1、高考资源网（） 您身边的高考专家第九节圆锥曲线的综合问题命题分析预测学科核心素养直线与圆锥曲线的综合应用问题（特别是一些经典问题，如：定值与定点、最值与取值范围、探索性问题）一直是高考热点问题常常与向量、圆等知识交汇在一起命题，多以解答题形式出现，难度较大本节通过圆锥曲线的综合应用考查数学运算、逻辑推理等核心素养第一课时直线与圆锥曲线的位置关系授课提示：对应学生用书第191页知识点一直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0（A，B不同时为0）代入圆锥曲线C的方程F（x，y）0，消去y（或消去x）得到一个关于变量x（或变量y）的一元二次方程，即消
2、去y，得ax2bxc0（1）当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，则0直线与圆锥曲线C相交；0直线与圆锥曲线C相切；0直线与圆锥曲线C相离（2）当a0，b0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合 温馨提醒 1直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点2直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点1直线ykxk1与椭圆1的位
3、置关系为（）A相交B相切C相离 D不确定解析：直线ykxk1k（x1）1恒过定点（1，1）又点（1，1）在椭圆内部，故直线与椭圆相交答案：A2过点（0，1）作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有（）A1条 B2条C3条 D4条解析：过（0，1）与抛物线y24x相切的直线有2条，过（0，1）与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点答案：C3（易错题）直线yx3与双曲线1的交点个数是（）A1 B2C1或2 D0解析：因为直线yx3与双曲线的渐近线yx平行，所以它与双曲线只有1个交点答案：A知识点二弦长公式设斜率为k（k0）的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，
4、A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|x1x2| |y1y2| 1（2021张掖市高三诊断）过抛物线y24x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为，则|AB|（）A BC5 D解析：过抛物线的焦点的弦长公式为|AB|px1x2p2，|AB|2答案：D2已知椭圆的方程是x22y240，则以M（1，1）为中点的弦所在直线方程是_解析：设过M（1，1）点的方程为ykxb，则有kb1，即b1k，即ykx（1k），联立方程组则有（12k2）x2（4k4k2）x（2k24k2）0，所以1，解得k，故b，所以yx，即x2y30答案：x2y30授课提示：对应学生用书第192
5、页题型一直线与圆锥曲线的位置关系的判断1若直线ykx2与抛物线y2x有一个公共点，则实数k的值为（）AB0C或0 D8或0解析：由得ky2y20，若k0，直线与抛物线有一个交点，则y2，若k0，则18k0，k，综上可知k0或答案：C2已知直线ykxt与圆x2（y1）21相切且与抛物线C：x24y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是（）A（，3）（0，）B（，2）（0，）C（3，0） D（2，0）解析：因为直线与圆相切，所以1，即k2t22t将直线方程代入抛物线方程并整理得x24kx4t0，于是16k216t16（t22t）16t0，解得t0或t3答案：A3若直线ykx2与双曲线x2y26
6、的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（）A BC D解析：由得（1k2）x24kx100设直线与双曲线右支交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），则解得k1，即k的取值范围是答案：D直线与圆锥曲线位置关系的判定方法代数法即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y（或x）得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标几何法即画出直线与圆锥曲线的图像，根据图像判断公共点个数题型二直线与圆锥曲线位置关系的基本应用直线与圆锥曲线的位置关系的基本应用多涉及弦长与面积问题、中点弦问题等考法（一）弦长与方程问题例1（2021贵阳摸底）已知椭圆C：1（ab0）的离
7、心率为，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，椭圆C的焦点F1到双曲线y21的渐近线的距离为（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：ykxm（k0）与椭圆C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆经过点F2，且原点O到直线l的距离为，求直线l的方程解析（1）椭圆C：1（ab0）的离心率为，又双曲线y21的其中一条渐近线方程为xy0，椭圆C的焦点F1（c，0），解得c1，a，b1，椭圆C的标准方程为y21（2）由（1）知F2（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），由原点O到直线l：ykxm（k0）的距离为，得，即m2（1k2）将ykxm代入y21，得（12k2）x24kmx2m220，16k2m
