1、高考资源网（） 您身边的高考专家温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(五十二)曲线与方程(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.方程(x2+y2-4)=0的曲线形状是()【解析】选C.原方程可化或x+y+1=0.显然方程表示直线x+y+1=0和圆x2+y2-4=0在直线x+y+1=0的右上方部分,故选C.【误区警示】本题易忽视x+y+10,而误认为x2+y2-4=0是一个完整的圆,从而错选A.2.已知定点A(2,0),它与抛物线y2=x上的动点P连线的中点M的轨迹方程为()A.y
2、2=2(x-1)B.y2=4(x-1)C.y2=x-1D.y2=(x-1)【解析】选D.设P(x0,y0),M(x,y),则故点P的坐标为(2x-2,2y),由点P在抛物线y2=x上得(2y)2=2x-2,整理得y2=(x-1).故选D.【加固训练】长为3的线段AB的端点A,B分别在x轴、y轴上移动,则AB中点C的轨迹是()A.线段B.圆C.椭圆D.双曲线【解析】选B.设C(x,y),A(a,0),B(0,b),则x=,y=,即a=2x,b=2y.代入a2+b2=9,得4x2+4y2=9,即x2+y2=.3.(2015洛阳模拟)设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B
3、两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点.若=2,且=1,则点P的轨迹方程是()A.x2+3y2=1(x0,y0)B.x2-3y2=1(x0,y0)C.3x2-y2=1(x0,y0)D.3x2+y2=1(x0,y0)【解题提示】利用点Q与点P关于y轴对称求得Q点的坐标,然后利用=2,=1即可求出点P的轨迹方程.【解析】选A.设A(a,0),B(0,b),a0,b0.由=2,得(x,y-b)=2(a-x,-y),即a=x0,b=3y0.点Q(-x,y),故由=1,得(-x,y)(-a,b)=1,即ax+by=1.将a,b代入ax+by=1得所求的轨迹方程为x2+3y2=1(x0, y0).4.
4、(2015长春模拟)设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则点M的轨迹方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1【解析】选D.因为M为AQ垂直平分线上一点,则|AM|=|MQ|,所以|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,故点M的轨迹为椭圆.所以a=,c=1,则b2=a2-c2=,所以椭圆的标准方程为=1.【加固训练】如图所示,A是圆O内一定点,B是圆周上一个动点,AB的中垂线CD与OB交于点E,则点E的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【解析】选B.由题意知,|EA|+|EO|=|
5、EB|+|EO|=r(r为圆的半径)且r|OA|,故E的轨迹为以O,A为焦点的椭圆,故选B.5.已知定点A(1,0)和定直线l:x=-1,在l上有两动点E,F且满足,另有动点P,满足,(O为坐标原点),且动点P的轨迹方程为()A.y2=4xB.y2=4x(x0)C.y2=-4xD.y2=-4x(x0)【解析】选B.设P(x,y),E(-1,y1),F(-1,y2)(y1,y2均不为零),由y1=y,即E(-1,y).由y2=-,由y2=4x(x0).二、填空题(每小题5分,共15分)6.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(-2,1),B(-1,3),若点C满足=+,其中,且+=1,则
6、点C的轨迹方程是.【解题提示】设出C点坐标(x,y),然后借助=+,用x,y分别表示,最后利用+=1求点C的轨迹方程.【解析】设C(x,y),则整理得将其代入+=1中整理得2x-y+5=0,又x=-2-=-2-(1-)=-1,所以点C的轨迹方程是2x-y+5=0,x.答案:2x-y+5=0,x7.已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛线物的焦点轨迹方程是.【解析】设抛物线焦点为F,过A,B,O作准线的垂线AA1,BB1,OO1,则|AA1|+|BB1|=2|OO1|=4,由抛物线定义得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|,所以|FA
