1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。41.3独立性与条件概率的关系 事件A与B独立的充要条件当P0时，A与B独立的充要条件是PP，事实上，“A与B独立”也经常被说成“A与B互不影响”“A与B独立的充要条件是PP”，与“A与B独立的充要条件是PPP”矛盾吗？提示：不矛盾由条件概率公式P，当PPP时，有PP.1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)若事件A与事件B相互独立，且P(A)0时，有P(B|A)P(B).()(2)若事件A与B相互独立，则B与相互独立，也相互独立()(3)如果两个事件是对立事件，那么它
2、们一定是相互独立事件()提示：(1).(2).事件B与不是相互独立事件，是对立事件(3).相互独立事件是指事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，是以它们能够同时发生为前提；而对立事件首先应是互斥事件，是指不可能同时发生的两个事件2一个不透明的口袋中有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外完全相同，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1与A2是()A相互独立事件 B不相互独立事件C互斥事件 D对立事件【解析】选A.事件A1是否发生对事件A2发生的概率没有影响，故A1与A2是相互独立事件3(教材二次开发：例题改编)某人提出一个问题，甲先答，答
3、对的概率为0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为0.5，则问题由乙答对的概率为()A0.2 B0.8 C0.4 D0.3【解析】选D.事件“问题由乙答对”的含义是甲答错与乙答对同时发生了，由相互独立事件同时发生的概率可知，概率为P0.60.50.3.类型一相互独立性的判断(数学抽象、逻辑推理)1甲、乙两名射击手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B()A相互独立但不互斥 B互斥但不相互独立C相互独立且互斥 D既不相互独立也不互斥【解析】选A.对同一目标射击，甲、乙两射击手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射
4、击手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件2下列事件中，A，B是相互独立事件的是()A一枚硬币掷两次，A“第一次为正面”，B“第二次为反面”B袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A“第一次摸到白球”，B“第二次摸到白球”C掷一枚骰子，A“出现点数为奇数”，B“出现点数为偶数”DA“人能活到20岁”，B“人能活到50岁”【解析】选A.把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是独立事件；B中是不放回摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立；D是条件概率，事件B受事件A的影响3判断下列各对事件是否
5、是相互独立事件：(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”【解析】(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出
6、的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A2，4，6，B3，6，AB6，所以P(A)，P(B)，P(AB).所以P(AB)P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立三种方法判断两事件是否具有独立性(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响(2)公式法：检验P(AB)P(A)P(B)是否成立(3)条件概率法：当P(A)0时，可用P(B|A)P(B)判断【补偿训练】 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A一个家庭中既有男孩又有女孩
7、，B一个家庭中最多有一个女孩对下述两种情形，讨论A与B的独立性(1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩【解析】(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，它有4个基本事件，由等可能性知概率各为.这时A(男，女)，(女，男)，B(男，男)，(男，女)，(女，男)，AB(男，女)，(女，男)于是P(A)，P(B)，P(AB).由此可知P(AB)P(A)P(B).所以事件A，B不相互独立(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女
8、，男)，(女，女，女)由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件于是P(A)，P(B)，P(AB)，显然有P(AB)P(A)P(B)成立从而事件A与B是相互独立的类型二相互独立事件同时发生的概率(逻辑推理、数学抽象)【典例】面对新型冠状病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A，B，C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是，.求：(1)他们都研制出疫苗的概率；(2)他们都失败的概率；(3)他们能够研制出疫苗的概率【思路导引】【解析】令事件A，B，C分别表示A，B，C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗
9、，依题意可知，事件A，B，C相互独立，且P(A)，P(B)，P(C).(1)他们都研制出疫苗，即事件A，B，C同时发生，故P(ABC)P(A)P(B)P(C).(2)他们都失败即事件 ， , 同时发生故P( )P()P()P()(1P(A)(1P(B)(1P(C)(1)(1)(1).(3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率P1P( )1.若本例中条件不变，求：(1)只有一个机构研制出疫苗的概率；(2)至多有一个机构研制出疫苗的概率【解析】(1)只有一个机构研制出疫苗，该事件为(A B C)，故所求事件的概率为PP( C BA )P()P(
10、)P(C)P()P(B)P()P(A)P()P()(1P(A)(1P(B)P(C)(1P(A)P(B)(1P(C)P(A)(1P(B)(1P(C)(1)(1)(1)(1)(1)(1).(2)至多有一个机构研制出该疫苗，即事件( A B C)发生，故所求事件的概率为P( A B C)P( )P(A )P( B)P( C)P()P()P()P(A)P()P()P()P(B)P()P()P()P(C).求相互独立事件同时发生的概率的步骤：(1)首先确定各事件之间是相互独立的；(2)确定这些事件可以同时发生；(3)求出每个事件发生的概率，再求其积设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买
