1、第四节二次函数与幂函数命题分析预测学科核心素养本节在高考中很少单独命题，常与其他函数、不等式、方程等知识综合考查，是高考中的一个热点，主要考查二次函数的图像和性质，而对幂函数要求较低，常与指数函数、对数函数综合，比较幂值的大小，题型以选择题和填空题为主，难度中等偏下.本节通过二次函数和幂函数的图像和性质考查分类讨论思想的运用和考生的逻辑推理、数学运算核心素养.授课提示：对应学生用书第23页知识点一幂函数1.幂函数的概念一般地，形如yx（R）的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，为常数.2.5个简单的幂函数的图像与性质函数yxyx2yx3yxyx1定义域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|
2、y0y|y0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在（，0）上单调递减，在（0，）上单调递增在R上单调递增在0，）上单调递增在（，0）和（0，）上单调递减图像过定点（0，0），（1，1）（1，1） 温馨提醒 由幂函数的函数值大小求参数的范围问题，一般是借助幂函数的单调性进行求解，一定要具体问题具体分析，做到考虑问题全面周到.1.已知幂函数f（x）的图像过点（8，4），则该幂函数的解析式是（）A.f（x）xB.f（x）x2C.f（x）x1 D.f（x）x解析：设f（x）x，因为函数f（x）的图像过点（8，4），所以84，得，所以f（x）x.答案：D2.如图所示是yxa；y
3、xb；yxc在第一象限内的图像，则a，b，c的大小关系为_.解析：根据幂函数的性质可知a0，b1，0c1，故acb.答案：acb3.（易错题）已知幂函数f（x）x，若f（a1）f（102a），则a的取值范围为_.解析：由题意知解得3a5.答案：（3，5）知识点二二次函数二次函数的图像和性质f（x）ax2bxc（a0）a0a0图像定义域R值域单调性在上递减，在上递增在上递增，在上递减奇偶性b0时为偶函数，b0时既不是奇函数也不是偶函数图像特点对称轴：x；顶点： 温馨提醒 1.注意二次项系数对函数性质的影响，经常分二次项系数大于零与小于零两种情况讨论.2.一元二次不等式恒成立的条件（1）“ax2b
4、xc0（a0）恒成立”的充要条件是“a0且0”.（2）“ax2bxc0（a0）恒成立”的充要条件是“a0且0”.1.（易错题）若不等式（a2）x22（a2）x40对一切xR恒成立，则a的取值范围是（）A.（，2 B.2，2C.（2，2 D.（，2）解析：当a20，即a2时，不等式为40，恒成立，所以a2时，成立；当a20，即a2时，a满足解得2a2.综上，可知a的取值范围是（2，2.答案：C2.已知函数f（x）（m2m5）xm是幂函数，且在x（0，）时为增函数，则实数m的值是（）A.2 B.4C.3 D.2或3解析：f（x）（m2m5）xm是幂函数m2m51m2或m3.又在x（0，）上是增函数
5、，所以m3.答案：C3.已知函数f（x）x2（a1）xa在区间2，5上单调，则a的取值范围为_.解析：函数f（x）x2（a1）xa的对称轴方程为x，且f（x）在2，5上单调，2或5，解得a3或a9.a的取值范围是（，93，）.答案：（，93，）4.如图所示，若a0，b0，则函数yax2bx的大致图像是（填序号）.解析：由函数的解析式可知，图像过点（0，0），故、不正确.又a0，b0，所以二次函数图像的对称轴为x0，故正确.答案：授课提示：对应学生用书第24页题型一幂函数的图像与性质1.幂函数yf（x）的图像过点（4，2），则yf（x）的图像大致是（）解析：设幂函数为yx，因为yf（x）的图像过
6、点（4，2），所以24，解得.所以yx.C正确.答案：C2.若a，b，c，则a，b，c的大小关系是（）A.abcB.cabC.bca D.bac解析：因为yx在第一象限内是增函数，所以ab，因为y是减函数，所以ac，所以bac.答案：D3.若（a1）2（32a）2，则a的取值范围是_.解析：因为（a1）2（32a）2，又f（x）x2为偶函数，且在（0，）上单调递减，所以解得a且a1或a4，所以a的取值范围是（，1）（4，）.答案：（，1）（4，）4.已知幂函数f（x）xm22m3（mZ）为偶函数，且在区间（0，）上是单调增函数，则f（2）的值为_.答案：161.对于幂函数图像的掌握只要抓住在第
7、一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x1，y1，yx所分区域.根据0，01的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.题型二二次函数的图像与性质考法（一）二次函数的图像例1如图所示是二次函数yax2bxc（a0）图像的一部分，图像过点A（3，0），对称轴为x1.给出下面四个结论：b24ac；2ab1；abc0；5ab.其中正确的是（）A.B.C. D.解析因为题中图像与x轴交于两点，所以b24ac0，即b24ac，正确；又对称轴为x1，即1，2ab0，错误；结合图像，当x1时，y0，即abc0，错误；由对称轴为
