1、分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘题型专题(八)排列组合与二项式定理练熟常见题型速度快人一部 两个计数原理题组练透1某学校高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践活动，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案共有()A16 种B18 种C37 种D48 种解析：选 C 三个班去四个工厂不同的分配方案共有 43种，甲工厂没有班级去的分配方案共有 33 种，因此满足条件的不同的分配方案共有 433337 种2(20
2、16全国甲卷)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F处与小红会合，再一起到位于 G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A24 B18 C12 D9解析：选 B由题意可知 EF 有 C24种走法，FG 有 C13种走法，由分步乘法计数原理知，共 C24C1318 种走法，故选 B.3如果一个三位正整数“a1a2a3”满足 a1a2 且 a3a2，则称这样的三位数为凸数(如 120，343，275)，那么所有凸数的个数为()A240 B204 C729 D920解析：选 A 分 8 类，当中间数为 2 时，有 122 个；当中间数为 3 时，有 236 个；当
3、中间数为 4 时，有 3412 个；当中间数为 5 时，有 4520 个；当中间数为 6 时，有 5630 个；当中间数为 7 时，有 6742 个；当中间数为 8 时，有 7856 个；当中间数为 9 时，有 8972 个 故共有 26122030425672240 个凸数技法融会1两个计数原理的应用技巧(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理(2)对于复杂的两个计数原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化2(易错提醒)在应用计数原理时要分清是“分类”还是“分步”，这是解题的关键.名称排列组合相同点都是从
4、 n 个不同元素中取 m(mn)个元素，元素无重复不同点排列与顺序有关；两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同组合与顺序无关；两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同排列与组合 题组练透1(2016兰州模拟)将 2 名女教师，4 名男教师分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由 1名女教师和 2 名男教师组成，则不同的安排方案共有()A24 种B12 种C10 种D9 种解析：选 B 第一步，为甲校选 1 名女教师，有 C122 种选法；第二步，为甲校选 2 名男教师，有 C246 种选法；第三步，为乙校选 1 名女教师和 2 名男教师，有 1种
5、选法，故不同的安排方案共有 26112 种，选 B.2(2016四川高考)用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A24 B48 C60 D72解析：选 D 第一步，先排个位，有 C13种选择；第二步，排前 4 位，有 A44种选择 由分步乘法计数原理，知有 C13A4472(个)3(2016长春质检)小明试图将一箱中的 24 瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出 3 瓶或 4 瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有()A18 种B27 种C37 种D212 种解析：选 C 由题可知，取出酒瓶的方式有 3 类，第一类：取 6 次，每次取出 4 瓶，只有 1
6、 种方式；第二类：取 8 次，每次取出 3 瓶，只有 1 种方式；第三类：取 7 次，3 次 4 瓶和 4 次 3瓶，取法为 C37，有 35 种方式共计 37 种取法故选 C.4(2016河南八市联考)将标号为 1，2，3，4 的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号 1，2 的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为()A15 B20 C30 D42解析：选 C 四个篮球中两个分到一组有 C24种分法，将分到一组的两个篮球看成一个与其余两个篮球全排列有 A33种分法，标号 1，2 的两个篮球分给同一个小朋友有 A33种分法，所以有 C24A33A3336630
7、种分法技法融会解答排列组合问题的 4 个角度解 答 排 列 组 合 应 用 题 要 从“分 析”“分 辨”“分类”“分步”的角度入手(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；(3)“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决.1通项公式与二项式系数Tk1Cknankbk(k0，1，2，n)，其中 Ckn叫做二项式系数提示：Tk1是展开式中的第 k1 项，而不是第 k 项2各二项
8、式系数之和(1)C0nC1nC2nCnn2n.(2)C1nC3nC0nC2n2n1.二项式定理题组练透1(2016河北五校联考)在二项式(12x)n 的展开式中，偶数项的二项式系数之和为 128，则展开式的中间项的系数为()A960 B960 C1 120 D1 680解析：选 C 根据题意，奇数项的二项式系数之和也应为128，所以在(12x)n 的展开式中，二项式系数之和为 256，即2n256，n8，则(12x)8 的展开式的中间项为第 5 项，且 T5C48(2)4x41 120 x4，即展开式的中间项的系数为 1 120，故选 C.2(2016山西四校联考)已知(1x)10a0a1(1
9、x)a2(1x)2a10(1x)10，则 a8等于()A5 B5 C90 D180解析：选 D(1x)102(1x)10a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10，a8C81022180.3(2016天津高考)x21x8 的展开式中 x7 的系数为_(用数字作答)解析：x21x8的通项 Tr1Cr8(x2)8r1xr(1)rCr8x163r，当 163r7 时，r3，则 x7的系数为(1)3C3856.答案：564(2016广州模拟)若ax1x 2x1x5展开式中的常数项为40，则 a_.解析：2x1x5展开式的第 r1 项为 Tr1Cr5(2x)5r1xrCr525rx52r，因为ax
10、1x(2x1x)5 的展开式中的常数项为40，所以 axC3522x11xC2523x40，所以 40a8040，解得 a3.答案：3技法融会1利用二项式定理求解的 2 种常用思路(1)二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的(2)二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值2(易错提醒)在应用通项公式时，要注意以下几点：(1)它表示二项展开式的任意项，只要 n 与 r 确定，该项就随之确定；(2)Tr1是展开式中的第 r1 项，而不是第 r 项；(3)公式中，a，b 的指数和为 n
11、，且 a，b 不能随便颠倒位置.二项式定理与其他知识的交汇近年，对二项式定理的考查由单一考查向交汇考查转变，在考查时，多与定积分、直线的方程、指数式与对数式的运算相结合，复习时，应引起重视练通陌生题型技巧胜人一筹 新题速递1(2016贵州模拟)二项式x1xn(nN*)展开式中存在常数项的一个充分条件是()An5 Bn6 Cn7 Dn9解析：选 B 二项式x1xn展开式的第 r1 项是 Crn(1)rxn2r，若存在常数项，则 n2r，即 n 是偶数，所以 n6 是展开式中存在常数项的充分条件，选项 B 正确2(2016广州五校联考)若ax2bx6的展开式中 x3项的系数为 20，则 log2a
12、log2b_.解析：ax2bx6的展开式的通项为 Tr1Cr6a6rbrx123r，令 123r3，得 r3，ax2bx6的展开式中 x3 项的系数为 C36a3b320，ab1，log2alog2blog2ablog210.答案：03(2016兰州模拟)(mx)(1x)3的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 16，则11 xmdx_.解析：(mx)(1x)3(mx)(C03x3C13x2C23xC33)，所以 x 的奇数次幂项的系数之和为 mC03mC23C13C3316.解得m3，所以11 xmdx11 x3dx14x4|110.答案：0技法融会此类问题一般难度较小，主要体现在知识间的交汇，求解时，只要理清知识间的关系，然后对每个知识点逐一击破，问题便得以解决
