1、1.3.2空间运算的坐标表示学 习 目 标核 心 素 养1.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直(重点)2掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题(重点、难点)1.通过空间向量的坐标运算及空间向量夹角及长度的学习，培养学生的数学运算核心素养2借助利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.平面向量的坐标运算设a(a1，a2)，b(b1，b2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)ab(a1b1，a2b2)，a(a1，a2)(R)aba1b1a2b2.(2)ab(b0)ab，即a1b1，
2、a2b2.abab0a1b1a2b20.(3)|a|，(x2x1，y2y1)cosa，b.思考：你能由平面向量的坐标运算类比得到空间向量的坐标运算吗？它们是否成立？为什么？1空间向量运算的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：运算坐标表示加法ab(a1b1，a2b2，a3b3)减法ab(a1b1，a2b2，a3b3)数乘a(a1，a2，a3)，R数量积aba1b1a2b2a3b32.空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则平行(ab)ab(b0)ab垂直(ab)abab0a1b1a2b
3、2a3b30(a，b均为非零向量)模|a|夹角公式cosa，b思考：若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab一定有成立吗？提示当b1，b2，b3均不为0时，成立3向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则(1)(a2a1，b2b1，c2c1)；(2)dAB|.1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，ab，则.()(2)四边形ABCD是平行四边形，则向量与的坐标相同()(3)若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则aba1b1a2b2a3b30.()提示(
4、1)(2)(3)2已知向量a(3，2,1)，b(2,4,0)，则4a2b等于()A(16,0,4) B(8，16,4)C(8,16,4) D(8,0,4)D4a(12，8,4)，2b(4,8,0)，4a2b(8,0,4)3已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k的值是()A1 B C DD由a，b的坐标可得kab(k1，k,2)，2ab(3,2，2)，两向量互相垂直则ab0，即3(k1)2k220，解得k.4若点A(0,1,2)，B(1,0,1)，则_，|_.(1，1，1)(1，1，1)，|.空间向量的坐标运算【例1】(1)若向量a(1,1，x)，b(1,2,
5、1)，c(1,1,1)，满足条件(ca)2b2，则x_.(2)已知a(2，1，2)，b(0，1,4)，求ab，ab，ab，(2a)(b)，(ab)(ab)(1)2ca(0,0,1x)，2b(2,4,2)，由(ca)2b2得2(1x)2，解得x2.(2)解ab(2，1，2)(0，1,4)(20，11，24)(2，2,2)；ab(2，1，2)(0，1,4)(20，11，24)(2,0，6)；ab(2，1，2)(0，1,4)20(1)(1)(2)47；(2a)(b)2(ab)2(7)14；(ab)(ab)(2，2,2)(2,0，6)22202(6)8.进行空间向量的数量积坐标运算的技巧利用向量坐标运
6、算解决问题的关键是熟记向量坐标运算的法则，同时掌握下列技巧(1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2，(ab)(ab)(ab)2等(2)进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行向量式的化简再代入坐标运算，如计算(2a)(b)，既可以利用运算律把它化成2(ab)，也可以求出2a，b后，再求数量积；计算(ab)(ab)，既可以求出ab，ab后，求数量积，也可以把(ab)(ab)写成a2b2后计算跟进训练1(1)已知向量a(1,2,3)，b(2，4，6)，|c|，若(ab)c7，则a与c的夹角为_(2)已知M(1,2,3)，N(2,3,4)，P(1,
7、2，3)，若|3|且，则Q点的坐标为()A(2,5,0) B(4，1，6)或(2,5,0)C(3,4,1) D(3,4,1)或(3，2，5)(1)120(2)B(1)因为a(1,2,3)，b(2，4，6)，所以ab(1，2，3)，所以|ab|.因为(ab)c7，所以ab与c夹角的余弦值为，即夹角为60.因为a(1,2,3)与ab(1，2，3)方向相反，所以可知a与c的夹角为120.(2)设Q(x，y，z)，则(x1，y2，z3)，(1,1,1)，解得，或Q点的坐标为(4，1，6)或(2,5,0)空间向量的平行与垂直探究问题1已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点P
8、的坐标是多少？提示P.2类比平面向量，空间向量共线的充要条件是什么？提示若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则abab3空间两个向量垂直的充要条件是什么？提示若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则abab0a1b1a2b2a3b30.【例2】(1)对于空间向量a(1,2,3)，b(，4,6)若ab，则实数()A2 B1 C1 D2(2)正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P、Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3，若PQAE，求的值思路探究(1)利用向量共线充要条件(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算，求值(1)D因为空间向量a(1,2
