1、2015-2016学年四川省绵阳中学高三（上）11月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知i是虚数单位，复数=（）Ai2Bi+2C2D22命题“若x=300，则cosx=”的逆否命题是（）A若cosx=，则x=300B若x=300，则cosxC若cosx，则x300D若x300，则cosx3抛物线y=2x2的焦点坐标是（）A（0，）B（0，）C（，0）D（，0）4函数f（x）=log2（4x2）定义域为（）A2，2B（2，2）C（，2）（2，+）D（，22，+）5若点（a，9）在函数y=3x的图象上，则t
2、an的值为（）A0BC1D6已知x0是函数f（x）=ex的一个零点（其中e为自然对数的底数），若x1（0，x0），x2（x0，+），则（）Af（x1）0，f（x2）0Bf（x1）0，f（x2）0Cf（x1）0，f（x2）0Df（x1）0，f（x2）07已知F为双曲线C：x2my2=3m（m0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）AB3C mD3m8设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（）AB6C12D79已知C的圆心在曲线y=上，C过坐标原点O，且与x轴、y轴交于A、B两点，则OAB的面积是（）A2B3C4D810P是ABC内一点
3、，ACP，BCP的面积分别记为S1，S2，已知，其中（0，1），则=（）ABCD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分.本大题共25分11已知向量=（2，1），=（m，3），若，则m的值是12若函数f（x）=（其中aR）的值域为，+），则a的取值范围是13已知数列an满足a1=19，an+1=an2（nN*），则当数列an的前n项和Sn取得最大值时，n的值为14设F1、F2分别是椭圆+=1（ab0）的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为c（c为半焦距）的点，且F1F2=F2P，则椭圆的离心率是15圆C1的方程为（x1）2+y2=，圆C2的方程为（x1cos）2+（ysin）2=（R），过C2上任
4、意一点P作圆C1的两条切线PM、PN，切点分别为M、N，则MPN的最大值为三、解答题：本大题共6小题，16-19每小题12分，20小题13分，21小题14分，本大题共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16已知=（2cosx+2sinx，1），=（cosx，y），且（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调增区间；（2）已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f（）=3，且a=2，b+c=4，求ABC的面积17已知点P（2，2），圆C：x2+y28y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点（1）求M的轨迹方程；（2）当
5、|OP|=|OM|时，求l的方程及POM的面积18已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2ann，（nN*）（1）求证：数列an+1为等比数列；（2）令bn=n+anlog2（an+1），求数列bn的前n项和Tn19某厂生产当地一种特产，并以适当的批发价卖给销售商甲，甲再以自己确定的零售价出售，已知该特产的销售（万件）与甲所确定的零售价成一次函数关系当零售价为80元/件时，销售为7万件；当零售价为50元/件时，销售为10万件，后来，厂家充分听取了甲的意见，决定对批发价改革，将每件产品的批发价分成固定批发价和弹性批发价两部分，其中固定批发价为30元/件，弹性批发价与该特产的销售量成反比，当销售为
6、10万件，弹性批发价为1元/件，假设不计其它成本，据此回答下列问题（1）当甲将每件产品的零售价确定为100元/件时，他获得的总利润为多少万元？（2）当甲将每件产品的零售价确定为多少时，每件产品的利润最大？20已知点A（0，2），椭圆E： +=1（ab0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点（）求E的方程；（）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程21已知函数f（x）=lnxx，g（x）=ax2a（x+1）（其中aR），令h（x）=f（x）g（x）（1）当a0时，求函数y=h（x）的单调区间；（2）当a0时，若f（x）g（x）在x（0，a）上
