1、第二节等差数列及其前n项和1等差数列的有关概念(1)定义：文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数符号语言：an1and(nN*，d为常数).(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A，其中A叫做a，b的等差中项2等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)d(2)前n项和公式：Snna1d3等差数列的性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*).(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(4)若Sn为等差数列an
2、的前n项和，则数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列 1两个重要技巧(1)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为ad，a，ad.(2)若偶数个数成等差数列，可设中间两项为ad，ad，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元2三个必备结论(1)若等差数列an的项数为偶数2n，则S2nn(a1a2n)n(anan1)；S偶S奇nd，.(2)若等差数列an的项数为奇数2n1，则S2n1(2n1)an1；.(3)在等差数列an中，若a10，d0，则满足的项数m使得Sn取得最大值Sm；若a10，d0，则满足的项数m使得Sn取得最小值Sm.3两个函数等差数列an，当d0时，andn(a1d)，是关
3、于n的一次函数；Snn2n是无常数项的二次函数1(基础知识：求项数)已知数列an中，an3n4，若an13，则n等于()A3 B4C5 D6答案：A2(基本方法：求公差)已知等差数列an满足：a313，a1333，则数列an的公差为()A1 B2C3 D4答案：B3(基本能力：求等差数列的前n项和)已知等差数列5，4，3，则前n项和Sn_答案：(15nn2)4(基本方法：等差中项)在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_答案：1805(基本应用：现实生活中的应用)一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒多降落9.80 m，那么经过_秒落
4、到地面答案：20题型一等差数列的基本能力 典例剖析典例(1)(2018高考全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和，若3S3S2S4，a12，则a5()A12 B10 C10 D12解析：设等差数列an的公差为d，由3S3S2S4，得32a1d4a1d，将a12代入上式，解得d3，故a5a1(51)d24(3)10.答案：B(2)记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为()A1 B2C4 D8解析：a4a5a13da14d24，S66a1d48，联立3，得6d24，d4.答案：C(3)已知等差数列an的各项都为整数，且a15，a3a41，则|a1|a2|a10|()
5、A70 B58C51 D40解析：设等差数列an的公差为d，由各项都为整数得dZ，因为a15，所以a3a4(52d)(53d)1，化简得6d225d260，解得d2或d(舍去)，所以an2n7，所以|a1|a2|a10|5311313958.答案：B方法总结 等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题对点训练1已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若S84S4，则a
6、10()A BC10 D12解析：设等差数列的首项为a1，则S88a18a128，S44a14a16，因为S84S4，即8a12816a124，所以a1，则a10a1(101)d9.答案：B2若等差数列an的前n项和为Sn，且S4S18，则S22等于()A0 B12C1 D12解析：设等差数列的公差为d，由S4S18得4a1d18a1d，a1d，所以S2222a1d2222d0.答案：A题型二等差数列的判定与证明 典例剖析类型 1定义法例1(2021江苏南京模拟)已知数列an的前n项和为Sn且满足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求证：是等差数列；(2)求an的解析式解析：(1)证明：因
7、为anSnSn1(n2)，又an2SnSn1，所以Sn1Sn2SnSn1，又Sn0.因此2(n2).故由等差数列的定义知是以2为首项，2为公差的等差数列(2)由(1)知(n1)d2(n1)22n，即Sn.由于当n2时，有an2SnSn1，又因为a1不适合上式，所以an类型 2等差中项法例2已知等比数列an的公比为q，前n项和为Sn.若S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列证明：由S3，S9，S6成等差数列，得S3S62S9.若q1，则3a16a118a1，解得a10，这与an是等比数列矛盾，所以q1，于是有，整理得q3q62q9.因为q0且q1，所以q3，a8a2q6a2
8、，a5a2q3a2，所以2a8a2a5，即a8a2a5a8，故a2，a8，a5成等差数列类型 3归纳法例3(2020高考全国卷节选)设数列an满足a13，an13an4n.计算a2，a3，猜想an的通项公式并加以证明解析：a25，a37.猜想an2n1.证明：由已知可得an1(2n3)3an(2n1)，an(2n1)3an1(2n1)，a253(a13).因为a13，所以an2n1.方法总结 判定数列an是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意nN*，an1an是同一个常数(证明用)(2)等差中项法：对任意n2，nN*，满足2anan1an1.(证明用)(3)通项公式法：数列的通项公式an是n
