1、3.1.3函数的奇偶性第1课时奇偶性的概念学 习 目 标核 心 素 养1.理解奇函数、偶函数的定义2了解奇函数、偶函数图像的特征3掌握判断函数奇偶性的方法.1.借助奇(偶)函数的特征，培养直观想象素养2借助函数奇、偶的判断方法，培养逻辑推理素养.函数的奇偶性奇偶性偶函数奇函数条件设函数yf(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD结论f(x)f(x)f(x)f(x)图像特点关于y轴对称关于原点对称思考：具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？提示：定义域关于原点对称1下列函数是偶函数的是()AyxBy2x23Cy Dyx2，x0,1B选项C、D中函数的定义域不关于原点对称，选项A中的函数
2、是奇函数，故选B.2下列图像表示的函数具有奇偶性的是()ABCDBB选项的图像关于y轴对称，是偶函数，其余选项中的图像都不具有奇偶性3函数yf(x)，x1，a(a1)是奇函数，则a等于()A1B0 C1D无法确定C奇函数的定义域关于原点对称，a10，即a1.4若f(x)为R上的偶函数，且f(2)3，则f(2)_.3f(x)为R上的偶函数，f(2)f(2)3.函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x3x；(2)f(x)；(3)f(x)；(4)f(x)解(1)函数的定义域为R，关于原点对称又f(x)(x)3(x)(x3x)f(x)，因此函数f(x)是奇函数(2)由得x21，即
3、x1.因此函数的定义域为1,1，关于原点对称又f(1)f(1)f(1)0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数(3)函数f(x)的定义域是(，1)(1，)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数(4)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称f(x)即f(x)于是有f(x)f(x)所以f(x)为奇函数判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法：(2)图像法：1下列函数中，是偶函数的有_(填序号)f(x)x3；f(x)|x|1；f(x)；f(x)x；f(x)x2，x1,2对于，f(x)x3f(x)，则为奇函数；对于，f(x)|x|1|x|1，则为偶函数；对于，定义域为x|x0，关于原点对称，f(
4、x)f(x)，则为偶函数；对于，定义域为x|x0，关于原点对称，f(x)xf(x)，则为奇函数；对于，定义域为1,2，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数奇偶函数的图像问题【例2】已知奇函数f(x)的定义域为5,5，且在区间0,5上的图像如图所示(1)画出在区间5,0上的图像；(2)写出使f(x)0的x的取值集合解(1)因为函数f(x)是奇函数，所以yf(x)在5,5上的图像关于原点对称由yf(x)在0,5上的图像，可知它在5,0上的图像，如图所示(2)由图像知，使函数值y0的x的取值集合为(2，0)(2,5)(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题解(1)如图所
5、示(2)由(1)可知，使函数值y0的x的取值集合为(5，2)(2,5)巧用奇、偶函数的图像求解问题(1)依据：奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称.(2)求解：根据奇、偶函数图像的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图像的问题.2如图是函数f(x)在区间0，)上的图像，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图像，并说明你的作图依据解因为f(x)，所以f(x)的定义域为R.又对任意xR，都有f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数所以f(x)的图像关于y轴对称，其图像如图所示利用函数的奇偶性求值探究问题1对于定义域内的任意x，若f(x)f(x)0，则函数f(x)是否具有奇偶性
6、？若f(x)f(x)0呢？提示：由f(x)f(x)0得f(x)f(x)，f(x)为奇函数由f(x)f(x)0得f(x)f(x)，f(x)为偶函数2若f(x)是奇函数且在x0处有定义，则f(0)的值可求吗？若f(x)为偶函数呢？提示：若f(x)为奇函数，则f(0)0；若f(x)为偶函数，无法求出f(0)的值【例3】(1)若函数f(x)ax2bx3ab是偶函数，定义域为a1,2a，则a_，b_；(2)已知f(x)x7ax5bx3cx2，若f(3)3，则f(3)_.思路点拨 (1)0(2)7(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a12a，解得a.又函数f(x)x2bxb1为二次函数，结合偶函数图
7、像的特点，易得b0.(2)令g(x)x7ax5bx3cx，则g(x)是奇函数，f(3)g(3)2g(3)2，又f(3)3，g(3)5.又f(3)g(3)2，所以f(3)527.利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为a，b，根据定义域关于原点对称，利用ab0求参数.(2)解析式含参数：根据f(x)f(x)或f(x)f(x)列式，比较系数即可求解.3若f(x)(xa)(x4)为偶函数，则实数a_.4法一：f(x)(xa)(x4)x2(a4)x4a，f(x)(xa)(x4)x2(a4)x4a，两式恒相等，则a40，即a4.法二：f(x)(xa)(x4)x2(
8、a4)x4a，要使函数为偶函数，只需多项式的奇次项系数为0，即a40，则a4.法三：根据二次函数的奇偶性可知，形如f(x)ax2c的都是偶函数，因而本题只需将解析式看成是平方差公式，则a4.1奇偶性是函数“整体”性质，只有对函数f(x)定义域内的每一个值x，都有f(x)f(x)(或f(x)f(x)，才能说f(x)是奇函数(或偶函数)2函数的奇偶性是其相应图像特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用.1思考辨析(1)函数f(x)x2，x0，)是偶函数()(2)对于函数yf(x)，若存在x，使f(x)f(x)，则函数yf(x)一定是奇
9、函数()(3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数()(4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数()答案(1)(2)(3)(4)2函数f(x)|x|1是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数Bf(x)|x|1|x|1f(x)，f(x)为偶函数3已知函数f(x)ax22x是奇函数，则实数a_.0f(x)为奇函数，f(x)f(x)0，2ax20对任意xR恒成立，所以a0.4已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)x22x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图像，如图所示(1)请补充完整函数yf(x)的图像；(2)根据图像写出函数yf(x)的增区间；(3)根据图像写出使f(x)0的x的取值集合解(1)由题意作出函数图像如图：(2)据图可知，单调增区间为(1,0)，(1，)(3)据图可知，使f(x)0的x的取值集合为(2,0)(0,2)