1、第2讲导数在研究函数中的应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2015九江模拟)函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()A(，2) B(0，3) C(1，4) D(2，)解析函数f(x)(x3)ex的导数为f(x)(x3)exex(x3)ex(x2)ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当f(x)0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f(x)(x2)ex0，解得x2.答案D2函数yxex的最小值是()A1 Be C D不存在解析yexxex(1x)ex，令y0，则x1，因为x1时，y0，x1时，y0，所以x1时，ymin.答案C3. (2013浙江卷)已知函数yf(x)的图
2、像是下列四个图像之一，且其导函数yf(x)的图像如图所示，则该函数的图像是()解析由yf(x)的图像知，yf(x)的图像为增函数，且在区间(1，0)上增长速度越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢答案B4设aR，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则()Aa1 Ba1Ca Da解析yexax，yexa.函数yexax有大于零的极值点，则方程yexa0有大于零的解，x0时，ex1，aex1.答案A5(2014青岛模拟)已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A(1，2) B(，3)(6，)C(3，6) D(，1)(2，)解析f(x)3x22ax
3、(a6)，由已知可得f(x)0有两个不相等的实根，4a243(a6)0，即a23a180.a6或a3.答案B二、填空题6已知函数f(x)x312x8在区间3，3上的最大值与最小值分别为M，m，则Mm_解析由题意，得f(x)3x212，令f(x)0，得x2，又f(3)17，f(2)24，f(2)8，f(3)1，所以M24，m8，Mm32.答案327(2015九江模拟)已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，则ab_解析由题意得f(x)3x26axb，则解得或经检验当a1，b3时，函数f(x)在x1处无法取得极值，而a2，b9满足题意，故ab7.答案78若函数f(x)x3x22ax在上存
4、在单调递增区间，则a的取值范围是_解析对f(x)求导，得f(x)x2x2a22a.当x时，f(x)的最大值为f2a.令2a0，解得a.所以a的取值范围是.答案三、解答题9设f(x)a(x5)26ln x，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与y轴相交于点(0，6)(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值解(1)因为f(x)a(x5)26ln x，故f(x)2a(x5).令x1，得f(1)16a，f(1)68a，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y16a(68a)(x1)，由点(0，6)在切线上，可得616a8a6，解得a.(2)由(1)知，f(x)(
5、x5)26ln x(x0)，f(x)x5.令f(x)0，解得x12，x23.当0x3时，f(x)0，故f(x)的递增区间是(0，2)，(3，)；当2x3时，f(x)0，故f(x)的递减区间是(2，3)由此可知f(x)在x2处取得极大值f(2)6ln 2，在x3处取得极小值f(3)26ln 3.10(2014湘潭检测)已知函数f(x)x3ax2bxc在点P(1，f(1)处的切线方程为y3x1.(1)若函数f(x)在x2时有极值，求f(x)的解析式；(2)函数f(x)在区间2，0上单调递增，求实数b的取值范围解f(x)3x22axb，函数f(x)在x1处的切线斜率为3，所以f(1)32ab3，即2
6、ab0，又f(1)1abc2得abc1.(1)函数f(x)在x2时有极值，所以f(2)124ab0，由解得a2，b4，c3，所以f(x)x32x24x3.(2)因为函数f(x)在区间2，0上单调递增，所以导函数f(x)3x2bxb在区间2，0上的值恒大于或等于零，则得b4，所以实数b的取值范围是4，)能力提升题组(建议用时：25分钟)11函数f(x)x33x1，若对于区间3，2上的任意x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|t，则实数t的最小值是()A20 B18 C3 D0解析因为f(x)3x233(x1)(x1)令f(x)0得x1，可知1，1为函数的极值点又f(3)19，f(1)1，f(1
7、)3，f(2)1，所以在区间3，2上f(x)max1，f(x)min19.由题设知在区间3，2上f(x)maxf(x)mint，从而t20，所以t的最小值是20.答案A12(2015福州质量检测)若函数f(x)x2x1在区间上有极值点，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.解析若函数f(x)在区间上无极值，则当x时，f(x)x2ax10恒成立或当x时，f(x)x2ax10恒成立当x时，yx的值域是；当x时，f(x)x2ax10，即ax恒成立，a2；当x，f(x)x2ax10，即ax恒成立，a.因此要使函数f(x)在上有极值点，实数 a的取值范围是，故选C.答案C13已知函数f(x)x2
8、4x3ln x在区间t，t1上不单调，则t的取值范围是_解析由题意知f(x)x4，由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，由t1t1或t3t1，得0t1或2t3.答案(0，1)(2，3)14(2014安徽卷)设函数f(x)1(1a)xx2x3，其中a0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x0，1时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值解(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)1a2x3x2.令f(x)0，得x1，x2，x1x2，所以f(x)3(xx1)(xx2)当xx1或xx2时，f(x)0；当x1xx2时，f(x)0.故f(x)在(，x1)和(x2，)内单调递减，在(x1，x2)内单调递增(2)因为a0，所以x10，x20.当a4时，x21，由(1)知，f(x)在0，1上单调递增，所以f(x)在x0和x1处分别取得最小值和最大值当0a4时，x21，由(1)知，f(x)在0，x2上单调递增，在x2，1上单调递减，所以f(x)在xx2处取得最大值又f(0)1，f(1)a，所以当0a1时，f(x)在x1处取得最小值；当a1时，f(x)在x0处和x1处同时取得最小值；当1a4时，f(x)在x0处取得最小值.