1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。2简谐运动的描述一、描述简谐运动的物理量如图所示，振子在A、B间以O为中心做简谐运动时，其位移变化有什么特点？振子运动的范围和其位移的最大值有何关系？提示：越靠近O点位移越小，越远离O点位移越大；振子运动的范围是其最大位移的两倍。1振幅(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，用A表示，单位是米(m)。(2)物理意义：表示振动的强弱，是标量。(3)振动范围：振动物体的振动范围为其振幅的两倍。2周期和频率(1)全振动类似于OBOCO的一个完整振动过程。(2)周期和频率周期
2、(T)频率(f)定义做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间物体完成全振动的次数与所用时间之比单位秒(s)赫兹(Hz)物理含义表示物体振动快慢的物理量表示物体振动快慢的物理量关系式T3.相位(1)物理意义：相位是表示物体振动步调的物理量。(2)定义：用相位来描述简谐运动在一个全振动中所处的阶段，用表示。二、简谐运动的表达式如图所示，甲图为用沙摆演示简谐运动图像的装置，乙图为沙摆下方一木板上的沙的情况。那么，能用数学语言描述上述沙摆的运动规律吗？具体如何描述？提示：能。可用公式xA sin (t)描述沙摆的运动。1表达式：xA_sin_(t)。2表达式中各量的意义(1)A表示简谐运动的振幅。(
3、2)是一个与频率成正比的物理量叫简谐运动的圆频率，2f。(3)t代表简谐运动的相位，是t0时的相位，称作初相位，或初相。(1)振幅就是指振子的最大位移。()(2)振动物体的周期越大，表示振动越快。()(3)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动过程。()(4)振子完成一次全振动的路程等于振幅的4倍。()(5)简谐运动表达式xA sin (t)中，表示振动的快慢，越大，振动的周期越小。()(6)一个物体运动时其相位变化2，就意味着完成一次全振动。()描述简谐运动的各物理量及其关系的理解1对全振动的理解(1)全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，叫作一次全振动
4、。(2)全振动的五个特征：振动特征：完成一次完整的振动过程。物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。时间特征：历时一个周期。路程特征：振幅的4倍。相位特征：增加2。2简谐运动中振幅和几个物理量的关系(1)振幅和振动系统的能量：对一个确定的振动系统来说，系统能量仅由振幅决定。振幅越大，振动系统的能量越大。(2)振幅、位移和路程的关系振幅位移路程定义振动物体离开平衡位置的最大距离从平衡位置指向振子所在位置的有向线段运动轨迹的长度矢、标性标量矢量标量变化在稳定的振动系统中不发生变化大小和方向随时间做周期性变化随时间增加联系振幅等于最大位移的大小；振子在一个周期内
5、的位移等于零，在一个周期内的路程等于4倍振幅，在半个周期内的路程等于2倍振幅提醒：对振幅的理解(1)在一个稳定的振动系统中，振幅是不变的，它与振动系统的周期(频率)或质点的位移无关。(2)振幅是标量，它没有负值，也无方向，它等于振子最大位移的大小，却不是最大位移。如图所示，弹簧振子在A、B间做简谐运动，若OAOB10 cm，则该振子做简谐运动的振幅是多少？最大位移是多少？二者相同吗？提示：振幅为10 cm，最大位移也为10 cm，但二者不相同，振幅是标量，位移是矢量，二者不可能相同。【典例】如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置在。，某时刻振子处于B点。求：(1)振子振动的周期和频率；(2)振子在
6、5 s内通过的路程及位移大小。【审题关键】序号解题依据信息提取做简谐运动的物体在最大位移处速度为零B、C两点均为位移最大的点弹簧振子的运动范围为振幅的二倍振幅A5 cm振子从一端运动至平衡位置的时间为周期的四分之一振子周期T2.0 s【解析】(1)设振幅为A，由题意BC2A10 cm，所以A5 cm。振子从B到O所用时间t0.5 s，为周期T的四分之一，所以T2.0 s；f0.5 Hz。(2)振子在1个周期内通过的路程为4A，故在t5 s2.5T内通过的路程s4A50 cm。5 s内振子振动了2.5个周期，5 s末振子处在C点，所以它的位移大小为5 cm。答案：(1)2.0 s0.5 Hz(2
