1、第十节导数的应用命题分析预测学科核心素养从近五年的考查情况来看，本节一直是高考的重点和难点一般以基本初等函数为载体，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点问题，同时与解不等式关系最为密切，还可能与三角函数、数列等知识综合考查，一般出现在选择题和填空题的后两题以及解答题中，难度较大，复习备考的过程中应引起重视.本节通过导数研究函数的单调性、极值、最值问题，考查考生的分类讨论思想、等价转化思想以及数学运算、逻辑推理核心素养.授课提示：对应学生用书第45页知识点一利用导数研究函数的单调性1函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负关系(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间上是增函
2、数；(2)若f(x)0或f_(x)1时，f(x)k0恒成立，即k在区间(1，)上恒成立因为x1，所以01，所以k1.答案：D知识点二利用导数研究函数的极值与最值1函数的极大值在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值2函数的极小值在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点3函数的最值与导数(1)函数yf(x)在a，
3、b上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0)(2)函数yf(x)在a，b上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不小于f(x0) 温馨提醒 二级结论1对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件2若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点3极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值必明易错1极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)2极大值与极小值没有必然关系，极小值可能比极大值还大3极值一定在区间内部取得，有极值
4、的函数一定不是单调函数4f(x0)0是x0为f(x)的极值点的必要而不充分条件例如，f(x)x3，f(0)0，但x0不是极值点.1设函数f(x)ln x，则()Ax为f(x)的极大值点Bx为f(x)的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点解析：f(x)(x0)，当0x2时，f(x)0，当x2时，f(x)0，所以x2为f(x)的极小值点答案：D2如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图像，则下列判断正确的是()A在区间(2，1)上f(x)是增函数B在区间(1，3)上f(x)是减函数C在区间(4，5)上f(x)是增函数D当x2时，f(x)取到极小值答案：C3函数yx2cos
5、 x在区间上的最大值是_解析：因为y12sin x，所以当x时，y0；当x时，y0.所以当x时，ymax.答案：4(易错题)设aR，若函数yexax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是_解析：因为yexax，所以yexa.因为函数yexax有大于零的极值点，所以方程yexa0有大于零的解，因为当x0时，ex1，所以aex1.答案：(，1)第一课时利用导数研究函数的单调性授课提示：对应学生用书第46页题型一函数单调性的判断 例已知函数g(x)ln xax2(2a1)x，若a0，试讨论函数g(x)的单调性解析g(x)2ax(2a1).又函数g(x)的定义域为(0，)当a0时，令g(x)0，得x1
6、或x.若1，即a时，则当x(1，)时，g(x)0，当x时，g(x)0.所以函数g(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，)上单调递增若1，即a时，g(x)0恒成立，所以函数g(x)在(0，)上单调递增若1，即0a时，则由g(x)0，得x或0x1；由g(x)0，得1x，所以函数g(x)在(0，1)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增综上可得，当0a时，函数在(0，1)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当a时，函数在(0，)上单调递增；当a时，函数在上单调递增，在上单调递减，在(1，)上单调递增题组突破1(2021厦门模拟)函数yx2ln x的单调递减区间为()A(1，1)B(0，1C(
7、1，) D(0，2)解析：由题意知，函数的定义域为(0，)，由yx0，得0x1，所以函数的单调递减区间为(0，1答案：B2(2020高考全国卷)已知函数f(x)sin2xsin 2x.(1)讨论f(x)在区间(0，)的单调性；(2)证明：|f(x)|；(3)设nN，证明：sin2xsin22xsin24xsin22nx.解析：(1)f(x)cos x(sin xsin 2x)sin x(sin xsin 2x)2sin xcos xsin 2x2sin2xcos 2x2sin xsin 3x.当x时，f(x)0；当x时，f(x)0.所以f(x)在区间，单调递增，在区间单调递减(2)证明：因为f
8、(0)f()0，由(1)知，f(x)在区间0，的最大值为f，最小值为f.而f(x)是周期为的周期函数，故|f(x)|.(3)证明：因为(sin2xsin22xsin24xsin22nx)|sin3xsin32xsin32nx|sin x|sin2xsin32xsin32n1xsin 2nx|sin22nx|sin x|f(x)f(2x)f(2n1x)|sin22nx|f(x)f(2x)f(2n1x)|，所以sin2xsin22xsin24xsin22nx.题型二利用导数研究函数单调性的应用 函数的单调性是高考命题的重点，其应用是考查热点常见的命题角度有：(1)yf(x)与yf(x)的图像辨识；
9、(2)已知函数单调性求参数的取值范围.考法(一)yf(x)与yf(x)的图像辨识例1函数yf(x)的导函数yf(x)的图像如图所示，则函数yf(x)的图像可能是()解析设导函数yf(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导函数yf(x)的图像易得当x(，x1)(x2，x3)时，f(x)0；当x(x1，x2)(x3，)时，f(x)0(其中x10x2x3)，所以函数f(x)在(，x1)，(x2，x3)上单调递减，在(x1，x2)，(x3，)上单调递增，观察各选项，只有D选项符合答案D函数图像与其导函数图像的关系：导函数f(x)图像在x轴上方时对应的自变量的取值区间为原函数f(x)