9、,3)，b(，4,6)，若ab，则，所以2，故选D.(2)解如图所示，以D为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)，因为3，所以3(a1，a1,0)(a，a,0)，所以3a3a，解得a，所以点P的坐标为.由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)，因为PQAE，所以0，所以0，即0，解得b，所以点Q的坐标为，因为，所以，所以1，故4.1变条件若本例中的PQAE改为B1QEQ，其他条件不变，结果如何？解以D为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴
10、的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，点Q的坐标为(c，c,0)，因为B1QEQ，所以0，所以(c1，c1，1)0，即c(c1)c(c1)0,4c24c10，解得c，所以点Q的坐标为，所以点Q是线段BD的中点，所以2，故2.2变条件，变设问本例中若G是A1D的中点，点H在平面AC上，且GHBD1，试判断点H的位置解以D为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，因为G是A1D的中点，所以点G的坐标为，因为点H在平面xDy上，设点H的坐标为(m，n,0)，因为(m，n,0)，(0,0,1)(1,1,0)(1，1,1)且GH，所以，解得m1，n，所以
11、点H的坐标为，所以H为线段AB的中点1判断空间向量垂直或平行的步骤(1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；(2)向量关系代数化：写出向量的坐标；(3)对于a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，根据x1x2y1y2z1z2是否为0判断两向量是否垂直；根据x1x2，y1y2，z1z2(R)或(x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行2由空间向量垂直或平行求值只需根据垂直或平行的条件建立方程(组)求解即可跟进训练2已知a(1,1,2)，b(6,2m1,2)(1)若ab，分别求与m的值；(2)若|a|，且与c(2，2，)垂直，求a.解(1)由ab，得(1,1,2)k(6
12、,2m1,2)，解得实数，m3.(2)|a|，且ac，化简，得解得1.因此，a(0,1，2)空间向量的夹角与长度问题【例3】如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，M，N分别为A1B1，A1A的中点(1)求BN的长；(2)求A1B与B1C所成角的余弦值；(3)求证：BN平面C1MN.思路探究解(1)如图所示，建立空间直角坐标系Cxyz.依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，|，线段BN的长为.(2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，(1，1,2)，(0,1,2)，10(1)1223.又|，|.cos，.故A1B与B1C
13、所成角的余弦值为.(3)证明：依题意得A1(1,0,2)，C1(0,0,2)，B(0,1,0)，N(1,0,1)，M，(1,0，1)，(1，1,1)，1(1)010，110(1)(1)10.，BNC1M，BNC1N，又C1MC1NC1，C1M平面C1MN，C1N平面C1MN，BN平面C1MN.1利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角2利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤(1)建立适当的空
14、间直角坐标系；(2)求出线段端点的坐标；(3)利用两点间的距离公式求出线段的长跟进训练3在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，G在棱CD上，CGCD，H是C1G的中点(1)求证：EFB1C；(2)求EF与C1G所成角的余弦值；(3)求FH的长解如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，则B1(1,1,1)，C(0,1,0)，E，F，G，C1(0,1,1)，H，(1)，(1,0，1)，(1，0，1)0，EFB1C.(2)，|，|，cos(，)，EF与C1G所成角的余弦值是.(3)，|.1类比平面向量坐标运算：空间向量的加法、减法、数乘和数量积与平面向量的
15、类似，学习中可以类比推广推广时注意利用向量的坐标表示，即向量在平面上是用唯一确定的有序实数对表示，即a(x，y)而在空间中则表示为a(x，y，z)2在空间直角坐标系中，已知点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则(x2x1，y2y1，z2z1)一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标3两点间的距离公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|.4空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角
16、与对应向量的夹角的取值范围1下列向量中，与向量a(0,0,1)平行的向量为()Ab(1,0,0)Bc(0,1,0)Cd(1，1，1)De(0,0，1)D法一：比较各选项中的向量，观察哪个向量符合a(0,0，)的形式，经过观察，只有ea.法二：向量a(0,0,1)的横、纵坐标都是0，所以向量az轴，经过观察易得只有e(0,0，1)的横、纵坐标也都是0.2已知a(2x,1,3)，b(1，2y,9)，如果a与b为共线向量，则()Ax1，y1 Bx，yCx，y Dx，y D因为a与b为共线向量，所以存在实数，使得ab，所以解得x，y，故选D.3已知ab(2，2)，ab(0，0)，则cosa，b_.由已
17、知得a(1，)，b(1,0，)，cosa，b.4已知点A的坐标为A(1,1,0)，向量(4,0,2)，则点B的坐标为_(9,1,4)由条件可知(8,0,4)，设B(x，y，z)则，解得故点B的坐标为(9,1,4)5已知四边形ABCD的顶点分别是A(3，1,2)，B(1,2，1)，C(1,1，3)，D(3，5,3)求证：四边形ABCD是一个梯形证明因为(1,2，1)(3，1,2)(2,3，3)，(3，5,3)(1,1，3)(4，6,6)，因为，所以和共线，即ABCD.又因为(3，5,3)(3，1,2)(0，4,1)，(1,1，3)(1,2，1)(2，1，2)，因为，所以与不平行，所以四边形ABCD为梯形