1、高考资源网（） 您身边的高考专家第四节直线与圆、圆与圆的位置关系命题分析预测学科核心素养本节是高考的重点，主要考查直线与圆的位置关系、弦长问题、切线问题、圆与圆的位置关系，一般以选择题和填空题的形式出现，有时与椭圆、双曲线、抛物线交汇命题本节主要考查考生的数学运算、直观想象核心素养和数形结合思想的运用授课提示：对应学生用书第174页知识点一直线与圆的位置关系设圆C：（xa）2（yb）2r2，直线l：AxByC0，圆心C（a，b）到直线l的距离为d，由消去y（或x）得到关于x（或y）的一元二次方程，其判别式为方法位置关系几何法代数法相交dr0相切dr0相离dr0 温馨提醒 与圆的切线有关的结论（
2、1）与圆x2y2r2相切于点P（x0，y0）的切线方程为x0xy0yr2（2）与圆（xa）2（yb）2r2相切于点P（x0，y0）的切线方程为（x0a）（xa）（y0b）（yb）r2（3）过圆x2y2r2外一点P（x0，y0）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则过A、B两点的直线方程为x0xy0yr21若直线xy10与圆（xa）2y22有公共点，则实数a的取值范围是（）A3，1B1，3C3，1 D（，31，）解析：由题意可得，圆的圆心为（a，0），半径为，即|a1|2，解得3a1答案：C2直线xy20与圆（x1）2（y2）21相交于A，B两点，则弦|AB|（）A BC D解析：圆心（1，2）到
3、直线xy20的距离d，|AB|2答案：D3（易错题）已知圆C：x2y29，过点P（3，1）作圆C的切线，则切线方程为_解析：由题意知P在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k，所以切线方程为y1k（x3），所以kxy13k0，所以3，所以k，所以切线方程为4x3y150综上，切线方程为x3或4x3y150答案：x3或4x3y150知识点二圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R，r，Rr，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：位置关系相离外切相交内切内含几何特征dRrdRrRrdRrdRrdRr代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解
4、公切线条数43210 温馨提醒 1两相交圆的公共弦所在直线的方程设圆C1：x2y2D1xE1yF10，圆C2：x2y2D2xE2yF20，若两圆相交，则有一条公共弦，由，得（D1D2）x（E1E2）yF1F20，方程表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程2过已知两圆交点的圆系方程过已知两圆C1：x2y2D1xE1yF10和C2：x2y2D2xE2yF20的交点的圆系方程为x2y2D1xE1yF1（x2y2D2xE2yF2）0（不含圆C2），其中为参数且11圆x24xy20与圆x2y24x30的公切线共有（）A1条 B2条C3条 D4条解析：圆x24xy20，即（x2）2y24，其圆心坐标为（2
5、，0），半径为2；圆x2y24x30，即（x2）2y21，其圆心坐标为（2，0），半径为1，则两圆的圆心距为4，两圆半径和为3，因为43，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条答案：D2若圆x2y24与圆x2y22ay60（a0）的公共弦长为2，则a_解析：两圆公共弦所在直线方程为（x2y22ay6）（x2y24）0，得y所以（）222，得a1答案：1授课提示：对应学生用书第175页题型一直线与圆的位置关系1直线l：mxy1m0与圆C：x2（y1）25的位置关系是（）A相交B相切C相离 D不确定解析：由消去y，整理得（1m2）x22m2xm250，因为16m2200，所以直线l与圆C
6、相交答案：A2直线yxm与圆x2y21在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是（）A（，2） B（，3）C D解析：当直线经过点（0，1）时，直线与圆有两个不同的交点，此时m1；当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d1，解得m（切点在第一象限），所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1m答案：D3若圆x2y2r2（r0）上恒有4个点到直线xy20的距离为1，则实数r的取值范围是（）A（1，） B（1，1）C（0，1） D（0，1）解析： 计算得圆心到直线l的距离为1，如图直线l：xy20与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2
7、的距离1答案：A判断直线与圆的位置关系的两大策略（1）若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法（2）若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较烦琐，则用代数法能用几何法，尽量不用代数法题型二直线与圆的位置关系的应用考法（一）切线问题例1（1）已知点P（1，2），圆C：（x1）2（y2）24，则过点P的圆C的切线方程为_解析由题意得，圆心C（1，2），半径r2因为（11）2（22）24，所以点P在圆C上，又kPC1，所以切线的斜率k1，所以过点P的圆C的切线方程是y（2）1x（1），即xy120答案xy120（2）由直线yx1上的一点向圆（x3）2y21引切线，则切线长的最小值为_解析