7、恒成立，求a的最小整数值2015-2016学年四川省绵阳中学高三（上）11月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知i是虚数单位，复数=（）Ai2Bi+2C2D2【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】转化思想；数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则即可得出【解答】解：复数=2+i，故选：B【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了计算能力，属于基础题2命题“若x=300，则cosx=”的逆否命题是（）A若cosx=，则x=300B若x=300，则cosxC若cosx，则x300D若x30
8、0，则cosx【考点】四种命题【专题】对应思想；定义法；简易逻辑【分析】根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”，写出它的逆否命题即可【解答】解：命题“若x=300，则cosx=”的逆否命题是“若cosx，则x300”故选：C【点评】本题考查了命题与它的逆否命题的转化问题，是基础题目3抛物线y=2x2的焦点坐标是（）A（0，）B（0，）C（，0）D（，0）【考点】抛物线的简单性质【分析】先把抛物线的方程化为标准形式，再利用抛物线 x2=2p y 的焦点坐标为（0，），求出物线y=2x2的焦点坐标【解答】解：在抛物线y=2x2，即 x2= y，p=， =，焦点坐标是 （0，），故选B【点
9、评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，抛物线 x2=2p y 的焦点坐标为（0，）4函数f（x）=log2（4x2）定义域为（）A2，2B（2，2）C（，2）（2，+）D（，22，+）【考点】对数函数的图像与性质【专题】计算题；定义法；函数的性质及应用【分析】根据对数函数的定义域知，对数的真数4x20，解出即可【解答】解：根据对数函数的定义域知，对数的真数4x20，解得x（2，2），因此，函数f（x）的定义域为（2，2），故选：B【点评】本题主要考查了对数函数的性质，函数定义域的解法，一元二次不等式的解法，属于基础题5若点（a，9）在函数y=3x的图象上，则tan的值为（）A0BC1D
10、【考点】指数函数的图像与性质【专题】函数的性质及应用【分析】先将点代入到解析式中，解出a的值，再根据特殊三角函数值进行解答【解答】解：将（a，9）代入到y=3x中，得3a=9，解得a=2=故选D【点评】对于基本初等函数的考查，历年来多数以选择填空的形式出现在解答这些知识点时，多数要结合着图象，利用数形结合的方式研究，一般的问题往往都可以迎刃而解6已知x0是函数f（x）=ex的一个零点（其中e为自然对数的底数），若x1（0，x0），x2（x0，+），则（）Af（x1）0，f（x2）0Bf（x1）0，f（x2）0Cf（x1）0，f（x2）0Df（x1）0，f（x2）0【考点】函数零点的判定定理【专
11、题】转化思想；定义法；函数的性质及应用【分析】判断函数f（x）的单调性，结合函数零点的定义，结合函数单调性的性质进行判断即可【解答】解：函数f（x）在（0，+）上为增函数，x0是函数f（x）=ex的一个零点，f（x0）=e=0，则当x1（0，x0）时，f（x1）f（x0）=0，当x2（x0，+）时，f（x2）f（x0）=0，故选：B【点评】本题主要考查函数单调性和函数零点的应用，利用函数的单调性是解决本题的关键7已知F为双曲线C：x2my2=3m（m0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）AB3C mD3m【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】双曲
12、线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论【解答】解：双曲线C：x2my2=3m（m0）可化为，一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，点F到C的一条渐近线的距离为=故选：A【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题8设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（）AB6C12D7【考点】抛物线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|【解答】解：由y2=3x得其焦点F（
13、，0），准线方程为x=则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30的直线方程为y=tan30（x）=（x）代入抛物线方程，消去y，得16x2168x+9=0设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=，所以|AB|=x1+x2+=+=12故答案为：12【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键9已知C的圆心在曲线y=上，C过坐标原点O，且与x轴、y轴交于A、B两点，则OAB的面积是（）A2B3C4D8【考点】定积分在求面积中的应用【专题】直线与圆【分析】设圆心坐标为（a，），可得圆的方程，即可求出三角形OAB的面积【解答】解：设圆心
