1、1/8绝密启用前陕西省汉中市汉台中学 2020 届高三第 10 次月考理科数学试卷（解析版）（满分 150 分 考试时间：120 分钟）命题人：曾正乾审题 柴敦涛第 I 卷（选择题)一、单选题（每个题只有一个正确答案，请将正确答案涂在答题卡上）1设全集U R，集合2|280Mx xx，|13Nxx，则MN RI()A|12xx B|23xxC|41xx D|2xx 2设 xR，则“1216x”是“31x ”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3复数 z 满足23 4zii（其中i 为虚数单位），则 zi （）A5B2C 2D54已知1.10.80.7log0.
2、7,log0.8,2.1abc，则（）A acbBabcC bacDbca 5已知平面向量2,0a，2b，2a b，则2ab（）A 2 3B3 2C2 2D2 76已知1cos63，则cos 23的值为（）A2 29B 79C79D 2 297记等差数列 na的前n 项和为nS.若212a，520S，则公差 d（）A-8B-4C4D88众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在 y 轴右侧部分的边界为一个2/8半圆.给出以下命题：在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的
3、概率是 12；当43a 时，直线(2)ya x与黑色阴影部分有公共点；当0,1a时，直线(2)ya x与黑色阴影部分有两个公共点.其中所有正确结论的序号是（）ABCD9日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将 1 吨水净化到纯净度为%x时所需费用（单位：元）为 5284100c xx（80100 x）.当净化到95%时所需净化费用的瞬时变化率为（）元/吨.A5284B1056.8C211.36D105.6810某校高二年级开设 A 类选修课 3 门，B 类选修课 3 门，一位同学从中选 3 门，若要求两类课程至少各选 1 门，则不同的选法共有（）A9
4、 种B12 种C18 种D36 种11某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A 13B 23C1D 4312已知函数 f（x）=2log,02243,2xxxxx，若 a，b，c 互不相等，且 f（a）=f（b）=f（c），则 abc 的取值范围是（）A2,3B2,3C2,3D2,3第 II 卷（非选择题)二、填空题13已知二项式31()nxx的展开式中各项系数和为 256，则展开式中的常数项为_.（用数字作答）14设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sm15，Sm11，Sm121，则 m_15若双曲线22 22=1的渐近线与方程为(2)2+2=3的圆相切，则此双曲线的离心率为
5、16已知矩形 ABCD，1AB ，3BC，将 ADC沿对角线 AC 进行翻折，得到三棱锥 DABC，则在翻折的过程中，有下列结论正确的有_.(1)三棱锥 DABC的体积的最大值为 13；(2)三棱锥 DABC的外接球体积不变；3/8(3)三棱锥 DABC的体积最大值时，二面角 DACB的大小是 60；(4)异面直线 AB 与CD所成角的最大值为 90.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必做题,每个考生都必须作答.第 22/23 题为选考题，考生根据要求作答.）（一）（一）必考题：共 60 分17（本小题满分 12 分
6、）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 acosBbcosA（1）求 ba的值；（2）若 sin A 13，求 sin(C 4)的值18.（本小题满分 12 分）（2020山西高三期末（理）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记 5 分，“不合格”记 0 分.现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示：（）求a，b，c 的值；（）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取 10 人进行座谈.现再从这 10人这任选
7、 4 人，记所选 4 人的量化总分为，求 的分布列及数学期望 E ；（）某评估机构以指标 M（EMD，其中 D 表示 的方差）来评估该校安全教育活动的成效.若0.7M，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案.在（）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？19（本小题满分 12 分）如图，在三棱柱111ABCA B C中，1AA 平面 ABC，2BAC，11AAABAC，1CC 的中点为 H.（）求证：1ABAC；（）求二面角1ABCA的余弦值；等级不合格合格得分20,4040,6060,8080,100频数6a24b4/8（）在棱11A B 上是否存在点 N，使得/
8、HN平面1A BC？若存在，求出111A NA B 的值；若不存在，请说明理由20（本小题满分 12 分）已知函数2()1xf xbex 的图象在点0 x 处的切线为 yxa.（1）求 a b 的值；（2）若()0f xkx对任意的0 x 恒成立，求实数k 的取值范围.21（本小题满分 12 分）设椭圆2222:1(0)xyCabab过点3(1,)2M，且离心率12e，O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且原点O到直线l 的距离为 1，求 AB 的取值范围.（二）选考题：共 10 分.请考生在 22,23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的