7、)50 cm5 cm振动物体路程的计算方法(1)振动物体在一个周期内通过的路程一定为四倍振幅，则在n个周期内通过的路程必为n4A。(2)振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅。(3)振动物体在内通过的路程可能等于一倍振幅，还可能大于或小于一倍振幅，只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时，内通过的路程才等于振幅。1(母题追问)在典例情境中，求振子在B点的加速度的大小与它距O点4 cm处P点的加速度大小的比值。【解析】振子加速度ax，ax。所以aBaPxBxP54。答案：542(教材二次开发P38【例题】变式题)如图所示，弹簧振子在AB间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间距离是20 cm，从
8、A到B运动时间是2 s，则()A.从OBO振子做了一次全振动B振动周期为2 s，振幅是10 cmC从B开始经过6 s，振子通过的路程是60 cmD从O开始经过3 s，振子处在平衡位置【解析】选C。振子从OBO只完成半个全振动，A错误；从AB振子也只是半个全振动，半个全振动用时2 s，所以振动周期是4 s，B错误；t6 s1T，所以振子经过的路程为4A2A6A60 cm，C正确；从O开始经过3 s，振子处在最大位移处(A或B)，D错误。【加固训练】一个质点做简谐运动，振幅是4 cm，频率为2.5 Hz，该质点从平衡位置起向正方向运动，经2.5 s，质点的位移和路程分别是()A4 cm、24 cm
9、B4 cm、100 cmC0、100 cm D4 cm、100 cm【解析】选D。由f得T0.4 s，t2.5 s6T。每个周期质点通过的路程为44 cm16 cm，故质点的总路程s616 cm100 cm，质点0时刻从平衡位置向正向位移运动，经过周期运动到正向最大位移处，即位移x4 cm，故D项正确。对简谐运动表达式的理解角度1由表达式求物理量1简谐运动的表达式xA sin (t)中各物理量的意义：(1)x：表示振动质点相对于平衡位置的位移。(2)A：表示振幅，描述简谐运动振动的强弱。(3)：圆频率，它与周期、频率的关系为2f。可见、T、f相当于一个量，描述的都是振动的快慢。(4)t：表示相
10、位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2，意味着物体完成了一次全振动。(5)：表示t0时振动质点所处的状态，称为初相位或初相。2相位差的含义：(1)相位差：即某一时刻的相位之差。(2)设A、B两物体的简谐运动的表达式分别为：x1A1sin (t1)，x2A2sin (t2)它们的相位差为(t2)(t1)21。可见，其相位差恰好等于它们的初相之差，因为初相是确定的，所以频率相同的两个简谐运动有确定的相位差。若210，则称B的相位比A的相位超前或A的相位比B的相位落后；若210，则称B的相位比A的
11、相位落后|或A的相位比B的相位超前|。如图所示，一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪很大，游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为3.0 s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船。则在一个周期内，游客能舒服地登船的时间是多少？提示：由题中所给条件写出游船做简谐运动的振动方程y20sin t20sin t(cm)，画出yt图像，如图所示，能舒服登船的时间tt2t1，在一个周期内，当y10 cm时，解得t10.25 s，t21.25 s，则tt2t11.25 s0.25 s1.0 s，即一个周期内，
12、游客能舒服地登船的时间是1.0 s。【典例1】(2021苏州高二检测)物体A做简谐运动的振动位移xA3cos (100t) m，物体B做简谐运动的振动位移xB5cos (100t) m。比较A、B的运动，下列说法正确的是()A振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 mB周期是标量，A、B周期相等，为100 sCA振动的频率fA等于B振动的频率fBDA的相位始终超前B的相位【解析】选C。A振幅是标量，A、B的振动范围分别是6 m、10 m，但振幅分别是3 m、5 mBA、B的振动周期为T s6.28102 sC因为TATB，故fAfBDAB【母题追问】在【典例1】中，如把A做简谐运动的振动
