1、1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数学习目标1结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系2能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式3会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)知识链接以前，我们用定义来判断函数的单调性在假设x1x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小，在函数yf(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易如何利用导数来判断函数的单调性？答根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率
2、小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减预习导引函数的单调性与导数的关系(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f(x)0单调递增f(x)0单调递减f(x)0常函数(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：函数的单调性导数单调递增f(x)0单调递减f(x)0常函数f(x)0要点一利用导数判断函数的单调性例1证明：函数f(x)在区间上单调递减证明f(x)，又x，则cos x0，sin x0，xcos xsin x0，f(x)(或)0，则f(x)为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f(x)为单调递增(或递减)函数，则f(x)(或)
3、0.跟踪演练1证明：函数f(x)在区间(0，e)上是增函数证明f(x)，f(x).又0xe，ln x0，故f(x)在区间(0，e)上是单调递增函数要点二利用导数求函数的单调区间例2求下列函数的单调区间：(1)f(x)2x33x236 x1；(2)f(x)sin xx(0x0得6x26x360，解得x2；由f(x)0解得3x0，即20，解得x0或x.又x0，x.令f(x)0，即20，解得x或0x.又x0，0x.f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(4) f(x)3x23t，令f(x) 0，得3x23t0，即x2t.当t0时，f(x) 0恒成立，函数的增区间是(，)当t0时，解x2t得x或x
4、；由f(x)0解得x.故函数f(x)的增区间是(，)和(，)，减区间是(，)规律方法求函数的单调区间的具体步骤是(1)优先确定f(x)的定义域；(2)计算导数f(x)；(3)解f(x)0和f(x)0；(4)定义域内满足f(x)0的区间为增区间，定义域内满足f(x)0的区间为减区间跟踪演练2求下列函数的单调区间：(1)f(x)x2ln x；(2)f(x)x3x2x.解(1)函数f(x)的定义域为(0，)f(x)2x，由f(x)2x0且x0，得x，所以函数f(x)的单调递增区间为；由f(x)0得x，又x(0，)，所以函数f(x)的单调递减区间为.(2)f(x)3x22x1(3x1)(x1)由f(x
5、)0得x或x1；由f(x)0得x1，故函数f(x)的单调递增区间为，(1，)，单调递减区间为.要点三已知函数单调性求参数的取值范围例3已知函数f(x)x2(x0，常数aR)若函数f(x)在x2，)上是单调递增的，求a的取值范围解f(x)2x.要使f(x)在2，)上是单调递增的，则f(x)0在x2，)时恒成立，即0在x2，)时恒成立x20，2x3a0，a2x3在x2，)上恒成立a(2x3)min.x2，)，y2x3是单调递增的，(2x3)min16，a16.当a16时，f(x)0(x2，)有且只有f(2)0，a的取值范围是(，16规律方法已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不
6、等式恒成立问题，一般地，函数f(x)在区间I上单调递增(或减)，转化为不等式f(x)0(或f(x)0)在区间I上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围跟踪演练3设f(x)ax3x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围解f(x)3ax21，且f(x)有三个单调区间，方程f(x)3ax210有两个不等的实根，02413a0，a0.a的取值范围为(，0)1函数f(x)xln x在(0,6)上是()A单调增函数B单调减函数C在上是减函数，在上是增函数D在上是增函数，在上是减函数答案A解析x(0,6)时，f(x)10，函数f(x)在(0,6)上单调递增2f(x)是函数yf(x)的导函数，若yf(x)的
7、图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()答案D解析由导函数的图象可知，当x0时，f(x)0，即函数f(x)为增函数；当0x2时，f(x)0，即f(x)为减函数；当x2时，f(x)0，即函数f(x)为增函数观察选项易知D正确3若函数f(x)x3ax2x6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是()A1，) Ba1 C(，1 D(0,1)答案A解析f(x)3x22ax1，又f(x)在(0,1)内单调递减，不等式3x22ax10在(0,1)内恒成立，f(0)0，且f(1)0，a1.4函数yx24xa的增区间为_，减区间为_答案(2，)(，2)解析y2x4，令y0，得x2；令y0，得x2，所
