不收费，若其大于或等于05千米则按1千米收费）；当车程超过3千米时，另收燃油附加费1元相应系统收费的程序框图如图所示，其中（单位：千米）为
6、行驶里程，（单位：元）为所收费用，用表示不大于的最大整数，则图中处应填（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意结合流程图可得，处应填入当 时所应收取的费用，结合收费办法可得： .本题选择B选项.11. 如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC=90，AB=AC=AA1，则异面直线 BA1与AC1所成的角为（ ） A. 60 B. 90 C. 120 D. 150.【答案】A【解析】试题分析：延长CA到D，使得AD=AC，则为平行四边形，就是异面直线与所成的角，又，则三角形为等边三角形，DA1B=60考点：异面直线及其所成的角12. 当曲线与直线有两个相异的交点时，实数的取值范
7、围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：曲线表示的曲线为半圆，如图所示，直线可化为，过定点，若直线与曲线有两个相异交点，如图，根据直线与圆的位置关系可以求出斜率，故选C.考点：直线与圆的位置关系.【思路点晴】首先分析曲线表示的是以为圆心，为半径的半圆，直线表示的是过定点的直线，因此问题转化为过定点的直线与半圆有两个公共点，根据图形，应先求出在第四象限相切时直线的斜率，然后逆时针转动直线到过点时为另一个临界值，就可以求出斜率的取值范围，本题考查数形结合思想.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 平面向量，（），且与的夹角等于与的夹角相等，则_【答案】3【
8、解析】试题分析：依题意有，根据夹角公式有，解得.考点：向量运算.【思路点晴】本题主要考查向量的坐标运算，考查向量的夹角公式，考查方程的思想. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决对向量与三角函数的综合问题，可通过向量的数量积运算把向量问题转化为三角问题，从而可利用三角公式求解14. 若，.则_【答案】0.5【解析】本题考查三角函数的和角公式由得由得+得，则；-得，则所以即15. 设圆的弦的中点为，则直线的方程为_.【答案】.【解析】试题分析：圆配方得，以为圆心，为半径，因此，因此直线的方程，即考点：1、圆的性质；2、直线的
9、方程.16. 定义在上的函数满足，且对任意都有，则不等式的解集为_【答案】（-1，1）【解析】试题分析：设对任意xR，都有即g（x）为实数集上的减函数不等式，即为g（x2）0=g（1）则x21，解得-1x1，的解集为（-1，1）考点：利用导数研究函数的单调性三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知等差数列的前项和满足，（1）求的通项公式； （2）求数列的前项和【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：（1）设等差数列的首项，公差分别是，代入中求解；（2）先将和代入通项公式，整理，再裂项相消求解试题解析：（1）设的公差为，则由已知可得解得，
10、故的通项公式为（2）由（1）知，从而数列的前项和为考点：1、等差数列的前项和；2、等差数列的通项公式；3、裂项相消法求和【易错点睛】在使用裂项法求和时，要注意正负相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的有时首项不能消去，有时尾项不能消去，因此在消项时要特别小心，以免出错18. 如图，在四棱锥中，为正三角形，, , , 平面.（）若为棱的中点，求证：平面;（）若,求点到平面的距离.【答案】（1）见解析（2） 【解析】试题分析：（）利用直线与平面垂直的判定定理即可证明（）利用，即等体积法即可求得点到平面的距离.试题解
11、析：（）因为 平面，平面,所以.，所以 平面.而平面,.,是的中点，.又，所以平面.而平面，. 底面，平面 平面，又，.面面垂直的性质定理可得平面，.又， 平面.（）因为 平面，所以,所以.由（）的证明知，平面，所以.因为,为正三角形，所以，因为，所以.7分设点到平面的距离为，则.在中，所以.所以.因为，所以，解得，即点到平面的距离为.考点：直线与平面垂直的判定，等体积法19. 人的体重是人的身体素质的重要指标之一某校抽取了高二的部分学生，测出他们的体重（公斤），体重在40公斤至65公斤之间，按体重进行如下分组：第1组40,45)，第2组45,50)，第3组50,55)，第4组55,60)，第
