1、第三节空间点、直线、平面之间的位置关系命题分析预测学科核心素养从近五年的考查情况来看，异面直线所成的角和线面位置关系是高考的热点，其中线面位置关系的相关知识是立体几何部分的基础，单独考查较少，但在解答题中会经常涉及本节通过空间点、线、面的位置关系提升考生的直观想象、逻辑推理核心素养授课提示：对应学生用书第143页知识点一平面的基本性质及推理1平面的基本性质（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线2公理2的三个推论推论1：经过一条
2、直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面 温馨提醒 异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交1下列命题中正确的是（）A过三点确定一个平面B四边形是平面图形C三条直线两两相交则确定一个平面D两个相交平面把空间分成四个区域解析：对于A，过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面，故A错误；对于B，四边形也可能是空间四边形，不一定是平面图形，故B错误；对于C，三条直线两两相交，可以确定一个平面或三个平面，故C错误；对于D，平面是无限延
3、展的，两个相交平面把空间分成四个区域，故D正确答案：D2如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是（）解析：A，B，C图中四点一定共面，D图中四点不共面答案：D知识点二空间中两直线的位置关系（1）空间中两直线的位置关系（2）异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）范围：（3）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行（4）定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 温馨提醒 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是
4、异面直线1（2021济宁调研）若直线a不平行于平面，且a，则下列结论成立的是（）A内的所有直线与a异面B内不存在与a平行的直线C内的直线与a都相交D内存在唯一的直线与a平行解析：由题意可知，直线a与平面相交，则平面内不存在与直线a平行的直线答案：B2若AOBA1O1B1，且OAO1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是（）AOBO1B1且方向相同BOBO1B1COB与O1B1不平行DOB与O1B1不一定平行解析：两角相等，角的一边平行且方向相同，另一边不一定平行答案：D3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小
5、为_解析：连接B1D1，D1C（图略），则B1D1EF，故D1B1C即为所求，又B1D1B1CD1C，所以D1B1C60答案：60知识点三空间中直线与平面、平面与平面的位置关系（1）直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况（2）平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况 温馨提醒 直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”1若平面平面，点A，C，B，D，则直线AC直线BD的充要条件是（）AABCDBADCBCAB与CD相交 DA，B，C，D四点共面解析：因为平面平面，要使直线AC直线BD，则直线AC与BD是共面直线，即A，B，C，D四点必须共面答案：D2（2021昆明市高三调研）
6、设l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，且l，m下列结论正确的是（）A若，则lB若lm，则C若，则lD若lm，则解析：，l，加上l垂直于与的交线，才有l，所以A选项错误；若lm，l，m，则与平行或相交，所以B选项错误；若，l，则l，所以C选项正确；若lm，l，m，则与平行或相交，所以D选项错误答案：C授课提示：对应学生用书第144页题型一平面的基本性质及应用1在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH相交于点P，那么（）A点P必在直线AC上B点P必在直线BD上C点P必在平面DBC内D点P必在平面ABC外解析：如图，因为EF平面ABC，而GH平面
7、ADC，且EF和GH相交于点P，所以P在两平面的交线上，因为AC是两平面的交线，所以点P必在直线AC上答案：A2如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BGGCDHHC12（1）求证：E，F，G，H四点共面；（2）设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线证明：（1）E，F分别为AB，AD的中点，EFBD在BCD中，GHBD，EFGH，E，F，G，H四点共面（2）由（1）知EF綊BD，GH綊BD四边形FEGH为梯形，GE与HF交于一点P，PEG，EG平面ABC，P平面ABC同理P平面ADCP为平面ABC与平面ADC的公共点，又平面ABC平面A
8、DCAC，PAC，P，A，C三点共线证明线共面或点共面的三种方法（1）直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面（2）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内（3）辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面、重合题型二空间两条直线的位置关系1（2019高考全国卷）如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）ABMEN，且直线BM，EN是相交直线BBMEN，且直线BM，EN是相交直线CBMEN，且直线BM，EN是异面直线DBMEN，且直线BM，EN是异面直线解析：法一：取CD的中点O，连接E