8、24（12k2）（2m22）8（2k2m21）0，x1x2，x1x2又以线段AB为直径的圆经过点F2，0，即（x11）（x21）y1y20，（x11）（x21）（kx1m）（kx2m）0，即（1k2）x1x2（km1）（x1x2）m210，（1k2）（km1）m210，化简得3m24km10由，得11m410m210，m21又k0，满足8（2k2m21）0直线l的方程为yx1求解弦长的常用方法（1）联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解（2）联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x（或y）的一元二次方程，利用根与系数的关系得到（x1x2）2，（y1y2）2，代
9、入弦长公式（3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长考法（二）中点弦问题例2在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1（ab0）的离心率为，AB为椭圆的一条弦，直线ykx（k0）经过弦AB的中点M，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为k1，点P的坐标为（1）求椭圆C的方程；（2）求证：k1k为定值解析（1）由题意知解得故椭圆C的方程为1（2）证明：设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），由于A，B为椭圆C上的点，所以1，1，两式相减得，所以k1又k，故k1k，为定值1“点差法”的四步骤处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：2“点差法”的常见结
10、论设AB为圆锥曲线的弦，点P为弦AB的中点：（1）椭圆1（ab0）中的中点弦问题：kABkOP；（2）双曲线1（a0，b0）中的中点弦问题：kABkOP；（3）抛物线y22px（p0）中的中点弦问题：kAB（y0为中点P的纵坐标）题组突破1（2021衡阳模拟）已知抛物线C：y24x的焦点为F，过F的直线与C交于A，B两点，且线段AB中点的纵坐标为2，O为坐标原点，则AOB的面积为（）A2BC2 D4解析：法一：设直线AB的方程为xty1，A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M，由消去x得y24ty40，由yM2t2，得t1，SAOB|OF|y1y2|2法二：设A（x1，y1），
11、B（x2，y2）由得kAB1，从而直线AB的方程为yx1，由抛物线定义可得|AB|x1x22y1y248，而点O到直线AB的距离d，从而SAOB|AB|d2答案：A2（2021石家庄摸底）已知点E在y轴上，点F是抛物线y22px（p0）的焦点，直线EF与抛物线交于M，N两点，若点M为线段EF的中点，且|NF|12，则p_解析：如图，由题意知FM为EF的中点，点M的横坐标为设直线EF的方程为yk，k0由得k2x2（k2p2p）x0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1，x2p当xp时，y22p2，N（p，p）|NF|2（p）2，1442p2，p264，p0，p8答案：83已知双曲线C：1（
12、a0，b0），过点P（3，6）的直线l与C相交于A，B两点，且AB的中点N（12，15），则双曲线C的离心率为_解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），由AB的中点为N（12，15），得x1x224，y1y230，由两式相减得，则因为直线AB的斜率k1，所以1，则，所以双曲线的离心率e 答案：直线与圆锥曲线位置关系中的核心素养数学运算在研究位置关系中应用数学运算是得到数学结果的重要手段在该部分主要表现为理解运算对象直线和圆锥曲线方程构成的方程组的运算，通过探究运算思路、选择运算过程，得到与位置关系相关的结论例已知椭圆r：1（ab0）的右焦点为F（1，0），且离心率为，三角形ABC的三个顶点
13、都在椭圆r上设它的三条边AB，BC，AC的中点分别为D，E，M，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且k1，k2，k3均不为0O为坐标原点，若直线OD，OE，OM的斜率之和为1，则（）AB3C D解析因为椭圆r：1（ab0）的右焦点为F（1，0），且离心率为，且a2b2c2，所以可求得椭圆的标准方程为1设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（s1，t1），E（s2，t2），M（s3，t3），因为A，B在椭圆上，所以1，1，两式相减得k1，即，同理可得，所以，因为直线OD，OE，OM的斜率之和为1，所以1答案A该题考查了直线和圆锥曲线中的中点弦问题以及直线斜率的求解
14、，还考查了数学运算核心素养根据题意中点的提示，可选用点差法利用中点坐标表示弦所在直线的斜率，从而起到简化计算流程的效果由此可见，数学运算也要根据具体的要求和情景选择适宜的运算方法，避免烦琐的计算过程，提高自己的数学素养对点训练已知双曲线1（a0，b0）的离心率为，A，B是双曲线上关于原点对称的两点，M是双曲线上异于A，B的动点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，若k11，2，则k2的取值范围为（）A BC D解析：设A（x1，y1），M（x，y），则B（x1，y1）因为A，M均在双曲线上，所以1，1，所以，即因为双曲线的离心率e，所以1，所以，所以k1k2，所以k2，因为k11，2，所以k2答案：A- 11 - 版权所有高考资源网