14、坐标为（a，），则r=，C的方程为（xa）2+（y）2=a2+，令x=0，可得y=，令y=0，可得x=2a，三角形OAB的面积为|2a|=4；故选C【点评】本题考查了圆的方程，考查学生的计算能力，比较基础10P是ABC内一点，ACP，BCP的面积分别记为S1，S2，已知，其中（0，1），则=（）ABCD【考点】向量加减混合运算及其几何意义【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用【分析】可以得到，而（0，1），从而可以作图：延长CA到D，使得CD=3CA，并连接BD，延长CP交于BD的中点E，根据三角形的面积公式便可得到，这样便可求出【解答】解：如图，延长CA到D，使CD=3CA，连接B
15、D，延长CP交BD的中点E；，（0，1）；，；又SCDE=SBCE；故选B【点评】考查向量数乘的几何意义及其运算，向量加法的平行四边形法则，以及三角形的面积公式，相似三角形对应边的比例关系二、填空题：本大题共5小题，每小题5分.本大题共25分11已知向量=（2，1），=（m，3），若，则m的值是6【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【专题】方程思想；转化思想；平面向量及应用【分析】利用向量共线定理即可得出【解答】解：，m6=0，解得m=6故答案为：6【点评】本题考查了向量共线定理的应用，考查了计算能力，属于基础题12若函数f（x）=（其中aR）的值域为，+），则a的取值范围是【考点】函数的值
16、域【专题】计算题；分类讨论；函数的性质及应用；集合【分析】分别求x0与x0时f（x）的值域，再由集合的并运算解得【解答】解：当x0时，f（x）=sinx+，故f（x），当x0时，f（x）=x2+a，故f（x）a；函数f（x）的值域为，a；故答案为：【点评】本题考查了分段函数的值域的求法应用及分类讨论的思想应用13已知数列an满足a1=19，an+1=an2（nN*），则当数列an的前n项和Sn取得最大值时，n的值为10【考点】数列递推式【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】利用等差数列的通项公式可得：an，令an0，解出即可得出【解答】解：数列an满足a1=19，an+1=a
17、n2（nN*），即an+1an=2，数列an是等差数列，首项为19，公差为2an=192（n1）=212n，令an=212n0，解得n，解得n10当数列an的前n项和Sn取得最大值时，n的值为10故答案为：10【点评】本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14设F1、F2分别是椭圆+=1（ab0）的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为c（c为半焦距）的点，且F1F2=F2P，则椭圆的离心率是【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求离心率就寻找a，c的关系，借助与F2P=F1F2=2c，RtPMF2建立等量关系求出离心率【解答】解
18、析：如图有P（），设右准线交x轴于H点，F2P=F1F2=2c，且PH=c，故PF2H=60；F2H=c，OH=2ce2=e=故答案：【点评】本题考查了学生分析问题的能力，通过画图寻找a，c的关系，求解椭圆的离心率15圆C1的方程为（x1）2+y2=，圆C2的方程为（x1cos）2+（ysin）2=（R），过C2上任意一点P作圆C1的两条切线PM、PN，切点分别为M、N，则MPN的最大值为【考点】圆的切线方程【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆【分析】首先判断圆与圆的位置关系，进一步利用特殊位置把结论转化为解三角形问题，最后求出MPN的最大值【解答】解：圆C1的方程为（x1）2+y2=，
19、圆心坐标为：C1（1，0）半径r=圆C2的方程（x1cos）2+（ysin）2=，圆心坐标为：C2（1+cos，sin），半径R=由于cos2+sin2=1，|C1C2|R+r，所以两圆相离过C2上任意一点P作圆C1的两条切线PM、PN，切点分别为M、N，则要求MPN的最大值，只需满足：在圆C2找到距离圆C1最近点即可所以|PC1|=1=，|MC1|=在RtMPC1中，根据|PC1|=，|MC1|=，解得：MPC1=，所以：MPN=，即MPN的最大值为故答案为：【点评】本题考查的知识要点：圆与圆的位置关系，特殊位置出现相关的三角形知识，及角的最值问题三、解答题：本大题共6小题，16-19每小题