8、以yx24xa的增区间为(2，)，减区间为(，2)1导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度2利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)0和f(x)0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.一、基础达标1命题甲：对任意x(a，b)，有f(x)0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的，则甲是乙的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析f(x)x3在(1,1)内是单调递增的，但
9、f(x)3x20(1x1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A.2函数yx2ln x的单调减区间是()A(0,1) B(0,1)(，1)C(，1) D(，)答案A解析yx2ln x的定义域为(0，)，yx，令y0，即x0，解得：0x1或x0，0x1，故选A.3函数f(x)x3ax2bxc，其中a，b，c为实数，当a23b0时，f(x)是()A增函数B减函数C常函数D既不是增函数也不是减函数答案A解析求函数的导函数f(x)3x22axb，导函数对应方程f(x)0的4(a23b)0，所以f(x)0恒成立，故f(x)是增函数4下列函数中，在(0，)内为增函数的是()Aysin x Byxe2Cyx3x
10、Dyln xx答案B解析显然ysin x在(0，)上既有增又有减，故排除A；对于函数yxe2，因e2为大于零的常数，不用求导就知yxe2在(0，)内为增函数；对于C，y3x213故函数在，上为增函数，在上为减函数；对于D，y1 (x0)故函数在(1，)上为减函数，在(0,1)上为增函数故选B.5函数yf(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，记yf(x)的导函数为yf(x)，则不等式f(x)0的解集为_答案2,3)6函数yln(x2x2)的递减区间为_答案(，1)解析f(x)，令f(x)0得x1或x2，注意到函数定义域为(，1)(2，)，故递减区间为(，1)7已知函数f(x)x3ax8的单调递
11、减区间为(5,5)，求函数yf(x)的递增区间解f(x)3x2a.(5,5)是函数yf(x)的单调递减区间，则5,5是方程3x2a0的根，a75.此时f(x)3x275，令f(x)0，则3x2750，解得x5或x5，函数yf(x)的单调递增区间为(，5)和(5，)二、能力提升8如果函数f(x)的图象如图，那么导函数yf(x)的图象可能是()答案A解析由f(x)与f(x)关系可选A.9设f(x)，g(x)在a，b上可导，且f(x)g(x)，则当axb时，有()Af(x)g(x)Bf(x)g(x)Cf(x)g(a)g(x)f(a)Df(x)g(b)g(x)f(b)答案C解析f(x)g(x)0，(f
12、(x)g(x)0，f(x)g(x)在 a，b上是增函数，当axb时f(x)g(x)f(a)g(a)，f(x)g(a)g(x)f(a)10(2013大纲版)若函数f(x)x2ax在是增函数，则a的取值范围是_答案3，)解析因为f(x)x2ax在上是增函数，故f(x)2xa0在上恒成立，即a2x在上恒成立令h(x)2x，则h(x)2，当x时，h(x)0，则h(x)为减函数，所以h(x)h3，所以a3.11求下列函数的单调区间：(1)yxln x；(2)yln(2x3)x2.解(1)函数的定义域为(0，)，y1，由y0，得x1；由y0，得0x1.函数yxln x的单调增区间为(1，)，单调减区间为(
13、0,1)(2)函数yln(2x3)x2的定义域为.yln(2x3)x2，y2x.当y0，即x1或x时，函数yln(2x3)x2单调递增；当y0，即1x时，函数yln(2x3)x2单调递减故函数yln(2x3)x2的单调递增区间为，单调递减区间为.12已知函数f(x)x3bx2cxd的图象经过点P(0,2)，且在点M(1，f(1)处的切线方程为6xy70.(1)求函数yf(x)的解析式；(2)求函数yf(x)的单调区间解(1)由yf(x)的图象经过点P(0,2)，知d2，f(x)x3bx2cx2，f(x)3x22bxc.由在点M(1，f(1)处的切线方程为6xy70，知6f(1)70，即f(1)
14、1，f(1)6.即解得bc3.故所求的解析式是f(x)x33x23x2.(2)f(x)3x26x3.令f(x)0，得x1或x1；令f(x)0，得1x1.故f(x)x33x23x2的单调递增区间为(，1)和(1，)，单调递减区间为(1，1)三、探究与创新13已知函数f(x)mx3nx2(m、nR，m0)，函数yf(x)的图象在点(2，f(2)处的切线与x轴平行(1)用关于m的代数式表示n；(2)求函数f(x)的单调增区间解(1)由已知条件得f(x)3mx22nx，又f(2)0，3mn0，故n3m.(2)n3m，f(x)mx33mx2，f(x)3mx26mx.令f(x)0，即3mx26mx0，当m0时，解得x0或x2，则函数f(x)的单调增区间是(，0)和(2，)；当m0时，解得0x2，则函数f(x)的单调增区间是(0,2)综上，当m0时，函数f(x)的单调增区间是(，0)和(2，)；当m0时，函数f(x)的单调增区间是(0,2).