11、乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的求：(1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率；(2)进入商场的1位顾客只购买甲商品的概率【解析】记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则P(A)0.5；记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P(B)0.6；记C表示事件“进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买”；记D表示事件“进入商场的1位顾客只购买甲商品”(1)易知CAB，则P(C)P(AB)P(A)P(B)0.50.60.3.(2)易知D(A )，则P(D)P(A )P(A)P()0.50.40.2.类型三相互独
12、立事件概率的综合问题(逻辑推理、数学抽象)相互独立事件与互斥事件【典例】掷三枚骰子，试求：(1)没有一枚骰子出现1点或6点的概率；(2)恰好有一枚骰子出现1点或6点的概率【思路导引】利用相互独立事件与互斥事件的概率公式解决【解析】记“第一、二、三枚骰子出现1点或6点”分别为事件A，B，C，由已知A，B，C是相互独立事件，且P(A)P(B)P(C).(1)没有一枚骰子出现1点或6点，也就是事件A，B，C全不发生，即事件 ，所以所求概率为P( )P()P()P().(2)恰好有一枚骰子出现1点或6点，即A，B，C恰有一个发生，用符号表示为事件A B C，所求概率为P(A B C)P(A )P( B
13、 )P( C)P(A)P()P()P()P(B)P()P()P()P(C).本例条件不变，求恰有两枚骰子出现1点或6点的概率【解析】记“第一、二、三枚骰子出现1点或6点”分别为事件A，B，C，由已知A，B，C是相互独立事件，且P(A)P(B)P(C).恰好有两枚骰子出现1点或6点，即A，B，C恰有两个发生，用符号表示为事件A B AC BC，所求概率为P(A B AC BC)P(A B )P(AC)P(BC)P(A)P(B)P()P(A)P()P(C)P()P(B)P(C).相互独立事件与对立事件【典例】小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，
14、0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率【思路导引】利用相互独立事件与对立事件的概率公式求解【解析】用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则P(A)0.8，P(B)0.7，P(C)0.9，所以P()0.2，P()0.3，P()0.1.(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P1P(BC)P(AC)P(AB)P()P(B)P(C)P(A)P()P(C)P(A)P(B)P()0.20.70.90.80.30.90.80.70.10.398.(2)三列火车至少有一列
15、正点到达的概率为P21P( )1P()P()P()10.20.30.10.994.相互独立事件概率的综合问题的解题策略(1)正难则反灵活应用对立事件的概率关系(P(A)P()1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法(2)化繁为简将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系“所求事件”分几类(考虑加法公式转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式转化为相互独立事件).1在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和.在同一时间内，求：(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率；(2)至少有一个气象台预报准确的概率【解析】记“甲气象台预报天气准确”为事
16、件A，“乙气象台预报天气准确”为事件B.(1)P(AB)P(A)P(B).(2)至少有一个气象台预报准确的概率为P1P()1P()P()1.2田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，则求：(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出现几人合格的概率最大【解析】记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)，P(B)，P(C).设恰有k人合格的概率为Pk(k0，1，2，3).(1)三人都合格的概率P3
17、P(ABC)P(A)P(B)P(C).(2)三人都不合格的概率P0()P()P()P().(3)恰有两人合格的概率：P2P(AB)P(AC)P(BC).恰有一人合格的概率：P11P0P2P31.综合(1)，(2)可知P1最大所以出现恰有一人合格的概率最大1已知事件A，B相互独立，且P0.4，P0.5，则P()A0.6 B0.5 C0.4 D0.1【解析】选C.因为事件A，B相互独立，所以PP0.4.2甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲，乙两人能荣获一等奖的概率分别为和.甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获一等奖的概率为()A B C D【解析】选D.由题意，恰
18、有一人获得一等奖就是甲获奖乙不获奖或甲不获奖乙获奖，则其概率为.3明天上午李明要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是_【解析】设两个闹钟至少有一个准时响的事件为A，则P(A)1(10.80)(10.90)10.200.100.98.答案：0.984甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是_【解析】两班各自派出代表是相互独立事件，设事件A，B分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事件AB
19、为两班派出的都是三好学生，则P(AB)P(A)P(B).答案：5(教材二次开发：例题改编)某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案方案一：考三门课程，至少有两门及格为考试通过方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响求：(1)该应聘者用方案一考试通过的概率；(2)该应聘者用方案二考试通过的概率【解析】记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C，则P(A)0.5，P(B)0.6，P(C)0.9.(1)应聘者用方案一考试通过的概率为P1P(AB)P(BC)P(AC)P(ABC)0.50.60.10.50.60.90.50.40.90.50.60.90.75.(2)应聘者用方案二考试通过的概率为P2P(AB)P(BC)P(AC)0.50.60.60.90.50.90.43.关闭Word文档返回原板块