20、12分，20小题13分，21小题14分，本大题共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16已知=（2cosx+2sinx，1），=（cosx，y），且（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调增区间；（2）已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f（）=3，且a=2，b+c=4，求ABC的面积【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；正弦定理；余弦定理【专题】三角函数的图像与性质；解三角形【分析】（1）由数量积为0可得方程，由三角函数的公式化简可得f（x），再由2k2x+2k+，可得单调递增区间；（2）结合（1）可得
21、f（）=1+2sin（A+）=3，进而可得A=，由余弦定理可得bc=4，代入面积公式S=，计算可得答案【解答】解：（1）由题意可得（2cosx+2sinx）cosxy=0，即y=f（x）=（2cosx+2sinx）cosx=2cos2x+2sinxcosx=1+cos2x+sin2x=1+2sin（2x+），由2k2x+2k+，得kxk+，kZ，故f（x）的单调增区间为k，k+，kZ（2）由（1）可知f（x）=1+2sin（2x+），故f（）=1+2sin（A+）=3，解得sin（A+）=1故可得A+=，解得A=，由余弦定理可得22=b2+c22bccosA，化简可得4=b2+c2bc=（b+
22、c）23bc=163bc，解得bc=4，故ABC的面积S=【点评】本题考查三角函数的性质和余弦定理的应用，涉及向量的垂直的判断，属基础题17已知点P（2，2），圆C：x2+y28y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及POM的面积【考点】轨迹方程；三角形的面积公式【专题】直线与圆【分析】（1）由圆C的方程求出圆心坐标和半径，设出M坐标，由与数量积等于0列式得M的轨迹方程；（2）设M的轨迹的圆心为N，由|OP|=|OM|得到ONPM求出ON所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM所在直线方程，
23、由点到直线的距离公式求出O到l的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM的长度，代入三角形面积公式得答案【解答】解：（1）由圆C：x2+y28y=0，得x2+（y4）2=16，圆C的圆心坐标为（0，4），半径为4设M（x，y），则，由题意可得：即x（2x）+（y4）（2y）=0整理得：（x1）2+（y3）2=2M的轨迹方程是（x1）2+（y3）2=2（2）由（1）知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，为半径的圆，由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPMkON=3，直线l的斜率为直线PM的方程为，即x+3y8=0则O到直线l的距离为又N到l的距离为，
24、|PM|=【点评】本题考查圆的轨迹方程的求法，训练了利用向量数量积判断两个向量的垂直关系，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题18已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2ann，（nN*）（1）求证：数列an+1为等比数列；（2）令bn=n+anlog2（an+1），求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【专题】计算题；转化思想；定义法；等差数列与等比数列【分析】（1）根据数列的前n项和公式，利用等比数列的定义，得出an+1是等比数列；（2）根据题意，求出数列bn的通项公式，再写出前n项和的表达式，利用错位相减法求出Tn的解析式【解答】解：（1）由Sn=2ann，可
25、得S1=2a11，即a1=1，（1分）又Sn+1=2an+1（n+1），相减得an+1=2an+12an1，即an+1=2an+1，（2分）所以，故an+1是以a1+1=2为首项，以2为公比的等比数列（6分）（2）由（）得到an+1=2n，所以，（7分）于是bn=n+anlog2（an+1）=n+n（2n1）=n2n，（8分）Tn=121+222+323+（n1）2n1+n2n，2Tn=122+223+324+（n1）2n+n2n+1，相减整理得Tn=21+22+23+2nn2n+1，所以Tn=（n1）2n+1+2（12分）【点评】本题考查了等比数列的定义与数列求和的应用问题，考查了转化思想的
26、应用问题，是综合性题目19某厂生产当地一种特产，并以适当的批发价卖给销售商甲，甲再以自己确定的零售价出售，已知该特产的销售（万件）与甲所确定的零售价成一次函数关系当零售价为80元/件时，销售为7万件；当零售价为50元/件时，销售为10万件，后来，厂家充分听取了甲的意见，决定对批发价改革，将每件产品的批发价分成固定批发价和弹性批发价两部分，其中固定批发价为30元/件，弹性批发价与该特产的销售量成反比，当销售为10万件，弹性批发价为1元/件，假设不计其它成本，据此回答下列问题（1）当甲将每件产品的零售价确定为100元/件时，他获得的总利润为多少万元？（2）当甲将每件产品的零售价确定为多少时，每件产