8、设圆心为C（3，0），P为直线yx1上一动点，过P向圆引切线，切点设为N，所以|PN|min（）min，又|PC|min2，所以|PN|min答案圆的切线方程的求法（1）几何法：设切线方程为yy0k（xx0），利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令dr，进而求出k（2）代数法：设切线方程为yy0k（xx0），与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式0进而求得k考法（二）弦长问题例2（1）（2020高考全国卷）已知圆x2y26x0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A1B2C3 D4解析圆的方程可化为（x3）2y29，故圆心的坐标为C（
9、3，0），半径r3如图，记点M（1，2），则当MC与直线垂直时，直线被圆截得的弦的长度最小，此时|MC|2，弦的长度l222答案B（2）设直线yx2a与圆C：x2y22ay20相交于A，B两点，若|AB|2，则圆C的面积为_解析圆C的方程可化为x2（ya）2a22，可得圆心的坐标为C（0，a），半径r，所以圆心到直线xy2a0的距离为，所以（）2（）2，解得a22，所以圆C的半径为2，所以圆C的面积为4答案4求直线与圆相交弦长的常用方法（1）几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|2（2）代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二
10、次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB|x1x2|题组突破1若a，b，c是ABC三个内角的对边，且csin C3asin A3bsin B，则直线l：axbyc0被圆O：x2y212所截得的弦长为（）A4 B2C6 D5解析：因为，故由csin C3asin A3bsin B可得c23（a2b2）圆O：x2y212的圆心为O（0，0），半径为r2，圆心O到直线l的距离d，所以直线l被圆O所截得的弦长为226答案：C2（2021哈尔滨模拟）已知过点P（2，2）的直线与圆（x1）2y25相切，且与直线xay10平行，则a_解析：因为点P在圆（x1）2y25上，所以过点P（2，
11、2）与圆（x1）2y25相切的切线方程为（21）（x1）2y5，即x2y60，由直线x2y60与直线xay10平行，得a2，a2答案：2题型三圆与圆的位置关系例已知两圆C1：x2y22x6y10和C2：x2y210x12y450（1）求证：圆C1和圆C2相交；（2）求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长解析（1）证明：由题意可知，圆C1的圆心为C1（1，3），半径r1，圆C2的圆心为C2（5，6），半径r24，两圆的圆心距d|C1C2|5，r1r24，|r1r2|4，|r1r2|dr1r2，圆C1和C2相交（2）圆C1和圆C2的方程左右两边分别相减，整理得4x3y230，两圆的公共弦
12、所在直线的方程为4x3y230圆心C2（5，6）到直线4x3y230的距离d3，故公共弦长为221判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法2两圆公共弦长的求法先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解对点训练已知圆C1：（xa）2（y2）24与圆C2：（xb）2（y2）21外切，则ab的最大值为（）ABC D2解析：由圆C1与圆C2外切，可得213，解得（ab）2a22abb29，根据基本不等式可知9a22abb22ab2ab4ab，即ab，当且仅当ab时，等号成立答案：C直线与圆位
13、置关系中的核心素养数学运算直线与圆位置关系的综合应用例（2019高考全国卷）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|4，M过点A，B且与直线x20相切（1）若A在直线xy0上，求M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|MP|为定值？并说明理由解析（1）因为M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上由已知A在直线xy0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线yx上，故可设M（a，a）因为M与直线x20相切，所以M的半径为r|a2|由已知得|AO|2又MOAO，故可得2a24（a2）2，解得a0或a4故M的半径r2或r6（2）存在定点P（1，0），使得|MA|MP|为定值理由
14、如下：设M（x，y），由已知得M的半径为r|x2|，|AO|2由于MOAO，故可得x2y24（x2）2，化简得M的轨迹方程为y24x因为曲线C：y24x是以点P（1，0）为焦点，以直线x1为准线的抛物线，所以|MP|x1因为|MA|MP|r|MP|x2（x1）1，所以存在满足条件的定点P求解与圆有关的定值问题时，常使用的方法有：（1）直接计算或证明，如本题第（2）问的证明；（2）先特殊后一般，即先利用特殊情况得到定值，再证明一般情况也满足；（3）先设后求，即先设出定值，再利用待定系数法求解对点训练已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x2）2（y3）21交于M，N两点（1）求k的取值范围；（2）若12，其中O为坐标原点，求|MN|解析：（1）由题设可知直线l的方程为ykx1因为直线l与圆C交于两点，所以1解得k所以k的取值范围为（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）将ykx1代入方程（x2）2（y3）21，整理得（1k2）x24（1k）x70所以x1x2，x1x2x1x2y1y2（1k2）x1x2k（x1x2）18由题设可得812，解得k1，所以直线l的方程为yx1故圆心C在直线l上，所以|MN|2- 9 - 版权所有高考资源网