7、|+|FB|=4,故F点的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).答案:=1(y0)8.已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点的椭圆经过A,B两点,则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是.【解析】由题意知|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14,又因为|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,所以|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2,故点F的轨迹是以A,B为焦点,实轴长为2的双曲线的下支.又c=7,a=1,b2=48,所以点F的轨迹方程为y2-=1(y-1).答案:y2-=1(y-1)三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015宜宾模拟)已
8、知两点M(-1,0),N(1,0),且点P使,成公差小于零的等差数列,求点P的轨迹方程.【解析】设点P(x,y),则=(x+1,y),=(x-1,y),=(2,0).故=2(x+1),=(x+1)(x-1)+y2=x2+y2-1,=-2(x-1)=2(1-x).因为,成公差小于零的等差数列,所以2(x2+y2-1)=2(x+1)+2(1-x).且-=2(1-x)-2(x+1)=-4x0).故点P的轨迹方程为x2+y2=3(x0).10.已知定点F(0,1)和直线l1:y=-1,过定点F与直线l1相切的动圆的圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程.(2)过点F的直线l2交轨迹于P,Q两点,交直线l
9、1于点R,求的最小值.【解析】(1)由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离,所以点C的轨迹是以F为焦点,l1为准线的抛物线,所以动点C的轨迹方程为x2=4y.(2)由题意知,直线l2的方程可设为y=kx+1(k0),与抛物线方程联立消去y,得x2-4kx-4=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4.又易得点R的坐标为(-,-1）,所以=(x1+,y1+1)(x2+,y2+1)=(x1+)(x2+)+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+(+2k)(x1+x2)+4=-4(1+k2)+4k(+2k)+4=4(k2+)+8.因为k2+2,当且
10、仅当k2=1时取等号,所以42+8=16,即的最小值为16.【加固训练】如图所示,圆O:x2+y2=16,A(-2,0),B(2,0)为两个定点.直线l是圆O的一条动切线,若经过A,B两点的抛物线以直线l为准线,求抛物线焦点的轨迹方程.【解析】过点A,B,O分别作直线l的垂线,垂足分别为A,B,O.因为|AO|=|BO|,所以|AA|+|BB|=2|OO|=8,设抛物线的焦点为F,则|AF|+|BF|=|AA|+|BB|=8,又|AB|=4,所以点F的轨迹在以点A,B为焦点的椭圆上,设所求椭圆方程为=1(ab0),则a2=42=16,b2=42-22=12,所以抛物线焦点的轨迹方程为=1(x4
11、). (20分钟40分)1.(5分)已知点P在定圆O的圆内或圆周上,动圆C过点P与定圆O相切,则动圆C的圆心轨迹可能是()A.圆或椭圆或双曲线B.两条射线或圆或抛物线C.两条射线或圆或椭圆D.椭圆或双曲线或抛物线【解析】选C.当点P在定圆O的圆周上时,圆C与圆O内切或外切,O,P,C三点共线,所以轨迹为两条射线.当点P在定圆O内时(非圆心),|OC|+|PC|=r0为定值,且r0|OP|,所以轨迹为椭圆.当P与O重合时,圆心轨迹为圆.【误区警示】本题易因讨论不全,或找错关系而出现错误.2.(5分)如图所示,已知C为圆(x+)2+y2=4的圆心,点A(,0),P是圆上的动点,点Q在CP上,且=0