9、第一题计分.22（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线l312112xttyt ：为参数，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程4cos（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设点 M 的直角坐标为5,3，直线l 与曲线C 的交点为,A B，求 MAMB的值23（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围5/8陕西省汉中市汉台中学 2020 届高三第 10 次月考（理数）参考答案一、选择题：题号123456789101112答案BADCACABCCBB二、填空
10、题：13.28；14.5；15.2；16.（2）（4）三、解答题：17【解析】（1）由 acosBbcosA，得 sinAcosBsinBcosA，即 sin(AB)0因为 A，B(0，)，所以 AB(，)，所以 AB0，所以 ab，即 1（2）因为 sinA，且 A 为锐角，所以 cosA所以 sinCsin(2A)sin2A2sinAcosA，cosCcos(2A)cos2A12sin2A 所以 sin(C)sinCcos cosCsin 18【解析】（1）由频率分布直方图可知，得分在20,40 的频率为0.005 200.1，故抽取的学生答卷数为：6600.1，又由频率分布直方图可知，得
11、分在80,100的频率为 0.2，所以60 0.2 12b，又2460b ab ，得30a b，所以18a.180.01560 20c.（2）“不合格”与“合格”的人数比例为 24：36=2：3，因此抽取的 10 人中“不合格”有 4 人，“合格”有 6人.所以 有 20，15，10，5，0 共 5 种可能的取值.431226646444410101018320,15,1014217CC CC CPPPCCC，134644441010415,035210C CCPPCC.的分布列为：20151050P114821374351210所以 1834120151050121421735210E .（
12、3）由（2）可得6/8 222221834120 1215 1210 125 120 12161421735210D ，所以 120.750.716EMD，故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案.19【解析】证明：（）因为1AA 平面 ABC，AB平面 ABC，所以1AAAB.因为2BAC，所以 ACAB.又因为1ACAAAI，所以 AB 平面1A AC.因为1AC 平面1A AC，所以1ABAC.（）由（）可知 AB，AC，1AA 两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系 Axyz因为11AAABAC，所以 0,0,0A，1,0,0B，0,1,0C，1 0,01A,.因为
13、1AA 平面 ABC，所以1(0 0 1)AA,即为平面 ABC 的一个法向量.设平面1A BC 的一个法向量为(,)nx y z，1(1 01)AB,，1(0 1 1)AC,，则110,0.nA BACn 即0,0.xzyz 令1z ，则11xy,.于是(1,1,1)n.所以1113cos3AA nAA nAAn,.又二面角1ABCA为锐角，所以其余弦值为33.（）假设棱11A B 上存在点(,)N x y z，使得/HN平面1A BC.由111(01)ANAB，11(1 0 0)AB,得1(0)0A N,.因为1(011)C,，H 为1CC 的中点，所以1012H,.所以11112HNHA
14、A N,-,.若/HN平面1A BC，则1102HN n-+，解得10 12,.又因为 HN 平面1A BC.所以在棱11A B 上存在点 N，使得/HN平面1A BC，且11112A NA B.20【解析】解：（1）由已知可得()e2xfxbx.7/8函数2()1xf xbex 的图象在点0 x 处的切线的斜率0e01kb，故1b .切点坐标为(0,0)，代入切线方程 yxa，可得0a.所以1ab.（2）由（1）知2()1xf xex.所以()0f xkx对任意的0 x 恒成立，即210 xexkx(0 x)恒成立，即2e1xxkx(0 x)恒成立.令2e1()xxg xx(0 x)，所以m
15、in()kg x即可.222ee1e(1)(1)(1)()xxxxxxxxg xxx2(1)e1xxxx.设()e1xh xx(0 x)，则()e10 xh x，所以()h x在(0,)上单调递增.所以当0 x 时，()h x 单调递增，所以0()(0)e0 10h xh .所以在(0,1)上()0g x，在(1,)上()0g x.所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增.所以当1x 时，()g x 取得最小值(1)e2g，所以2ke.所以实数k 的取值范围为(,2)e.21【解析】(1)依题意有222221914120abcaabcab,可得2243ab,椭圆C 的方程为
16、:22143xy;(2)(i)当直线l 斜率不存在时,3AB;(ii)当直线l 斜率存在时,设直线l 的方程为1122:,(,),(,)ykxm A x yB xy,则有:211mk,即221mk,联立方程22143ykxmxy可得222()4384120kxkmxm,其中22222(8)4 4341248 43kmkmkm ,又221mk,所以248 320k,2121 2228412,4343kmmxxx xkk,8/8则2222221121224 313211()443kkABkxxkxxx xk ,令2433kt ,则234tk,代入上式整理得:21111323,0,3ABttt ,令
17、2111123,0,3uttt ,则22111112314,0,3utttt ,可得,323,9u4 633,3ABu由(i)(ii)可得 AB 4 63,3.22【解析】：（1）222224cos4 cos440 xyxxxy，所以曲线C 的直角坐标方程为2240 xxy（2）将312112xtyt （t 为参数）代入2240 xxy得23120tt，2314 120 ，所以设方程的两个根为 12,t t，则 1 22t t ，由 t 的几何意义知1 22MAMBt t23【解析】试题解析：（1）当 m=5 时，()5612f xxx由绝对值的几何意义知，1113,22对应点到 5 和-6 对应点的距离之和正好等于 12，故其解集为：131122x（2）()6(6)67f xxmxxmxm，则 m 的取值范围,131,U
