1、1抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离；(3)定点定直线上第七节 抛 物 线 不在相等2抛物线的标准方程和几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)标准方程p的几何意义：焦点F到准线l的距离对称轴y0 x0焦点FFFF离心率e准线方程p2，0p2，00，p20，p2xp2xp2yp2yp21y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(
2、p0)标准方程p的几何意义：焦点F到准线l的距离范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0)|PF|PF|PF|PF|x0p2x0p2y0p2y0p2小题体验1(教材习题改编)若抛物线 y4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是_解析：M 到准线的距离等于 M 到焦点的距离，又准线方程为 y 116，设 M(x，y)，则 y 1161，y1516.答案：15162以 x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点 P(1，m)到焦点的距离为 3，则抛物线的方程是_解析：设抛物线的方程为y22px，则由抛物线的定义知1p23，
3、即p4，所以抛物线方程为y28x.答案：y28x3抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上一点P(3，m)到焦点距离为5，则抛物线的方程为_解析：设抛物线标准方程为 x22py 或 x22py(p0)因为 P(3，m)在抛物线上，所以 92pm，由已知结合抛物线定义，可知 P(3，m)到抛物线准线距离为 5，所以有p2|m|5，由解得 p1 或 p9，所以，所求抛物线方程为 x22y或 x218y.答案：x22y 或 x218y1抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线2抛物线标准方程中参数p易忽视只有p0，才能证明其几何意义是焦
4、点F到准线l的距离，否则无几何意义小题纠偏1抛物线 yax2 的准线方程是 y1，则 a 的值为_解析：由题意知抛物线的标准方程为 x21ay，所以准线方程 y 14a1，解得 a14.答案：142已知顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(2,3)，则它的方程是_答案：y292x或x243y3设抛物线 x212y 的焦点为 F，经过点 P(2,1)的直线 l与抛物线相交于 A，B 两点，又知点 P 恰为 AB 的中点，则|AF|BF|_.解析：分别过点 A，B，P 作准线的垂线，垂足分别为 M，N，Q，根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得|AF|BF|AM|BN|2|PQ|8
5、.答案：8考点一 抛物线的标准方程及几何性质基础送分型考点自主练透题组练透 1(2015陕西高考改编)已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线焦点坐标为_解析：抛物线y22px(p0)的准线为x p2 且过点(1，1)，故p21，解得p2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)答案：(1,0)2动点 P 到点 F(2,0)的距离与它到直线 x20 的距离相等，则 P 的轨迹方程为_解析：由抛物线定义知 P 的轨迹是以 F(2,0)为焦点的抛物线，p2，所以其方程为 y28x.答案：y28x3写出适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点与双曲线3x2y23的一个焦点重合
6、；(2)焦点到准线的距离为3.解：(1)双曲线的焦点有两个，分别为(2,0)，(2,0)，所以抛物线的标准方程有两种形式：y22px和y22px(p0)由p22，得p4，故抛物线标准方程为y28x或y28x.(2)由题意知p3，但没有明确抛物线的开口方向，故抛物线标准方程有四种可能性y26x或x26y.谨记通法 1求抛物线方程的3个注意点(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题2记住与焦点弦有关的5个常用结论(以图为依据)
7、设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Fp2，0.(1)y1y2p2，x1x2p24.(2)|AB|x1x2p 2psin2(为直线AB的倾斜角)(3)1|AF|1|BF|为定值2p.(4)以AB为直径的圆与准线相切(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切考点二 抛物线定义及应用常考常新型考点多角探明命题分析 与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等等常见的命题角度有：(1)到焦点与定点距离之和最小问题；(2)到点与准线的距离之和最小问题；(3)到定直线的距离最小问题；(4)焦点弦中距离之和最小问题题点全练 角度一：到焦点与定点距离之和最小问题1(2016苏州模拟)若点 A 的坐标
8、为(3,2)，F 是抛物线 y22x 的焦点，点 M 在抛物线上移动时，使|MF|MA|取得最小值的 M 的坐标为_解析：过 M 点作左准线的垂线，垂足是 N，则|MF|MA|MN|MA|，当 A，M，N 三点共线时，|MF|MA|取得最小值，此时 M(2,2)答案：(2,2)角度二：到点与准线的距离之和最小问题2(2016邢台摸底)已知M是抛物线x24y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x1)2(y5)21上，则|MA|MF|的最小值是_解析：依题意，由点 M 向抛物线 x24y 的准线 l：y1引垂线，垂足为 M1，则有|MA|MF|MA|MM1|，结合图形可知|MA|MM1|的最小值等于
9、圆心 C(1,5)到 y1的距离再减去圆 C 的半径，即等于 615，因此|MA|MF|的最小值是 5.答案：5角度三：到定直线的距离最小问题3已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_解析：由题可知l2：x1是抛物线y24x的准线，设抛物线的焦点为F(1,0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x3y60的距离，所以最小值是|406|52.答案：2角度四：焦点弦中距离之和最小问题4已知抛物线 y24x，过焦点 F 的直线与抛物线交于 A，B 两点，过 A，
10、B 分别作 y 轴垂线，垂足分别为 C，D，则|AC|BD|的最小值为_解析：由题意知 F(1,0)，|AC|BD|AF|FB|2|AB|2，即|AC|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|2p4时为最小值，所以|AC|BD|的最小值为 2.答案：2方法归纳 与抛物线有关的最值问题的 2 个转化策略 转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决典例引领(2015全国卷)在直角坐标系xOy
11、中，曲线C：y x24 与直线l：ykxa(a0)交于M，N两点(1)当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由考点三 直线与抛物线的位置关系重点保分型考点师生共研解：(1)由题设可得 M(2 a，a)，N(2 a，a)，或 M(2 a，a)，N(2 a，a)又 yx2，故 yx24 在 x2 a处的导数值为 a，C在点(2 a，a)处的切线方程为 ya a(x2 a)，即 axya0.yx24 在 x2 a处的导数值为 a，C 在点(2 a，a)处的切线方程为 ya a(x2 a)，即 axya0.故所求切线方程为 axya
12、0 和 axya0.(2)存在符合题意的点证明如下：设 P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN 的斜率分别为 k1，k2.将 ykxa 代入 C 的方程，得 x24kx4a0.故 x1x24k，x1x24a.从而 k1k2y1bx1 y2bx22kx1x2abx1x2x1x2kaba.当 ba 时，有 k1k20，则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补，故OPMOPN，所以点 P(0，a)符合题意由题悟法 解决直线与抛物线位置关系问题的2种常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系(2)有关
13、直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式即时应用(2016福州质检)已知抛物线y22px(p0)在第一象限内与圆x2y24x10交于不同的两点A，B.(1)求p的取值范围；(2)如果在x轴上只有一个点M，使MAMB，求p的值及M的坐标解：(1)据题意知，p0，x0.设 A(x1，2px1)，B(x2，2px2)把 y22px 代入 x2y24x10 得，x22(p2)x10，x1，x2是该方程的两不相等的正根，4p2240，x1x22p20，x1x210，即p1或p3，p2，p 的取值范围是(0,1)(2)设 M 的坐标为(m,0)，则MA(x1m，2px1)，MB(x2m，2px2)，MAMBx1x2m(x1x2)m22p x1x2.把 x1x21，x1x242p 代入，得MAMBm2(42p)m2p1，MAMB，m2(42p)m2p10，据题意该方程只有一个根，(42p)24(2p1)0，即 p26p30，p3 6(p1，舍去 p3 6)，此时 m42p2 61，即 M 的坐标为(61,0)结 束 “课后三维演练”见“课时跟踪检测(五十一)”(单击进入电子文档)