27、品的利润最大？【考点】函数模型的选择与应用【专题】应用题；函数的性质及应用【分析】（1）设该特产的销售量y（万件），零售价为x（元/件），且y=kx+b，由题意求得k，b，设弹性批发价t与该特产的销售量y成反比，求得t，b的关系式，设总利润为z（万元），求得z的关系式，再令x=100，即可得到所求总利润；（2）由（1）可得每件的利润为m=x30（x150），运用基本不等式即可得到所求最大值及对应的x值【解答】解：（1）设该特产的销售量y（万件），零售价为x（元/件），且y=kx+b，由题意可得7=80k+b，10=50k+b，解得k=，b=15，可得y=15x，设弹性批发价t与该特产的销售量y
28、成反比，当销售为10万件，弹性批发价为1元/件，即有t=，设总利润为z（万元），则z=（15x）（x30）=（150.1x）（x30），令x=100时，则z=（1510）（10030）=340，即有他获得的总利润为340万元；（2）由（1）可得每件的利润为m=x30（x150）=x30=x150+1201202=12020=100当且仅当x150=10，即x=140时，取得等号则甲将每件产品的零售价确定为140元/件时，每件产品的利润最大【点评】本题考查一次函数和反比例函数的解析式的求法，考查基本不等式的运用：求最值，注意每件的利润和总利润的关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题20已
29、知点A（0，2），椭圆E： +=1（ab0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点（）求E的方程；（）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（）设直线l：y=kx2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx2代入，利用0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程【解答】解：（） 设F（c，0），由条件知，得=又，所以
30、a=2=，b2=a2c2=1，故E的方程（6分）（）依题意当lx轴不合题意，故设直线l：y=kx2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx2代入，得（1+4k2）x216kx+12=0，当=16（4k23）0，即时，从而=+又点O到直线PQ的距离，所以OPQ的面积=，设，则t0，当且仅当t=2，k=等号成立，且满足0，所以当OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x2或y=x2（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力21已知函数f（x）=lnxx，g（x）=ax2a（x+1）（其中aR），令h（x）=f（x）g（x）（1）
31、当a0时，求函数y=h（x）的单调区间；（2）当a0时，若f（x）g（x）在x（0，a）上恒成立，求a的最小整数值【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】计算题；分类讨论；分类法；导数的概念及应用【分析】（1）求导，分别判断导函数在定义域上各区间的符号，可得函数y=h（x）的单调区间；（2）当=1，即a=1时，f（x）g（x）恒成立；当1，即1a0时，f（x）g（x）恒成立；当10，即a1时，考虑h（a）0时，a的取值，进而可得答案【解答】解：（1）h（x）=f（x）g（x）=lnxxax2+a（x+1），h（x）=1ax+a=（1x）（+a），a0，+a0，当0x1时，h（x）0；当x1时，
32、h（x）0；故函数y=h（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+）；（2）h（x）=f（x）g（x）=lnxxax2+a（x+1），h（x）=1ax+a=，令h（x）=0，则x=1，x=，当=1，即a=1时，h（x）0在x（0，1）上恒成立，则h（x）在x（0，1）上为增函数，h（x）h（1）=0，f（x）g（x）恒成立；当1，即1a0时，h（x）在（0，1）上是增函数，此时0a1，故h（x）在（0，a）上是增函数，h（x）h（a）h（1）=10，解得：a1a0时，f（x）g（x）恒成立；当10，即a1时，故h（x）在（0，）上是增函数，在（，1）上是减函数，在（1，a）是增函数；由=0，故只需考虑h（a）0，h（a）=0，下面用特殊整数检验，若a=2，则h（2）=ln2+48=ln240若a=3，则h（3）=ln3+15=ln30若a=4，则h（4）=ln4+3224=ln4+80令u（x）=，则u（x）=，当x4时，u（x）0恒成立，此时u（x）为减函数，故u（x）u（4）0再由a4时，ln（a）0，故a4时，h（a）0恒成立，综上所述，使f（x）g（x）在x（0，a）上恒成立的a的最小整数值为3【点评】本题考查的知识点是导数法求函数的单调区间，恒成立问题，存在性讨论，分类讨论思想，难度较大，属于难题
