1、第五节古典概型、几何概型命题分析预测学科核心素养本节是高考的热点，常以选择题和填空题的形式出现，主要考查古典概型，与长度、面积有关的几何概型，有时也与其他知识进行交汇命题，以解答题的形式出现，如概率与统计和统计案例的综合，求解时要掌握古典概型和几何概型的应用条件和计算公式本节通过古典概型和几何概型考查考生的数学运算、数学建模等核心素养授课提示：对应学生用书第215页知识点一古典概型1古典概型特点（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性（2）每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性2古典概型概率公式P（A） 温馨提醒 1在计算古典概型中试验的所有结果数和事件发生结果时，易忽视他们是
2、否是等可能的2概率的一般加法公式P（AB）P（A）P（B）P（AB）中，易忽视只有当AB，即A，B互斥时，P（AB）P（A）P（B），此时P（AB）01从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（）A06B05C04 D03解析：设2名男同学为a，b，3名女同学为A，B，C，从中选出两人的情形有（a，b），（a，A），（a，B），（a，C），（b，A），（b，B），（b，C），（A，B），（A，C），（B，C），共10种，而都是女同学的情形有（A，B），（A，C），（B，C），共3种，故所求概率为03答案：D2袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球从中任取一球
3、，则取到白球的概率为_解析：从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P答案：3（易错题）从某班5名学生（其中男生3人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，则所选3人中至少有1名女生的概率为_解析：采用间接法，从某班5名学生中任选3人共有10种选法，3名学生全为男生的有1种选法至少有1名女生的对立事件是没有女生，即全为男生，所以所求概率P1答案：知识点二几何概型（1）定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型（2）特点：无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；等可能性：
4、每个结果的发生具有等可能性（3）公式：P（A） 温馨提醒 易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的1在线段0，3上任投一点，则此点坐标小于1的概率为_解析：坐标小于1的区间为0，1），长度为1，0，3的区间长度为3，故所求概率为答案：2设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率为_解析：如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的平面区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域易知该阴影部分的面积为4因
5、此满足条件的概率是1答案：1授课提示：对应学生用书第216页题型一几何概型考法（一）与长度、角度有关的几何概型例1（1）从区间2，2中随机选取一个实数a，则函数f（x）4xa2x11有零点的概率是（）ABC D解析令t2x，函数有零点就等价于方程t22at10有正根，进而可得a1，又a2，2，所以函数有零点的实数a应满足a1，2，故P答案A（2）如图，扇形AOB的圆心角为120，点P在弦AB上，且APAB，延长OP交弧AB于点C，现向扇形AOB内投一点，则该点落在扇形AOC内的概率为_解析设OA3，则AB3，所以AP，由余弦定理可求得OP，AOP30，所以扇形AOC的面积为，扇形AOB的面积为
6、3，从而所求概率为答案1与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直接用概率的计算公式求解2与角度有关的几何概型当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段考法（二）与体积有关的几何概型例2如图，正四棱锥SABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为_解析设球的半径为R，则所求的概率为P答案与体积有关的几何概型的求法对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积（总空间）以及事件的体积（事件空间），对于某些较复杂的也可利用其对立
7、事件求解考法（三）与面积有关的几何概型例3（1）（2021长沙联考）如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内的圆锥外面的鱼吃到”的概率是（）A1 BC D1解析鱼缸底面正方形的面积为224，圆锥底面圆的面积为所以“鱼食能被鱼缸内的圆锥外面的鱼吃到”的概率是1答案A（2）已知实数m0，1，n0，2，则关于x的一元二次方程4x24mxn22n0有实数根的概率是（）A1 BC D1解析关于x的一元二次方程4x24mxn22n0有实数根，16m216（n22n）0得
8、m2（n1）21，如图所示，长方形面积为2，扇形面积为，图中白色部分是满足题意的点集合区域，故概率为1答案A解决与面积有关的几何概型问题，其解题关键是明确试验所发生的区域及事件所发生的区域面积，其解题流程为： 题组突破1太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，展现了一种相互转化，相对统一的形式美按照太极图的构图方法，在如图所示的平面直角坐标系中，圆O被函数y3sin x的图像分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）ABC D解析：根据题意，大圆的直径为函数y3sin x的最小正周期T，又T12，所以大圆的面积S36，一个小圆的面积S1
9、2，故在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为P答案：B2（2021江西九江模拟）星期一，小张下班后坐公交车回家，公交车有1，10两路每路车都是间隔10分钟一趟，1路车到站后，过4分钟10路车到站不计停车时间，则小张坐1路车回家的概率是（）A BC D解析：由题意可知小张下班后坐1路公交车回家的时间段是在10路车到站与1路车到站之间，共6分钟设“小张坐1路车回家”为事件A，则P（A）答案：D 3记函数f（x）的定义域为D，在区间4，5上随机取一个数x，则xD的概率是_解析：由6xx20，解得2x3，则D2，3，则所求概率为答案：4（2021太原五中模拟）已知四棱锥PABCD的所有顶点都在球
