1、1函数的三要素定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则2分段函数若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数题型专题(二)函数的图象与性质函数及其表示练熟常见题型速度快人一部 题组练透1(2016青岛一模)函数 y1x22x23x2的定义域为()A(，1 B1，1C1，2)(2，)D.1，12 12，1解析：选 D 要使函数 y1x22x23x2有意义，则1x20，2x23x20，解得1x1，x2且x12，即1x1 且 x12，所以该函数的定义域为
2、1，12 12，1.2若函数 f(x)(xa)(bx2a)(常数 a，bR)是偶函数，且它的值域为(，2，则该函数的解析式 f(x)_.解析：由题意知：a0，f(x)(xa)(bx2a)bx2(2aab)x2a2是偶函数，则其图象关于 y 轴对称，所以 2aab0，b2.所以 f(x)2x22a2，因为它的值域为(，2，所以 2a22.所以 f(x)2x22.答案：2x223 (2016 石 家 庄 一 模)已 知 在(1，1)上 函 数 f(x)sin x2，1x0，log2（x1），0 x1，且 f(x)12，则 x 的值为_解析：法一：当1x0 时，由 f(x)sinx2 12，解得 x
3、13；当 0 x1 时，由 f(x)log2(x1)12，解得 x 22 1，不符合题意，舍去，故 x 的值为13.法二：当1x0 时，f(x)sinx2 12，解得 x13；当0 x1 时，f(x)log2(x1)(0，1)，此时 f(x)12无解，故 x的值为13.答案：134(2016厦门一模)已知函数 f(x)（12a）x3a，x1，2x1，x1的值域为 R，则实数 a 的取值范围是_解析：当 x1 时，f(x)2x11，函数 f(x)（12a）x3a，x1，2x1，x1的值域为 R，当 x0，12a3a1，解得 0a12.答案：0，12技法融会1函数定义域问题的 3 种类型(1)已知
4、函数的解析式：定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建不等式(组)求解即可(2)抽象函数：根据 f(g(x)中 g(x)的范围与 f(x)中 x 的范围相同求解(3)实际问题或几何问题：除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义2(易错提醒)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解.函数的图象包括作图、识图、用图，三者在学习中的侧重点为：(1)作图：常用描点法和图象变换法图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换尤其注意 yf(x)与 yf(x)，yf(x)，yf(x)，yf(|x|)，y|f(x)|及 yaf(x)b 的相互关系函数的图象(2)
5、识图：从图象与坐标轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究题组练透1(2016全国乙卷)函数 y2x2e|x|在2，2的图象大致为()解析：选 D f(x)2x2e|x|，x2，2是偶函数，又 f(2)8e2(0，1)，故排除 A，B.设 g(x)2x2ex，则 g(x)4xex.又 g(0)0，g(x)在(0，2)内至少存在一个极值点，f(x)2x2e|x|在(0，2)内至少存在一个极值点，排除 C.故选 D.2.已知函数 f(x)的图象如图
6、所示，则 f(x)的解析式可以是()Af(x)ln|x|xBf(x)exxCf(x)1x21Df(x)x1x解析：选 A 由函数图象可知，函数 f(x)为奇函数，应排时，f(x)时，f(x)，排除 D，故选 A.3在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 y2a 与函数 y|xa|1 的图象只有一个交点，则 a 的值为_解析：函数 y|xa|1 的图象如图所示，因为直线 y2a 与函数 y|xa|1 的图象只有一个交点，故 2a1，解得 a12.答案：12技法融会识别函数图象的 3 种方法(1)直接法：直接求出函数的解析式并作出其图象；(2)特例排除法：其中用特殊点法破解函数图象问题需寻找特殊的点
7、，即根据已知函数的图象或已知函数的解析式，取特殊点，判断各选项的图象是否经过该特殊点；(3)性质验证法.函数的性质1判断函数单调性的一般规律单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性判定函数的单调性常用定义法、图象法及导数法2判断函数奇偶性的 3 个技巧(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称(2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称(3)对于偶函数而言，有 f(x)f(x)f(|x|)3周期性的 3 个常用结论对 f(x)定义域内任一自变量的值 x：(1)若 f(xa)f(x)，则 T2a；(2)若 f(xa)1f（x），则
8、T2a；(3)若 f(xa)1f（x），则 T2a.(a0)题组练透1下列函数中，满足“x1，x2(0，)，且 x1x2，(x1x2)f(x1)f(x2)0”的是()Af(x)1xxBf(x)x3Cf(x)ln xDf(x)2x解析：选 A“x1，x2(0，)，且 x1x2，(x1x2)f(x1)f(x2)0，使 f(x)1 成立的 x的取值范围是_解析：由题意知x0，12x11或x0，（x1）21，解得4x0 或 0 x2，故所求的 x 的取值范围是4，2 答案：4，22(2016东北四市联考)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且在区间0，)上单调递增，若f（ln x）fln1x2
9、f(1)，则 x 的取值范围是_解析：函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(ln x)fln1x f(ln x)f(ln x)f(ln x)f(ln x)2f(ln x)，f（ln x）fln1x2f(1)等价于|f(ln x)|f(1)，又 f(x)在区间0，)上单调递增，1ln x1，解得1exe.答案：1e，e技法融会求解函数与不等式交汇问题的策略已知函数的性质常利用转化与化归思想，把较复杂的问题转化为简单的问题，有时还需要借助图象求自变量或参数的范围二、新定义下的函数问题新定义函数问题主要包括两类：一是概念型，即基于函数概念背景的新定义问题，此类问题常以函数的三要素(定义域、对应
10、法则、值域)作为重点，考查考生对函数概念的深入理解；二是性质型，即基于函数性质背景的新定义问题，主要涉及函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性、对称性等性质及有关性质的延伸，旨在考查考生灵活应用函数性质的能力新题速递1已知函数 f(x)2（1x），0 x1，x1，1x2，如果对任意的nN*，定义那么 f2 016(2)的值为()A0 B1 C2 D3解析：选 C f1(2)f(2)1，f2(2)f(1)0，f3(2)f(0)2，fn(2)的值具有周期性，且周期为 3，f2 016(2)f3672(2)f3(2)2，故选 C.2对定义在0，1上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为 M 函数
11、：(1)对任意的 x0，1，恒有 f(x)0；(2)当 x10，x20，x1x21 时，总有 f(x1x2)f(x1)f(x2)成立则下列 3 个函数中不是 M 函数的个数是()f(x)x2 f(x)x21 f(x)2x1A0 B1 C2 D3解析：选 B 在0，1上，3 个函数都满足 f(x)0.当 x10，x20，x1x21 时：对于，f(x1x2)f(x1)f(x2)(x1x2)2(x21x22)2x1x20，满足；对于，f(x1x2)f(x1)f(x2)(x1x2)21(x211)(x221)2x1x210，不满足；对于，f(x1x2)f(x1)f(x2)(2x1x21)(2x112x21)2x12x22x12x21(2x11)(2x21)0，满足故选 B.技法融会解决此类新定义问题首先要准确理解给出的新定义，然后将其转化为熟悉的数学问题求解如第 2 题通过对 M 函数的理解，将问题转化为判定函数是否满足条件