10、图像上升部分对应的区间(递增区间)，导函数f(x)图像在x轴下方时对应的自变量的取值区间为原函数f(x)图像下降部分对应的区间(递减区间)考法(二)已知函数的单调性求参数例2已知函数f(x)ln x，g(x)ax22x，a0.(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1，4上单调递减，求a的取值范围解析(1)h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2.因为h(x)在(0，)上存在单调递减区间，所以当x(0，)时，ax20有解，即a有解令G(x)，所以只要aG(x)min即可而G(x)1，所以G(x)min1，所以
11、a1且a0，即a的取值范围为(1，0)(0，)(2)因为h(x)在1，4上单调递减，所以当x1，4时，h(x)ax20恒成立，即a恒成立，令G(x)，所以aG(x)max.因为x1，4，所以，而G(x)1，所以G(x)max(此时x4)，所以a且a0，即a的取值范围为(0，)变式探究1本例中，若函数h(x)在1，4上单调递增，求a的取值范围解析：因为h(x)在1，4上单调递增，所以当x1，4时，h(x)0恒成立，所以当x1，4时，a恒成立，又当x1，4时，1(此时x1)，所以a1，即a的取值范围是(，1变式探究2本例中，若h(x)在1，4上存在单调递减区间，求a的取值范围解析：h(x)在1，4
12、上存在单调递减区间，则h(x)0在1，4上有解，所以当x1，4时，a有解，又当x1，4时，1，所以a1，又a0，所以a的取值范围是(1，0)(0，)变式探究3本例中，若函数h(x)在1，4上不单调，求a的取值范围解析：h(x)在1，4上不单调，h(x)0在(1，4)上有解，即a1有解，令m(x)，x(1，4)，则1m(x)，实数a的取值范围为.由函数的单调性求参数的取值范围的四种方法(1)可导函数f(x)在D上单调递增(或递减)求参数范围问题，可转化为f(x)0(或f(x)0)对xD恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“”是否取到(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f
13、(x)0(或f(x)0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围(4)若已知f(x)在D上不单调，则f(x)在D上有极值点，且极值点不是D的端点题组突破1已知函数f(x)x22cos x，若f(x)是f(x)的导函数，则函数f(x)的图像大致是()解析：设g(x)f(x)2x2sin x，g(x)22cos x0，所以函数f(x)在R上单调递增答案：A2已知函数f(x)2x2ln x在区间1，2上为单调函数，求a的取值范围解析：f(x)4x
14、，若函数f(x)在区间1，2上为单调函数，即f(x)4x0或f(x)4x0，即4x0或4x0在1，2上恒成立，即4x或4x.令h(x)4x，因为函数h(x)在1，2上单调递增，所以h(2)或h(1)，即或3，解得a0或0a或a1，即a的取值范围为(，0)1，)利用导数研究函数单调性中的核心素养数学运算、逻辑推理构造函数解决不等式问题此类涉及已知f(x)与f(x)的一些关系式，比较有关函数式解决不等式的问题，可通过构造新的函数，创造条件，从而利用单调性求解1x与f(x)的综合函数例1设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的
15、x的取值范围是()A(，1)(0，1)B(1，0)(1，)C(，1)(1，0) D(0，1)(1，)解析当x0时，构造函数g(x)，则当x0时，g(x)0，故函数g(x)在(0，)上单调递减又因为f(x)为奇函数，所以g(x)为偶函数，所以g(x)在(，0)上单调递增又因为f(1)0，所以g(1)g(1)0，故当0x1时，g(x)g(1)0，故f(x)0；当x1时，g(x)g(1)0，故f(x)0.综上，使得f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0，1)答案A2ex与f(x)的综合函数例2已知f(x)(xR)有导函数，且任意xR，f(x)f(x)，nN，则有()Aenf(n)f(0)，f(n
16、)enf(0)Benf(n)f(0)，f(n)enf(0)Cenf(n)f(0)，f(n)enf(0)Denf(n)f(0)，f(n)enf(0)解析设g(x)，则g(x)0，g(x)为R上的增函数，故g(n)g(0)g(n)，即，即enf(n)f(0)，f(n)enf(0)答案A例3设a0，b0，e是自然对数的底数，则()A若ea2aeb3b，则abB若ea2aeb3b，则abC若ea2aeb3b，则abD若ea2aeb3b，则ab解析因为a0，b0，所以ea2aeb3beb2bbeb2b.对于函数yex2x(x0)，因为yex20，所以yex2x在(0，)上单调递增，因而ab成立答案A根据
17、导数关系构造函数的一些常见结构(1)对于不等式f(x)g(x)0，构造函数F(x)f(x)g(x)(2)对于不等式f(x)g(x)0，构造函数F(x)f(x)g(x)特别地，对于不等式f(x)k，构造函数F(x)f(x)kx.(3)对于不等式f(x)g(x)f(x)g(x)0，构造函数F(x)f(x)g(x)(4)对于不等式f(x)g(x)f(x)g(x)0，构造函数F(x).(5)对于不等式xf(x)nf(x)0，构造函数F(x)xnf(x)(6)对于不等式f(x)f(x)0，构造函数F(x)exf(x)(7)对于不等式f(x)kf(x)0，构造函数F(x)ekxf(x)题组突破1(2021
18、上饶模拟)对任意xR，函数yf(x)的导数都存在，若f(x)f(x)0恒成立，且a0，则下列说法正确的是()Af(a)f(0)Bf(a)f(0)Ceaf(a)f(0) Deaf(a)f(0)解析：设g(x)exf(x)，则g(x)exf(x)f(x)0，所以g(x)为R上的单调递增函数，因为a0，所以g(a)g(0)，即eaf(a)f(0)答案：D2设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f(x)，g(x)为其导函数，当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)0且g(3)0，则不等式f(x)g(x)0的解集是()A(3，0)(3，)B(3，0)(0，3)C(，3)(3，)D(，3)(0，3)解析：令h(x)f(x)g(x)，当x0时，h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)0，则h(x)在(，0)上单调递增，又f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以h(x)为奇函数，所以h(x)在(0，)上单调递增又由g(3)0，可得h(3)h(3)0，所以x3或0x3时h(x)0.答案：D