1、广东省实验中学2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑:如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案:不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上:如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案:不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答
2、题卷收问。第一部分选择题（60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.关于的不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将不等式化为，等价于，解出即可。【详解】由原式得且，解集为，故选：B。【点睛】本题考查分式不等式的解法，解分式不等式时，要求右边化为零，等价转化如下：；.2.三边，满足，则三角形是（ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等边三角形D. 直角三角形【答案】C【解析】【分析】由基本不等式得出，将三个不等式相加得出，由等号成立的条件可判断出的形状。【详解】为三边，由基本不等式可得
3、，将上述三个不等式相加得，当且仅当时取等号，所以，是等边三角形，故选：C。【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查基本不等式的应用，利用基本不等式要注意“一正、二定、三相等”条件的应用，考查推理能力，属于中等题。3.设是等差数列的前项和，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据等差数列片断和的性质得出、成等差数列，并将和都用表示，可得出的值。【详解】根据等差数列的性质，若数列为等差数列，则也成等差数列；又，则数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，故选：D。【点睛】本题考查等差数列片断和的性质，再利用片断和的性质时，要注意下标之间的倍数关系，结合性质进行求解，考查运算求
4、解能力，属于中等题。4.若直线：与直线：平行 ，则的值为（ ）A. 1B. 1或2C. -2D. 1或-2【答案】A【解析】试题分析：因为直线：与直线：平行 ，所以或-2，又时两直线重合，所以。考点：两条直线平行的条件。点评：此题是易错题，容易选C，其原因是忽略了两条直线重合的验证。5.如图，在中，是边上的高，平面，则图中直角三角形的个数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条件找出图中的直角三角形。【详解】平面，,都是直角三角形；是直角三角形；是直角三角形；由得平面，可知：也是直角三角形.综上可知
5、：直角三角形的个数是个，故选：C。【点睛】本题考查直角三角形个数的确定，考查相交直线垂直，解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到，考查推理能力，属于中等题。6.角的终边在直线上，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由直线的斜率得出，再利用诱导公式将分式化为弦的一次分式齐次式，并在分子分母中同时除以，利用弦化切的思想求出所求代数式的值。【详解】角的终边在直线上，则，故选：C。【点睛】本题考查诱导公式化简求值，考查弦化切思想的应用，弦化切一般适用于以下两个方面：（1）分式为角弦的次分式齐次式，在分子分母中同时除以，可以弦化切；（2）代数式为角的二次整式，先除以，转化为角
6、弦的二次分式其次式，然后在分子分母中同时除以，可以实现弦化切。7.已知三棱锥，侧棱两两垂直，且，则以为球心且为半径的球与三棱锥重叠部分的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三棱锥三条侧棱的关系，得到球与三棱锥的重叠部分为球的，然后利用球体的体积公式进行计算。【详解】三棱锥，侧棱两两互相垂直，且，以为球心且为半径的球与三棱锥重叠部分的为球的，即对应的体积为，故选：B。【点睛】本题主要考查球体体积公式的应用，解题的关键就是利用三棱锥与球的关系，考查空间想象能力，属于中等题。8.已知是圆上的三点，（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由等式，得出，并
7、计算出，以及与的夹角为，然后利用平面向量数量积的定义可计算出的值。【详解】由于是圆上三点，则，故选：C。【点睛】本题考查平面向量的数量积的计算，解题的关键就是要确定向量的模和夹角，考查计算能力，属于中等题。9.如图，将边长为的正方形沿对角线折成大小等于的二面角分别为的中点，若，则线段长度的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】连接和，由二面角的定义得出，由结合为的中点，可知是的角平分线且，由的范围可得出的范围，于是得出的取值范围。【详解】连接，可得，即有为二面角的平面角，且，在等腰中，且，则，故答案为：，故选：A。【点睛】本题考查线段长度的取值范围，考查二面角的定义