12、,=2.当点P在圆上运动时,则点Q的轨迹方程为.【解析】圆(x+)2+y2=4的圆心为C(-,0),半径r=2,因为=0,=2,所以MQAP,点M为AP的中点,即QM垂直平分AP.连接AQ,则|AQ|=|QP|,所以|QC|-|QA|=|QC|-|QP|=|CP|=r=2.又|AC|=22,根据双曲线的定义,点Q的轨迹是以C(-,0),A(,0)为焦点,实轴长为2的双曲线,由c=,a=1,得b2=1,因此点Q的轨迹方程为x2-y2=1.答案:x2-y2=1【加固训练】动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则动点P的轨迹方程为.【解析】由抛物线定义知点P的轨迹是以F(2,0
13、)为焦点的抛物线,设抛物线的方程为y2=2px,从而可知p=4,所以动点P的轨迹方程为y2=8x.答案:y2=8x3.(5分)设椭圆方程为x2+=1,过点M(0,1)的直线l交椭圆于A,B两点,O是坐标原点,点P满足=(+),当l绕点M旋转时,动点P的轨迹方程为.【解题提示】设直线l的斜率为k,用参数法求解,但需验证斜率不存在时是否符合要求.【解析】直线l过点M(0,1),当斜率存在时,设其斜率为k,则l的方程为y=kx+1.设A(x1,y1),B(x2,y2),由题设可得点A,B的坐标(x1,y1),(x2,y2)是方程组的解,将代入并化简得,(4+k2)x2+2kx-3=0,所以于是=(+
14、)=设点P的坐标为(x,y),则消去参数k得4x2+y2-y=0,当斜率不存在时,A,B中点为坐标原点(0,0),也满足方程,所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0.答案:4x2+y2-y=0【方法技巧】利用参数法求轨迹方程的技巧参数法是求轨迹方程的一种重要方法,其关键在于选择恰当的参数.一般来说,选参数时要注意:动点的变化是随着参数的变化而变化的,即参数要能真正反映动点的变化特征;参数要与题设的已知量有着密切的联系;参数要便于轨迹条件中的各种相关量的计算,也要便于消去.常见的参数有角度、斜率、点的横坐标、纵坐标等.4.(12分)(2015湖州模拟)已知以C(2,0)为圆心的圆C和两条射线y
15、=x(x0)都相切,设动直线l与圆C相切,并交两条射线于A,B,求线段AB中点M的轨迹方程.【解析】设直线l的方程为y=kx+b.A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),由得A(,),(k0).由得B(,),所以由得:k=,b=因为圆C与y=x都相切,所以圆C的半径r=.因为AB:kx-y+b=0与圆C相切,所以即2k2+4kb+b2-2=0将代入得(y2-x2)2+4x(y2-x2)-2(y2-x2)=0,因为y2x2,所以y2-x2+4x-2=0即(x-2)2-y2=2(y0)当lx轴时,线段AB的中点M(2,0)也符合上面的方程,其轨迹在AOB内.5.(13分)(能力挑战题)如
16、图,动圆C1:x2+y2=t2,1t3,与椭圆C2: +y2=1相交于A,B,C,D四点,点A1,A2分别为C2的左,右顶点.(1)当t为何值时,矩形ABCD的面积取得最大值?并求出其最大面积.(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.【解题提示】(1)由于A,B,C,D四点的对称性,可设出它们的坐标,利用坐标的某个变量来表示矩形面积,建立函数,求最值.(2)利用点的坐标,据直线方程的点斜式写出直线方程,求交点坐标,用交轨法求轨迹方程.【解析】(1)由于A,B,C,D四点的对称性,设A(x0,y0),B(x0,-y0),C(-x0,-y0),D(-x0,y0),则矩形ABCD的面积为S=
17、ABBC=2|y0|2|x0|=4|x0y0|,由点A(x0,y0)在椭圆+y2=1上,所以+=1=1-.从而=(1-)=-(-)2+,故=,=时,取得最大值.从而S=ABBC=2|y0|2|x0|=4|x0y0|取得最大值6.此时t2=+=5t=.(2)由A(x0,y0),B(x0,-y0),A1(-3,0),A2(3,0)可得直线AA1的方程:y=(x+3)直线A2B的方程:y= (x-3)设直线AA1与直线A2B的交点M(x,y)由得y2=(x2-9)由(1)知=1-代入整理得-y2=1(x-3,y0)因此点M的轨迹方程为-y2=1(x-3,y0).关闭Word文档返回原板块- 14 - 版权所有高考资源网