13、位移xA3cos (100t) m改为xA3sin (100t)m，其余条件不变，则下列说法正确的是()A振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 mB周期是标量，A、B周期相等，为100 sCA振动的频率fA等于B振动的频率fBDA的相位始终超前B的相位【解析】选C。将B做简谐运动的表达式改为xB5sin (100t)，则由题意知：A、B的振幅分别为3 m，5 m；A、B的振动周期为T s6.28102 s，因为TATB，故fAfB；相位差BA。角度2根据表达式画图像或根据图像写表达式1根据表达式画振动图像(1)根据xA sin (t)找出振幅A和振动周期T；(2)令t0，找出初始时刻的
14、位移x(x的正、负要有明确表示)；(3)选好标度，作出正弦函数图像。2根据图像写表达式(1)从图像中找出振幅A和周期T，；(2)根据t0时的位移求出初相，即x0A sin ；(3)把A、代入表达式xA sin (t)即可(若图像为余弦函数图像或其他形式也可以用该方法求得，只不过不相同)。有甲、乙两个振动，其表达式分别是x14sin (100t) cm，x25sin (100t) cm，则周期相同吗？振动步调一致吗？提示：由表达式及公式T知，甲和乙的振动周期均为0.02 s，故其周期相同；(100t)(100t)0，即振动步调不一致。【典例2】如图所示为A、B两个简谐运动的位移时间图像。请根据图
15、像写出：(1)A的振幅是_cm，周期是_s；B的振幅是_cm，周期是_s。(2)这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式。【解析】(1)由图像知：A的振幅是0.5 cm，周期是0.4 s；B的振幅是0.2 cm，周期是0.8 s。(2)由图像知：A，由TA0.4 s得A5。则简谐运动的表达式为xA0.5sin (5t)cm。同理由题图知，B，由TB0.8 s得B2.5，则简谐运动的表达式为xB0.2sin (2.5t0.5)cm。答案：(1)0.50.40.20.8(2)xA0.5sin (5t)cmxB0.2sin (2.5t0.5)cm角度3简谐运动的对称性和周期性1对称性(1)瞬时量的对称
16、性：各物理量关于平衡位置对称。以水平弹簧振子为例，振子通过关于平衡位置对称的两点，位移、速度、加速度大小相等，动能、势能、机械能相等。(2)过程量的对称性：振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如tBCtCB；质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，如tBCtBC，如图所示。2周期性(1)若t2t1nT，则t1，t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同。(2)若t2t1nTT，则t1，t2两时刻，描述运动的物理量(x，F，a，v)均大小相等，方向相反。(3)若t2t1nTT或t2t1nTT，则当t1时刻物体到达最大位移处时，t2时刻物体到达平衡位置；当t1时刻物体在平衡位置时，t
17、2时刻物体到达最大位移处；若t1时刻物体在其他位置，t2时刻物体到达何处就要视具体情况而定。如图所示的弹簧振子在A、B间以O为平衡位置做简谐运动，C、D关于O点对称，则振子分别通过C、D时，速度相同吗？动能相同吗？还有哪些量是相同的？哪些量是不同的？提示：当振子在这两点运动方向相同时，其速度相同；运动方向相反时，其速度仅大小相等，故速度不一定相同，但速度大小一定相等，又因为振子动能是标量，仅与速度大小有关，故振子在这两点的动能是相同的。在这两点相同的量还有弹簧的弹性势能及振子的机械能等，不相同的还有位移、加速度及弹簧弹力等。【典例3】物体做简谐运动，通过A点时的速度为v，经过1 s后物体第一次
18、以相同速度v通过B点，再经过1 s物体紧接着又通过B点，已知物体在2 s内所走过的总路程为12 cm，则该简谐运动的周期和振幅分别是多大？【解析】物体通过A点和B点时的速度大小相等，A、B两点一定关于平衡位置O对称。依题意作出物体的振动路径草图如图甲、乙所示，在图甲中物体从A向右运动到B，即图中从1运动到2，时间为1 s，从2运动到3，又经过1 s，从1到3共经历了0.5T，即0.5T2 s，T4 s，2A12 cm，A6 cm。x6sin 。在图乙中，物体从A先向左运动，当物体第一次以相同的速度通过B点时，即图中从1运动到2时，时间为1 s，从2运动到3，又经过1 s，同样A、B两点关于O点