8、x1知，b2a.又函数图像开口向下，所以a0，所以5a2a，即5ab，正确.答案B考法（二）二次函数的单调性例2函数f（x）ax2（a3）x1在区间1，）上是单调递减的，则实数a的取值范围是_.解析当a0时，f（x）3x1在1，）上单调递减，满足条件；当a0时，f（x）的对称轴为x，由f（x）在1，）上单调递减知解得3a0.综上，a的取值范围为3，0.答案3，0考法（三）二次函数中的恒成立问题例3已知函数f（x）x2x1，在区间1，1上不等式f（x）2xm恒成立，求实数m的取值范围.解析由题意可知，f（x）2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0，令g（x）x23x1m，要使g（x）0在1
9、，1上恒成立，只需使函数g（x）在1，1上的最小值大于0即可.g（x）x23x1m在1，1上单调递减，g（x）ming（1）m1，由m10得m1.因此，满足条件的实数m的取值范围是（，1）.解决二次函数图像与性质问题时应注意的三点（1）抛物线的开口方向，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论.（2）要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”（作草图），再“定量”（看图求解）.（3）由不等式恒成立求参数取值范围关键的解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域.题组突破1.已知abc0，则二次函数f（x）ax2bxc的
10、图像可能是（） 解析：A项，因为a0，0，所以b0，所以c0，而f（0）c0，故A错.B项，因为a0，所以b0.又因为abc0，所以c0，故B错.C项，因为a0，0.又因为abc0，所以c0，而f（0）c0，0，所以b0，所以c0，而f（0）c0.答案：D2.已知二次函数f（x）满足f（2x）f（2x），且f（x）在0，2上是增函数，若f（a）f（0），则实数a的取值范围是（）A.0，） B.（，0C.0，4 D.（，04，）解析：由题意可知函数f（x）的图像开口向下，对称轴为x2（如图），若f（a）f（0），从图像观察可知0a4.答案：C3.已知a是实数，函数f（x）2ax22x3在x1，1
11、上恒小于零，则实数a的取值范围为_.解析：2ax22x30在1，1上恒成立.当x0时，30，成立；当x0时，a，易知（，11，），所以当x1时，函数f（x）取最小值，所以a.综上，实数a的取值范围是.答案：二次函数应用中的核心素养（一）逻辑推理分类讨论思想在二次函数最值问题中的应用例1函数f（x）x22x在区间t，t1上的最小值为8，求实数t的值.解析二次函数f（x）x22x图像的对称轴方程为x1.当t11，即t2时，f（x）在区间t，t1上单调递减，故f（x）minf（t1）（t1）22（t1）8，解得t5或t1（舍去）；当t1t1，即2t1时，f（x）minf（1）18；当t1时，f（x）
12、在区间t，t1上单调递增，故f（x）minf（t）t22t8，解得t2或t4（舍去）.综上可知，t的值为5或2.二次函数在闭区间上的最大值和最小值可能在三个地方取到：区间的两个端点处，或对称轴处，也可以作出二次函数在该区间上的图像，由图像来判断最值.解题的关键是讨论对称轴与所给区间的相对位置关系.（二）创新应用与高数接轨的创新问题例2定义：如果函数f（x）在a，b上存在x1，x2（ax1x2b）满足f（x1）f（x2），则称函数f（x）是a，b上的“中值函数”.已知函数f（x）x3x2m是0，m上的“中值函数”，则实数m的取值范围是_.解析由题意，知f（x）x2x在0，m上存在x1，x2（0x
13、1x2m），满足f（x1）f（x2）m2m，所以方程x2xm2m在（0，m）上有两个不相等的解.令g（x）x2xm2m（0xm），则答案本题关键是利用“中值函数”的定义转化为二次方程根的分布问题，从而利用函数与方程的思想、数形结合思想求出.题组突破1.（2021承德模拟）若函数f（x）x2axa在区间0，2上的最大值为1，则实数a等于（）A.1B.1C.2 D.2解析：函数f（x）x2axa的图像为开口向上的抛物线，函数的最大值在区间的端点处取得，f（0）a，f（2）43a，或解得a1.答案：B2.设f（x）与g（x）是定义在同一区间a，b上的两个函数，若函数yf（x）g（x）在xa，b上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在a，b上是“关联函数”.若f（x）x23x4与g（x）2xm在0，3上是“关联函数”，则m的取值范围为_.解析：由题意得，函数yf（x）g（x）x23x42xmx25x4m在0，3上有两个不同的零点.令h（x）x25x4m，则即故答案为.答案：