1、第五节直线、平面垂直的判定及其性质任意一条(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的_都垂直，则该直线与此平面垂直性质定理垂直于同一个平面的两条直线_l_ ab两条相交直线平行a，babOlalbab文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的_，则这两个平面垂直性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于_的直线与另一个平面垂直_ _l垂线交线lllala2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理小题体验1已知直线a，b和平面，若a，b，则a与b的位置关系是_解析：由线面垂直的性质定理可知，若 a，b，则 ab.答案：平行2.如图所
2、示，在三棱锥 D-ABC 中，ABBC，ADCD，E 是 AC 的中点，则平面 ADC 与平面 BDE 的位置关系是_解析：易知 BEAC，DEAC，所以 AC平面 BDE.又 AC平面 ADC，所以平面 ADC平面 BDE.答案：垂直3(教材习题改编)PD 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，连结 PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有_对解析：由于 PD平面 ABCD，故平面 PAD平面 ABCD，平面 PDB平面 ABCD，平面 PDC平面 ABCD，平面 PDA平面PDC，平面 PAC平面 PDB，平面 PAB平面 PAD,平面PBC平面 PDC，共 7 对答案：71证明
3、线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件2面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视3面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误小题纠偏1“直线 a 与平面 M 内的无数条直线都垂直”是“直线 a与平面 M 垂直”的_条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)解析：根据直线与平面垂直的定义知“直线 a 与平面 M 的无数条直线都垂直”不能推出“直线 a 与平面 M 垂直”，反之可以，所以是必要不充分条件答案：必要不充分2下列说法中正确的是_(填序号)若平面和平面分别过两条互相垂直的直线，则；若平面内的一条直线垂直于平面内的两条平行
4、直线，则；若平面内的一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则；若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.解析：中，与 还可能平行或相交且不垂直，所以不正确；因为由平面 内的一条直线垂直于平面 内的两条相交直线，得，所以不正确，正确答案：3已知两个平面垂直，给出下列命题，其中正确命题的序号是_一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；过一个平面内一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面解析：因为两个平面垂直，一个平面内垂直于交线的任意一条直线必垂直于另一个平面内的任意一
5、条直线，所以不正确；因为两个平面垂直，一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，所以正确；因为两个平面垂直，一个平面内垂直于交线的已知直线必垂直于另一个平面，所以不正确，正确答案：题组练透1若一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，则能保证该直线与平面垂直的是_(填序号)三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正六边形的两条边解析：由线面垂直的判定定理可知能判定直线与平面垂直，中梯形的两边不一定相交，所以无法判定直线与平面垂直，中由于正六边形的两边不一定相交，所以无法判定直线与平面垂直答案：2(2016南京调研)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面AB
6、CD，点E在线段PC上，PC平面BDE.(1)证明：BD平面PAC；(2)若PA1，AD2，求三棱锥E-BCD的体积解：(1)证明：PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD.PC平面BDE，BD平面BDE，PCBD.又PAPCP，BD平面PAC.(2)如图所示，设AC与BD的交点为O，连结OE.PC平面BDE，PCOE.由(1)知，BD平面PAC，BDAC，由题设条件知，四边形ABCD为正方形由AD2，得ACBD2 2，OC 2.在RtPAC中，PC PA2AC2 122 223.易知RtPACRtOEC，OEPACEACOCPC，即OE1 CE2 2 23，OE 23，CE43.VE-B
7、CD13SCEOBD1312OECEBD16 23 432 2 827.典例引领(2016连云港期末)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，ABAC，D 为 BC 的中点，E 为 BD 的中点，F 在 AC1 上，且 AC14AF.求证：(1)平面 ADF平面 BCC1B1；(2)EF平面 ABB1A1.证明：(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1平面ABC，而AD平面ABC，所以CC1AD.又ABAC，D为BC的中点，所以ADBC.因为BCCC1C，BC平面BCC1B1，CC1平面BCC1B1，所以AD平面BCC1B1，又AD平面ADF，所以平面ADF平面BCC1B1.(2)连结
8、CF并延长交AA1于点G，连结GB.因为AC14AF，AA1CC1，所以CF3FG.因为D为BC的中点，E为BD的中点，所以CE3EB，所以EFGB.又EF平面ABB1A1，GB平面ABB1A1，所以EF平面ABB1A1.证明：(1)E是半圆上异于A，B的点，AEEB.又平面ABCD平面ABE，平面ABCD平面ABEAB，CBAB，CB平面ABE.又AE平面ABE，CBAE.BCBEB，AE平面CBE.又EC平面CBE，AEEC.(2)CDAB，AB平面ABE，CD平面ABE.又平面CDE平面ABEEF，CDEF.又CDAB，EFAB.证明：(1)由题意知，E 为 B1C 的中点，又 D 为
9、AB1的中点，因此 DEAC.又因为 DE平面 AA1C1C，AC平面 AA1C1C，所以 DE平面 AA1C1C.(2)因为棱柱 ABCA1B1C1是直三棱柱，所以 CC1平面 ABC.因为 AC平面 ABC，所以 ACCC1.又因为 ACBC，CC1平面 BCC1B1BC平面 BCC1B1，BCCC1C，所以 AC平面 BCC1B1.又因为 BC1平面 BCC1B1，所以 BC1AC.因为 BCCC1，所以矩形 BCC1B1是正方形，因此 BC1B1C.因为 AC，B1C平面 B1AC，ACB1CC，所以 BC1平面 B1AC.又因为 AB1平面 B1AC，所以 BC1AB1.解：(1)证
10、明：在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，有 A1A平面 ABC，A1AAC.又A1AAC，A1CAC1.又BC1A1C，AC1BC1C1，AC1，BC1平面 ABC1，A1C平面 ABC1.A1C平面 A1ACC1，平面 ABC1平面 A1ACC1.(2)存在E为BB1的中点取A1A的中点F，连结EF，FD.则EFAB，DFAC1，EFDFF，ABAC1A，平面EFD平面ABC1.ED平面EFD，ED平面ABC1.V1E ABCV1CABE131211213.(1)求证：NC平面 MFD；(2)若 EC3，求证：NDFC；(3)求四面体 N-EFD 体积的最大值解：(1)证明：平行四边形MNE
11、F和EFDC都是矩形，MNEF，EFCD，MNEFCD，MNCD.四边形MNCD是平行四边形NCMD.NC平面MFD，MD平面MFD，NC平面MFD.(2)证明：连结ED，交FC于点O.平面MNEF平面ECDF，且NEEF，平面MNEF平面ECDFEF，NE平面MNEF，NE平面ECDF.FC平面ECDF，FCNE.ECCD，四边形ECDF为正方形，FCED.又EDNEE，ED，NE平面NED，FC平面NED.ND平面NED，NDFC.(3)设NEx，则FDEC4x，其中0 x4，由(2)得NE平面FEC，四面体N-EFD的体积为VN-FED13SEFDNE12x(4x)VN-FED12x4x222，当且仅当x4x，即x2时，四面体N-FED的体积最大，最大为2.结 束 “课后三维演练”见“课时跟踪检测(四十四)”(单击进入电子文档)结 束 板块命题点专练（十）(单击进入电子文档)