19、对称，从图中可以看出从1运动到3共经历了1.5T，即1.5T2 s，T s，1.54A12 cm，A2 cm。答案：T4 s，A6 cm或T s，A2 cm解决简谐运动的周期性和对称性问题，要特别注意以下三点：(1)要结合题意画出物体做简谐运动的路径草图，能不能正确画出路径图往往决定了能不能正确、全面地解决这类问题。(2)一定要正确判断物体所有可能的运动情况，该分类讨论的要分类讨论。(3)要充分利用简谐运动的对称性和周期性分析、求解相关物理量，必要时可画出振动图像协助分析。1某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为xAsint，则质点()A第1 s末与第3 s末的位移相同B第1 s末与第3
20、 s末的速度相同C第3 s末与第5 s末的位移相同D第3 s末与第5 s末的加速度相同【解析】选A。根据xAsint可求得该质点振动周期为T8 s，则该质点振动图像如图所示，图像的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1 s末和第3 s末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项A正确，B错误；第3 s末和第5 s末的位移方向相反，加速度指向平衡位置，所以相反，选项C、D错误。2(教材二次开发P40练习与应用T2变式题)一个小球和轻质弹簧组成的系统，按x15sin (8t) cm的规律振动。(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相。(2)另一简谐运动表达式为x25sin (8t)c
21、m，求它们的相位差。【解析】(1)已知8，由得T s，f4 Hz。A5 cm，1。(2)由21得。答案：(1) s4 Hz5 cm(2)【加固训练】一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x0.1sin 2.5 t，位移x的单位为m，时间t的单位为s。则()A弹簧振子的振幅为0.2 mB弹簧振子的周期为1.25 sC在t0.2 s时，振子的运动速度为零D若另一弹簧振子B的位移x随时间变化的关系式为x0.2sin (2.5t)，则B的振幅和周期是A的振幅和周期的2倍【解析】选C。由振动方程x0.1sin 2.5t，可读出振幅为0.1 m，圆频率2.5，故周期T0.8 s，故A、B错误；在t0.
22、2 s时，x0.1sin m0.1 m，振子的位移最大，故速度最小为零，故C正确；由两表达式可知弹簧振子B的振幅是A的2倍，但周期相同，D错误。【拓展例题】考查内容：简谐运动的对称性【典例】质点沿x轴做简谐运动，平衡位置为坐标原点O。质点经过a点(xa5 cm)和b点(xb5 cm)时速度相同，所用时间tab0.2 s；质点由b点回到a点所用的最短时间tba0.4 s。则该质点做简谐运动的频率为()A1 HzB1.25 HzC2 Hz D2.5 Hz【解析】选B。由题意可知：a、b点在O点的两侧，关于O点对称，质点由a点到b点所用时间tab0.2 s，由b点回到a点所用最短时间tba0.4 s
23、，表明质点经过b点后还要继续向x轴的正方向运动，振幅大于5 cm，设周期为T，由简谐运动的对称性可知，质点由b点回到a点的时间为，即0.4 s，T0.8 s，频率f Hz1.25 Hz，选项B正确。一竖直悬挂的弹簧振子，下端装有一记录笔，在竖直面内放置有一记录纸。当振子上下振动时，以速率v水平向左匀速拉动记录纸，记录笔在纸上留下如图所示的图像。y1、y2、x0、2x0为纸上印迹的位置坐标。探究：(1)振动的周期是多少。(2)振动的振幅是多少。【解析】(1)由题图知：周期T。(2)由题图知，振幅A答案：(1)(2)简谐运动的振动图线可用下述方法画出：如图甲所示，在弹簧振子的小球上安装一支绘图笔P，让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动，笔P在纸带上画出的就是小球的振动图像。取水平向右的方向为振子离开平衡位置的位移正方向，纸带运动的距离代表时间，得到的振动图线如图乙所示。探究：(1)弹簧振子的周期是多少？(2)t17 s时振子相对平衡位置的位移是多少？(3)2.5 s时振子的振动方向如何？【解析】(1)由题图知，弹簧振子的周期为T4 s。(2)由周期性知，t17 s时振子相对平衡位置的位移与t1 s时振子相对平衡位置的位移相同，即位移为零。(3)由图乙可知2.5 s时振子正在向x轴负方向运动。答案：(1)4 s(2)零(3)x轴负方向关闭Word文档返回原板块