8、以及锐角三角函数的定义，解题的关键在于充分研究图形的几何特征，将所求线段与角建立关系，借助三角函数来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题。10.已知圆关于直线成轴对称图形，则的取值范围A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据圆关于直线成轴对称图形得，根据二元二次方程表示圆得，再根据指数函数的单调性得的取值范围【详解】解：圆关于直线成轴对称图形，圆心在直线上，解得又圆的半径，故选：D【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题11.已知函数，正实数是公差为正数的等差数列，且满足，若实数是方程的一个解，那么下列四个判断： ；中一定不成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】
9、D【解析】【分析】先判断出函数的单调性，分两种情况讨论：；。结合零点存在定理进行判断。【详解】在上单调减，值域为，又。（1）若，由知，成立；（2）若，此时，成立。综上，一定不成立的是，故选：D。【点睛】本题考查零点存在定理的应用，考查自变量大小的比较，解题时要充分考查函数的单调性，对函数值符号不确定的，要进行分类讨论，结合零点存在定理来进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题。12.已知实数满足，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分和两种情况讨论，在时，得出所求代数式等于零；在时，在所求分式中分子分母同时除以，得出，设，转化为直线与圆有公共点时，求出
10、的取值范围，再结合对勾函数的单调性求出所求代数式的最大值。【详解】当时，当时，令，则，可先求过点与动点的直线的斜率的取值范围.动点落在圆上，若与圆相切，则有，解得，又过点且与圆相切的直线还有，由函数单调性，当时单调递减，当时单调递增，当时有最小值，即的最小值为的最大值为，故选：B。【点睛】本题考查双勾函数求最值，考查直线与圆的位置关系，利用直线与圆的位置关系求出的取值范围是解题的关键，另外就是双勾函数单调性的应用，综合性较强，属于难题。第二部分非选择题（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.在等比数列中，已知，则=_.【答案】【解析】14.正方体中，分别是的中点，则所成
11、的角的余弦值是_【答案】【解析】【分析】取的中点，由得出异面直线与所成的角为，然后在由余弦定理计算出，可得出结果。【详解】取的中点，由且可得为所成的角，设正方体棱长为，中利用勾股定理可得，又，由余弦定理可得，故答案为：。【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线找出异面直线所成的角，再选择合适的三角形，利用余弦定理或锐角三角函数来计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题。15.已知为直线上一点，过作圆的切线，则切线长最短时的切线方程为_【答案】或【解析】【分析】利用切线长最短时，取最小值找点：即过圆心作直线的垂线，求出垂足点。就切线的斜率是否存在分类讨论，结合圆心到切线的距离等
12、于半径得出切线的方程。【详解】设切线长为，则，所以当切线长取最小值时，取最小值，过圆心作直线的垂线，则点为垂足点，此时，直线的方程为，联立，得，点的坐标为.若切线的斜率不存在，此时切线的方程为，圆心到该直线的距离为，合乎题意；若切线的斜率存在，设切线的方程为，即.由题意可得，化简得，解得，此时，所求切线的方程为，即.综上所述，所求切线方程为或，故答案为：或。【点睛】本题考查过点的圆的切线方程的求解，考查圆的切线长相关问题，在过点引圆的切线问题时，要对直线的斜率是否存在进行分类讨论，另外就是将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径长，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题。16.下列说法中
13、：若，满足，则的最大值为；若，则函数的最小值为若，满足，则的最小值为函数的最小值为正确有_（把你认为正确的序号全部写上）【答案】【解析】【分析】令，得出，再利用双勾函数的单调性判断该命题的正误；将函数解析式变形为，利用基本不等式判断该命题的正误；由得出，得出，利用基本不等式可判断该命题的正误；将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值，进而判断出该命题的正误。【详解】由得，则，则，设，则，则，则上减函数，则上为增函数，则时，取得最小值，当时，故的最大值为，错误；若，则函数，则，即函数的最大值为，无最小值，故错误；若，满足，则，则，由，得，则 ，当且仅当，即得，即时取等号，即的最小
14、值为，故正确；，当且仅当，即，即时，取等号，即函数的最小值为，故正确，故答案为：。【点睛】本题考查利用基本不等式来判断命题的正误，利用基本不等式需注意满足“一正、二定、三相等”这三个条件，同时注意结合双勾函数单调性来考查，属于中等题。三、解答题 本大题共6小题，共70分. 17.设数列的前项和为，若且求若数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由时，再验证适合，于是得出，再利用等差数列的求和公式可求出；（2）求出数列的通项公式，判断出数列为等比数列，再利用等比数列的求和公式求出数列的前项和。【详解】（1）当且时，；也适合上式，所以，则数列为等差数列，因此，；（2