9、的一次函数(4)前n项和公式法：数列的前n项和公式Sn是n的二次函数，且常数项为0.提醒判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断 题组突破1在数列an中，若a11，a2，(nN*)，则该数列的通项为()Aan BanCan Dan解析：由(nN*)可知数列是等差数列首项为1，2，公差d1，1(n1)1n，an.答案：A2如果a，b，c成等差数列且不全相等，能构成等差数列吗？用函数图象解释一下解析：a，b，c成等差数列，通项公式为ypnq的形式，且a，b，c位于同一直线上，而，的通项公式为y的形式其图象不是直线，故，不是等差数列题型三等差数列的性质及综合应用 典例剖析类型 1通项性质例1
10、(1)记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为()A1 B2C4 D8解析：S63(a1a6)3(a3a4)48，a3a416.又a4a524，(a4a5)(a3a4)8，2d8，d4.答案：C(2)已知an为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，则a20等于 ()A7 B3C1 D1解析：由an是等差数列及a1a3a5105，得3a3105，即a335，由an是等差数列及a2a4a699，得3a499，即a433，则公差da4a32，则a20a3(203)d35341.答案：D类型 2和的性质例2(1)一个正项等差数列前n项的和为3，前3n项的和为21
11、，则前2n项的和为()A18 B12C10 D6解析：an是等差数列，Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列，即2(S2nSn)Sn(S3nS2n).Sn3，S3n21，2(S2n3)321S2n，解得S2n10.答案：C(2)(2018高考全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和，已知a17，S315.求an的通项公式；求Sn，并求Sn的最小值解析：设an的公差为d，由题意得3a13d15.由a17得d2，所以an的通项公式为ana1(n1)d2n9.由得Snnn28n(n4)216，所以当n4时，Sn取得最小值，最小值为16.方法总结1巧用性质，减少运算量是等差数列中计算的重要方法利用等差
12、数列的性质解题，就是从等差数列的本质特征入手去思考、分析题意，这样做会事半功倍2等差数列an的前n项和Sn存在最值的情况：如果a10，d0时，数列的项先正(或0)后负，将所有正项(或0)相加，则Sn最大，或者Snn2n表示开口向下的抛物线，Sn存在最大值如果a10，d0，数列的项先负(或0)后正，将所有的负项(或0)相加，则Sn最小，或者Snn2n表示开口向上的抛物线，Sn存在最小值3借用通项的邻项变号法：a10，d0，满足Sn取得最大值Sm；a10，满足Sn取得最小值Sm.题组突破1(2021湖北黄冈模拟)设等差数列an的前n项和为Sn，等差数列bn的前n项和为Tn，若，则()A528 B5
13、29C530 D531解析：根据等差数列的性质：得531.答案：D2设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9_解析：S3，S6S3，S9S6成等差数列，即9，27，S9S6成等差数列，a7a8a9S9S6227945.答案：453在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n8时，Sn取得最大值，则d的取值范围为_解析：由题意，当且仅当n8时Sn有最大值，可得即解得1d.答案：1(2019高考全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和已知S40，a55，则()Aan2n5 Ban3n10CSn2n28n DSnn22n解析：设首项为a1，公差为d.由S40
14、，a55可得解得所以an32(n1)2n5，Snn(3)2n24n.答案：A2(2020高考山东卷)将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前n项和为_解析：法一(观察归纳法)：数列2n1的各项为1，3，5，7，9，11，13，；数列3n2的各项为1，4，7，10，13，.观察归纳可知，两个数列的公共项为1，7，13，是首项为1，公差为6的等差数列，则an16(n1)6n5，故前n项和为Sn3n22n.法二(引入参变量法)：令bn2n1，cm3m2，bncm，则2n13m2，即3m2n1，m必为奇数令m2t1，则n3t2(t1，2，3，).atb3t2c2t16t5，即a
15、n6n5.以下同法一答案：3n22n3(2020高考全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a12，a2a62，则S10_解析：设等差数列an的公差为d，则a2a62a16d2.因为a12，所以d1，所以S1010125.答案：254(2019高考全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和，若a10，a23a1，则_.解析：由a10，a23a1，可得d2a1，所以S1010a1d100a1，S55a1d25a1，所以4.答案：41中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺
16、序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是()A174斤 B184斤C191斤 D201斤解析：用a1，a2，a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列a1，a2，a8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，8a117996，解得a165，a865717184，即第8个儿子分到的绵是184斤答案：B2九章算术之后，人们学会了用等差数列知识来解决问题，张丘建算经卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织多少尺布()A BC D解析：设从第2天起每天比前一天多织d尺布，则由题意知305d390，解得d.答案：D