10、O的球面上，PA底面ABCD，底面ABCD为正方形，PAAB2现在球O的内部任取一点，则该点取自四棱锥PABCD内部的概率为_解析：把四棱锥PABCD扩展为正方体，则正方体的体对角线的长是外接球的直径R，即22R，R，则四棱锥的体积为222，球的体积为（）34，则该点取自四棱锥PABCD内部的概率P答案：题型二古典概型例（2021兰州双基测试）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c（1）求“抽取的卡片上的数字满足abc”的概率；（2）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”
11、的概率解析（1）有放回地抽取3次，总的结果有：33327（种），满足要求的有3种设“抽取卡片上的数字满足abc”为事件A，则事件A包括（1，1，2），（1，2，3），（2，1，3）共3种，概率P（A）（2）设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3），共3种，所以P（B）1P（）1，因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为求古典概型概率的步骤（1）判断试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；（2）分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；（3）利用公式P（A），求出事件A的概率题组突破1（
12、2020高考全国卷）设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）ABCD解析：从O，A，B，C，D这5个点中任取3点，取法有O，A，B，O，A，C，O，A，D，O，B，C，O，B，D，O，C，D，A，B，C，A，B，D，A，C，D，B，C，D，共10种，其中取到的3点共线的只有O，A，C，O，B，D这2种取法，所以所求概率为答案：A2某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队（1
13、）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率解析：（1）由题意，参加集训的男、女生各有6名参赛学生全从B中学抽取（等价于A中学没有学生入选代表队）的概率为，因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1（2）设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A，记“参赛女生有2人”为事件B，“参赛女生有3人”为事件C则P（B），P（C）由互斥事件的概率加法公式，得P（A）P（B）P（C），故所求事件的概率为古典概型与几何概型应用中的核心素养（一）数学建模古典概型与几何概型中的数学文化问题例1（1）（2019高考全国卷）我国
14、古代典籍周易用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）ABC D解析在所有重卦中随机取一重卦，其基本事件总数n2664，恰有3个阳爻的基本事件数为C20，所以在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的概率P答案A（2）（2021辽宁五校联考）古希腊数学家阿基米德用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和抛物线所包围的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四”如图，已知直线x2交抛物线y24x于A，B两点点A，B在y轴上的射影分别为D，C从长方形ABCD中任取一点，则
15、根据阿基米德这一理论，该点位于阴影部分的概率为（）A BC D解析在抛物线y24x中，取x2，可得y2，所以S矩形ABCD8，由阿基米德理论可得弓形面积为42，则阴影部分的面积为8由概率比为面积比可得，点位于阴影部分的概率为答案B解决与数学文化有关的概率问题关键是根据条件判断概率模型题组突破1九章算术中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：已知直角三角形的两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）ABC1 D1解析：直角三角形的斜边长为17，设内切圆的半径为r，则8r15r17，解得r3内
16、切圆的面积为r29，豆子落在内切圆外的概率P11答案：D2（2021武汉市高三调研测试）我国历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节，每个季节六个节气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨某书画院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是（）A BC D解析：甲从春、夏、秋、冬四个季节的各6幅彩绘绘制的任务中抽一个季节的6幅彩绘绘制，故甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率为答案：B（二）创新应用古典概型与几何概型的交汇创新应用例2（1）从集合2，3，4，5中随机抽取一个数a，从集合1，3
17、，5中随机抽取一个数b，则向量m（a，b）与向量n（1，1）垂直的概率为（）A BC D解析由题意可知m（a，b）有：（2，1），（2，3），（2，5），（3，1），（3，3），（3，5），（4，1），（4，3），（4，5），（5，1），（5，3），（5，5），共12种情况因为mn，即mn0，所以a1b（1）0，即ab，满足条件的有（3，3），（5，5），共2个，故所求的概率为答案A（2）（2021洛阳第一次联考）如图，圆O：x2y22内的正弦曲线ysin x与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是（）AB CD解析由题意知圆O的面积为3，正弦
18、曲线ysin x，x，与x轴围成的区域记为M，根据图形的对称性得区域M的面积S2sin xdx2cos x4，由几何概型的概率计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率P答案B解决古典概型、几何概型与其他知识交汇问题，其关键是将平面向量、直线与圆、函数的单调性及方程的根情况转化为概率模型，再按照求古典概型、几何概型的步骤求解题组突破1已知函数f（x）2x24ax2b2，若a4，6，8，b3，5，7，则该函数有两个零点的概率为_解析：要使函数f（x）2x24ax2b2有两个零点，即方程x22axb20有两个实根，则4a24b20，又a4，6，8，b3，5，7，即ab，而a，b的取法共有339（种），其中满足ab的取法有（4，3），（6，3），（6，5），（8，3），（8，5），（8，7），共6种，所以所求的概率为答案：2已知点O（0，0），A（2，1），B（1，2），C，动点P（x，y）满足02且02，则点P到点C的距离大于的概率为_解析：因为点O（0，0），A（2，1），B（1，2），C，动点P（x，y）满足02且02，所以如图，不等式组对应的平面区域为正方形OEFG及其内部，|CP|对应的平面区域为阴影部分由解得即E，所以|OE| ，所以正方形OEFG的面积为，则阴影部分的面积为，所以根据几何概型的概率公式可知所求的概率为1答案：1