9、O，ON由ECD是正三角形，平面ECD平面ABCD，知EO平面ABCDEOCD，EOON又N为正方形ABCD的中心，ONCD以CD的中点O为原点，方向为x轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示不妨设AD2，则E（0，0，），N（0，1，0），M，B（1，2，0），EN2，BM，ENBM连接BD，BE，点N是正方形ABCD的中心，点N在BD上，且BNDN，BM，EN是DBE的中线，BM，EN必相交法二：如图，取CD的中点F，DF的中点G，连接EF，FN，MG，GBECD是正三角形，EFCD平面ECD平面ABCD，EF平面ABCDEFFN不妨设AB2，则FN1，EF，EN2EMMD，DGGF，MGE
10、F且MGEF，MG平面ABCD，MGBGMGEF，BG，BMBMEN连接BD，BE，点N是正方形ABCD的中心，点N在BD上，且BNDN，BM，EN是DBE的中线，BM，EN必相交答案：B2（2021大连期末测试）如图为一个正方体的表面展开图，则在原正方体中，线段AB，CD的位置关系是（）A平行B垂直但不相交C异面但不垂直 D相交解析：还原为正方体后得点A和C重合，所以AB，CD相交答案：D3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点给出以下四个结论：直线AM与直线C1C相交；直线AM与直线BN平行；直线AM与直线DD1异面；直线BN与直线MB1异面其中正确
11、结论的序号为（注：把你认为正确的结论序号都填上）解析：AM与C1C异面，故错；AM与BN异面，故错；，正确答案：题型三异面直线所成的角例如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）ABC D 解析连接BC1，易证BC1AD1，则A1BC1（或其补角）即为异面直线A1B与AD1所成的角连接A1C1，由AB1，AA12，则A1C1，A1BBC1，故cosA1BC1则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为答案D变式探究1将本例条件“AA12AB2”改为“AB1，若平面ABCD内有且仅有一点到顶点A1的距离为1”，
12、问题不变解析：由平面ABCD内有且仅有一点到A1的距离为1，则AA11此时正四棱柱变为正方体ABCDA1B1C1D1，由图知A1B与AD1所成角为A1BC1，连接A1C1（图略）则A1BC1为等边三角形，A1BC160，cosA1BC1，故异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为变式探究2将本例条件“AA12AB2”改为“AB1，且平面ABCD内有且仅有一点到顶点A1的距离为1”，则是否存在过顶点A的直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成角都相等，若存在，存在几条？若不存在，说明理由解析：由条件知，此时正四棱柱为正方体如图，连接对角线AC1，显然AC1与棱AB，AD，AA1所成角都相等，联想正方
13、体的其他体对角线如连接BD1，则BD1与棱BC，BA，BB1所成的角都相等，因为BB1AA1，BCAD体对角线BD1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等同理体对角线A1C，DB1也与棱AB，AD，AA1所成角都相等，故过A作BD1，A1C，DB1的平行线都满足，故这样的直线可以作4条求异面直线所成角的方法（1）求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；补形平移（2）求异面直线所成的角的三步骤：“一作、二证、三求”其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等
14、进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解对点训练（2021太原模拟）在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，D是CC1的中点，则CA1与BD所成角的大小是（）ABCD解析：如图，取A1C1的中点E，连接BE，DE，则DEA1C，所以BDE（或其补角）即为CA1与BD所成的角，设为由几何体ABCA1B1C1是正三棱柱且ABBB1，可设其棱长为2在BDE中，BD，BE，DE，由余弦定理可得cos 0，所以答案：C判断空间线、面间的位置关系中的核心素养直观想象构造模型解决空间线、面位置关系例已知m，n是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题：若m，n，mn，则；若
15、m，n，mn，则；若m，n，mn，则；若m，n，则mn其中所有正确的命题是（）ABCD解析借助于长方体模型来解决本题，对于，可以得到平面，互相垂直，如图（1）所示，故正确；对于，平面、可能垂直，如图（2）所示，故不正确；对于，平面、可能垂直，如图（3）所示，故不正确；对于，由m，可得m，因为n，所以过n作平面，且g，如图（4）所示，所以n与交线g平行，因为mg，所以mn，故正确故选A答案A1构造法实质上是结合题意构造适合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误2由于长方体或正方体中包含了线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直及面面垂直等各种位置关系，故构造长方体或正方体来判断空间直线、平面间的位置关系，显得直观、易判断构造时注意其灵活性，想象各种情况反复验证对点训练（2021郑州模拟）已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则（）Am与n异面Bm与n相交Cm与n平行Dm与n异面、相交、平行均有可能解析：在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是mn1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误答案：D
