1、第3讲导数的综合应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1.在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式xf(x)0，由xf(x)0，得x0，x1.当x(1,1)时，f(x)是减函数，f(x)0.由xf(x)0，0x1.故xf(x)0的解集为(，1)(0,1)答案(，1)(0,1)2若直线ym与y3xx3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围是_解析y3(1x)(1x)，由y0，得x1.y极大2，y极小2，2m2.答案(2,2)3(2015泸州一模)做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27，且用料最省，则圆柱的底面半径为_解析设圆柱的底面半径为R，母线长为l，则VR2
2、l27，l，要使用料最省，只须使圆柱的侧面积与底面积之和S最小，由题意，SR22RlR22，S2R，令S0，得R3，则当R3时，S最小答案34已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是_解析f(x)3x22ax(a6)，因为函数有极大值和极小值，所以f(x)0有两个不相等的实数根，所以4a243(a6)0，解得a3或a6.答案(，3)(6，)5若f(x)xsin xcos x，则f(3)，f，f(2)的大小关系为_解析函数f(x)为偶函数，因此f(3)f(3)又f(x)sin xxcos xsin xxcos x，当x时，f(x)f(2)f(3)f(3)答案f
3、(3)f(2)0.由(x)0，得x3.当0x3时，(x)3时，(x)0.(x)在(0，)上有极小值(3)16ln 30.故y(x)的图象与x轴有两个交点，则方程f(x)g(x)0有两个实根答案2二、解答题9(2014南通调研)设函数f(x)ln x，g(x)ax，函数f(x)的图象与x轴的交点也在函数g(x)的图象上，且在此点有公切线(1)求a，b的值；(2)试比较f(x)与g(x)的大小解(1)f(x)ln x的图象与x轴的交点坐标是(1,0)，依题意，得g(1)ab0，又f(x)，g(x)a，又f(x)与g(x)在点(1,0)处有公切线，g(1)f(1)1，即ab1，由得a，b.(2)令F
4、(x)f(x)g(x)，则F(x)ln xln xx(x0)，F(x)20.F(x)在(0，)上为减函数，且F(1)0，当0x1时，F(x)F(1)0，即f(x)g(x)；当x1时，F(x)F(1)0，即f(x)g(x)；当x1时，F(x)F(1)0，即f(x)g(x)综上可知，当0x1时，f(x)g(x)；当x1时，f(x)g(x)；当x1时，即f(x)g(x)10某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他
5、因素，记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解(1)设需新建n个桥墩，则(n1)xm，即n1，所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xmm2m256.(2)由(1)知，f(x)mx(x512)令f(x)0，得x512，所以x64.当0x64时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64x0，f(x)在区间(64,640)内为增函数所以f(x)在x64处取得最小值此时n119.故需新建9个桥墩才能使工程的费用y最小能力提升题组(建议用时：25分钟)1(2015德州模拟)已知函数yf(x)的图象关于y
6、轴对称，且当x(，0)时，f(x)xf(x)0成立，a(20.2)f(20.2)，b(log3)f(log3)，c(log39)f(log39)，则a，b，c的大小关系是_解析因为函数yf(x)关于y轴对称，所以函数yxf(x)为奇函数因为xf(x)f(x)xf(x)，且当x(，0)时，xf(x)f(x)xf(x)0，所以函数yxf(x)在(，0)上单调递减；当x(0，)时，函数yxf(x)单调递减因为120.22,0log31，log392，所以0log 320.2log3 9，所以bac.答案bac2(2014辽宁卷改编)当x2,1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是_
7、解析由题意知x2,1都有ax3x24x30，即ax3x24x3在x2,1上恒成立当x0时，ax3x24x30变为30恒成立，即aR.当0x1时，a.令t(t1)，g(t)3t34t2t，因为g(t)9t28t10(t1)，所以g(t)在1，)上单调递减，g(t)maxg(1)6(t1)，所以a6.当2x0时，a，同理，g(t)在(，1上递减，在上递增因此g(t)ming(1)2，所以a2.综上，6a2.答案6，23已知f(x)xex，g(x)(x1)2a，若x1，x2R，使得f(x2)g(x1)成立，则实数a的取值范围是_解析f(x)exxexex(1x)当x1时，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x1时，f(x)1时，判断f(x)在0,2m上零点的个数，并说明理由解(1)依题意，可知f(x)在R上连续，且f(x)exm1，令f(x)0，得xm.故当x(，m)时，exm1，f(x)1，f(x)0，f(x)单调递增故当xm时，f(m)为极小值也是最小值令f(m)1m0，得m1，即对任意xR ，f(x)0恒成立时，m的取值范围是(，1(2)当m1时，f(m)1m0，f(0)f(m)1时，g(m)em20，g(m)在(1，)上单调递增g(m)g(1)e20，即f(2m)0.f(m)f(2m)0，f(x)在(m,2m)上有一个零点故f(x)在0,2m上有两个零点.