12、5组60,65，并制成如图所示的频率分布直方图，已知第1组与第3组的频率之比为1:3，第3组的频数为90（）求该校抽取的学生总数以及第2组的频率；（）学校为进一步了解学生的身体素质，在第1组、第2组、第3组中用分层抽样的方法抽取6人进行测试若从这6人中随机选取2人去共同完成某项任务，求这2人来自于同一组的概率【答案】（1）抽查总人数为240人，第2组频率为0.25（2） 【解析】试题分析：(1)由频率分布直方图可得抽查总人数为240人，第2组频率为0.25；(2)由题意列出所有的事件，结合古典概型公式可得2人来自于同一组的概率为 .试题解析：（）设该校抽查的学生总人数为n，第 2组、第3组的频
13、率分别为，则，所以，由，解得，所以该校抽查的学生总人数为240人，从左到右第2组的频率为0.25（）前3组的频率之比是1 : 2 : 3，则按照分层抽样，这6人的构成是第1组1人（不妨设为A），第2组2人（不妨设为），第3组3人（不妨设为），从这6人中任选两人有，共15个结果，而这2人来自同一组的情况有，共4个结果，所以这2人来自同一组的概率点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.20
14、. 已知抛物线C:的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.(1)求抛物线C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A,B两点，若AB的垂直平分线与C相交于M,N两点，且A,M,B,N四点在同一个圆上，求直线l的方程.【答案】（1） （2）x-y-1=0或x+y-1=0【解析】试题分析：（1）由已知条件，先求点的坐标，再由及抛物线的焦半径公式列方程可求得的值，从而可得抛物线C的方程；（2）由已知条件可知直线与坐标轴不垂直，故可设直线的点参式方程：，代入消元得设由韦达定理及弦长公式表示的中点的坐标及长，同理可得的中点的坐标及的长由于垂直平分线，故四点在同一圆上等价于，由此列方程可求
15、得的值，进而可得直线的方程试题解析：（1）设，代入，得由题设得，解得（舍去）或，C的方程为；（2）由题设知与坐标轴不垂直，故可设的方程为，代入得设则.故的中点为又的斜率为的方程为将上式代入，并整理得设则故的中点为由于垂直平分线，故四点在同一圆上等价于，从而即，化简得，解得或所求直线的方程为或考点：1抛物线的几何性质；2抛物线方程的求法；3直线与抛物线的位置关系21. 已知函数（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）令，求函数的极值；【答案】（1） （2）无极值【解析】试题分析：(1)首先利用导函数求得斜率，然后利用点斜式可得切线方程为；(2)利用导函数研究函数的单调性，结合函数的单调性可得函数
16、g(x)没有极值.试题解析：（1）当时，则，所以切点为，又，则切线斜率，故切线方程为，即（2），则，当时，在上是递增函数，函数无极值点当时，令得，当时，；当时，因此在上是增函数，在上是减函数，时，有极大值，综上，当时，函数无极值；22. 选修44：坐标系与参数方程.已知曲线的参数方程为为参数），以直角坐标系原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为，求直线被曲线截得的弦长.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）曲线的直角坐标方程为，根据直角坐标与极坐标互化公式，曲线的极坐标方程为；（2）由得，即，圆心到直线的距离为，则弦长.试题解析：（1）曲线的参数方程为（为参数），曲线的普通方程为，.曲线表示以为圆心，为半径的圆，将代入并化简：（2）直角坐标方程为，圆心到直线的距离为，弦长为考点：1、坐标系与参数方程；2、直线与圆的位置关系.23. 已知（1）求的取值范围；（2）若对任意的实数恒成立，求实数a的值。【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)求解绝对值不等式可得的取值范围是(2)利用题意结合绝对值不等式的性质得到关于实数a的不等式，求解不等式结合题意可得 。试题解析：（1）由，得，所以所以实数的取值范围是（2），即