15、），且，所以，数列是等比数列，且公比为，所以。【点睛】本题考查数列的前项和与数列通项的关系，考查等差数列与等比数列的求和公式，考查计算能力，属于中等题。18.设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, （）求B的大小;（）若,求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（）由条件利用正弦定理求得 sinB的值，可得B的值（）使用正弦定理用sinA，sinC表示出a，c，得出a+c关于A的三角函数，根据A的范围和正弦函数的性质得出a+c的最值【详解】解（）锐角 又 ，由正弦定理得 ， 的取值范围为【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，基本不等式的应用，属于基础题19
16、.已知四棱锥的底面是菱形，底面，是上的任意一点求证：平面平面设，求点到平面的距离在的条件下，若，求与平面所成角的正切值【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由平面，得出，由菱形的性质得出，利用直线与平面垂直的判定定理得出平面，再利用平面与平面垂直的判定定理可证出结论；（2）先计算出三棱锥的体积，并计算出的面积，利用等体积法计算出三棱锥的高，即为点到平面的距离；（3）由（1）平面，于此得知为直线与平面所成的角，由，得出平面，于此计算出，然后在中计算出即可。【详解】（1）平面，平面，四边形是菱形，平面；又平面，所以平面平面.（2）设，连结，则，四边形是菱形，设点到平面的距离为平面，
17、解得，即点到平面距离为；（3）由（1）得平面，为与平面所成角，平面，与平面所成角的正切值为。【点睛】本题考查平面与平面垂直的证明、点到平面的距离以及直线与平面所成的角，求解点到平面的距离，常用的方法是等体积法，将问题转化为三棱锥的高来计算，考查空间想象能力与推理能力，属于中等题。20.两地相距千米，汽车从地匀速行驶到地，速度不超过千米小时，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固定部分两部分组成：可变部分与速度的平方成正比，比例系数为，固定部分为元，(1)把全程运输成本(元)表示为速度(千米小时)的函效:并求出当时，汽车应以多大速度行驶，才能使得全程运输成本最小；(2)随着汽车的折旧
18、，运输成本会发生一些变化，那么当，此时汽车的速度应调整为多大，才会使得运输成本最小，【答案】（1），当汽车以的速度行驶，能使得全称运输成本最小；（2）.【解析】【分析】（1）计算出汽车的行驶时间为小时，可得出全程运输成本为，其中，代入，利用基本不等式求解；（2）注意到时，利用基本不等式取不到等号，转而利用双勾函数的单调性求解。【详解】（1）由题意可知，汽车从地到地所用时间为小时，全程成本为，.当，时，当且仅当时取等号，所以，汽车应以的速度行驶，能使得全程行驶成本最小；（2）当，时，由双勾函数单调性可知，当时，有最小值，所以，汽车应以的速度行驶，才能使得全程运输成本最小。【点睛】本题考查基本不等
19、式的应用，解题的关键就是建立函数模型，得出函数解析式，并通过基本不等式进行求解，考查学生数学应用能力，属于中等题。21.已知函数当时，求函数的定义域；若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）将问题转化为解不等式，即，然后就与的大小进行分类讨论，求出该不等式的解，即可得出函数的定义域；（2），将问题转化为：关于的方程有两个不同的正根，得出，两根之和为正、两根之积为正，列出不等式组可解出实数的取值范围.【详解】（1）由题意，即，解方程，得，.当时，即当时，解不等式，得或，此时，函数的定义域为；当时，即当时，解不等式，得，此时，函数的
20、定义域为；当时，即当时，解不等式，解得或，此时，函数的定义域为；（2）令，则关于的方程有四个不同的实根可化为，即有两个不同的正根，则，解得.【点睛】本题考查含参不等式的求解，考查函数的零点个数问题，在求解含参不等式时，找出分类讨论的基本依据，在求解二次函数的零点问题时，应结合图形找出等价条件，通过列不等式组来求解，考查分类讨论数学思想以及转化与化归数学思想，属于中等题。22.在平面直角坐标系中，已知以点为圆心的圆过原点,不过圆心的直线与圆交于两点，且点为线段的中点，求的值和圆的方程:若是直线上的动点，直线分别切圆于两点，求证:直线恒过定点；若过点的直线与圆交于两点，对于每一个确定的，当的面积最
21、大时，记直线的斜率的平方为，试用含的代数式表示.【答案】（1），圆的方程为（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）由垂直于直线得出，利用斜率公式可求出的值，可得出圆的方程，再将点的坐标代入直线的方程可求出的值；（2）设点，可得出以为直径的圆的方程，直线是以为直径的圆和圆的公共弦，将两圆方程作差可得出直线的方程，根据直线的方程得出该直线所过的定点；（3）设直线的方程为，的面积为，则，当时，取到最大值，此时点到直线的距离为，由点到直线的距离公式得出，解得，然后分类讨论即可求出答案。【详解】（1）由题意，即，解得，圆心坐标为，半径为，圆的方程为，点在直线上，；（2）证明：设，则的中点坐标为，以为直径的圆的方程为，即，联立，可得所在直线方程为：，直线恒过定点；（3）由题意可设直线的方程为的面积为，则，当最大时，取得最大值，要使，只需点到直线的距离等于，即整理得：，解得当时，最大值是，此时，即；当时，是上减函数，当最小时，最大，过作于，则，当最大时，最小，且，当最大时，取得最大值，即最大，当时，取得最大值，当的面积最大时，直线的斜率，综上所述，.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查了点到直线距离公式的应用，考查分类讨论数学思想，在求解直线与圆的综合问题时，应将问题转化为圆心到直线的距离，结合图象进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题。
