1、2016-2017学年四川省眉山中学高二（下）3月月考数学试卷（理科）一、选择题（共60分）1若函数y=f（x）在x=x0处的导数为2，则=（）A1B2C1D22一个总体分为A，B，C三层，用分层抽样方法从总体中抽取容量为50的样本，已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体容量为（）A150B200C500D6003对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 （）A46，45，56B46，45，53C47，45，56D45，47，534设函数y=f（x）在定义域内的导函数为y=f（x），y=f（x）的图象如图1所示，则y=f（x
2、）的图象可能为（）ABCD5登山族为了了解某山高y（km）与气温x（C）之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：气温x（C）1813101山高y（km）24343864由表中数据，得到线性回归方程，由此请估计出山高为72（km）处气温的度数为（）A10B8C4D66采用系系统抽样方法从480人中抽取 16人做问卷调查，为此将他们随机编号为1、2、480，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8抽到的16人中，编号落人区间1，160的人做问卷A，编号落入区间161，320的人做问卷B，其余的人做问卷C，则被抽到的人中，做问卷B的人数为（）A4B5C6D77下列运算正
3、确的个数为（）（x2cosx）=2xsinx（3x）=3xlog3eA0B1C2D38已知总体中各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，15，18，20（a，bN*），且总体的中位数为10，若要使该总体的方差最小，则a，b的取值分别是（）A9，11B10，10C8，10D10，119用茎叶图记录甲、乙两人在5次体能综合测评中的成绩（成绩为两位整数），现乙还有一次不小于90分的成绩未记录则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）ABCD10已知点P在函数图象上，则函数f（x）在点P处切线倾斜角的取值范围（）ABCD11已知函数对区间（1，2）上任意x1，x2（x1x2），都有，则a
4、的取值范围为（）ABCD（，1）（0，+）12定义在R上的函数f（x）满足f（x）1f（x），其中f（x）是f（x）的导函数，e为自然对数的底数，则下列正确的是（）Aef（1）ee2f（2）e2Be2015fe2016Ce2f（2）+e2ef（1）+eDe2016f+e2015二、填空题（共20分）.13已知函数y=f（x）及其导函数y=f（x）的图象如图所示，则曲线y=f（x）在点P（2，0）处的切线方程是14已知函数f（x）满足满足f（x）=f（1）ex1f（0）x+x2；则f（x）的解析式为15已知圆C：x2+y2=18，直线l：4x+3y=25，则圆C上任一点到直线l的距离小于2的概率
5、为16已知f（x）为定义在（0，+）上的可导函数，且f（x）xf（x），则不等式的解集为三、解答题（共70分）.17利用导数的定义，求f（x）=在x=1处的导数18为了培养学生的安全意识，某中学举行了一次安全自救的知识竞赛活动，共有800名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，得到如下的频率分布表：序号（i）分组（分数）组中值（Gi）频数（人数）频率（Fi）160，70）650.10270，80）7520380，90）850.20490，100）95合计501请你根据频率分布表解答下列问题：（1）求出频率分布表中、处的值
6、；（2）在上述统计数据的分析中，有一项指标计算的程序框图如图所示，则该程序功能是什么？求输出S的值19学校从参加高一年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下：60，75），2；75，90），3；90，105），14；105，120），15；120，135），12；135，150，4（1）估计成绩的众数与中位数；（2）为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩在135，150的学生中选两位同学，共同帮助成绩在60，75）中的任意一位同学，已知甲同学的成绩为62分，乙同学的成绩为140分，求甲
7、、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率20已知关于x的一元二次函数f（x）=ax24bx+1（1）设集合P=1，2，3和Q=1，1，2，3，4，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间1，+）上是增函数的概率；（2）设点（a，b）是区域内的随机点，记A=y=f（x）有两个零点，其中一个大于1，另一个小于1，求事件A发生的概率21已知函数（1）若函数y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；（2）若a0，求函数y=f（x）的单调增区间22已知函数f（x）=sinx，g（x）=exf（x），其中e为自然对数的底数（1）求曲线y=g（x）在点（0，g（0）处的切
8、线方程；（2）若对任意，不等式g（x）xf（x）+m恒成立，求实数m的取值范围；（3）试探究当时，方程g（x）=xf（x）的解的个数，并说明理由2016-2017学年四川省眉山中学高二（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共60分）1若函数y=f（x）在x=x0处的导数为2，则=（）A1B2C1D2【考点】63：导数的运算【分析】由题意可知=，利用导数的定义，即可求得=f（x0）【解答】解： =f（x0），由函数y=f（x）在x=x0处的导数为2，则f（x0）=2，=f（x0）=（2）=1，故选A2一个总体分为A，B，C三层，用分层抽样方法从总体中抽取容量为50的样本，已
9、知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体容量为（）A150B200C500D600【考点】B3：分层抽样方法【分析】根据抽样方法的特征是每个个体被抽到的概率相等，利用样本容量，求出总体是多少即可【解答】解：根据分层抽样的特征，每个个体被抽到的概率都相等，所以总体中的个体的个数为=600故选：D3对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 （）A46，45，56B46，45，53C47，45，56D45，47，53【考点】BA：茎叶图；BB：众数、中位数、平均数；BC：极差、方差与标准差【分析】直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数
10、、极差，即可【解答】解：由题意可知茎叶图共有30个数值，所以中位数为第15和16个数的平均值： =46众数是45，极差为：6812=56故选：A4设函数y=f（x）在定义域内的导函数为y=f（x），y=f（x）的图象如图1所示，则y=f（x）的图象可能为（）ABCD【考点】6A：函数的单调性与导数的关系【分析】先从f（x）的图象判断出f（x）的单调性，根据函数的单调性与导函数的符号的关系判断出导函数的符号，判断出导函数的图象【解答】解：由f（x）的图象判断出f（x）在区间（，0）上递增；在（0，+）上先增再减再增在区间（，0）上f（x）0，在（0，+）上先有f（x）0再有f（x）0再有f（x）
11、0故选D5登山族为了了解某山高y（km）与气温x（C）之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：气温x（C）1813101山高y（km）24343864由表中数据，得到线性回归方程，由此请估计出山高为72（km）处气温的度数为（）A10B8C4D6【考点】BK：线性回归方程【分析】求出，代入回归方程，求出a，代入，将y=72代入可求得x的估计值【解答】解：由题意，代入到线性回归方程，可得a=60，y=2x+60，由2x+60=72，可得x=6故选：D6采用系系统抽样方法从480人中抽取 16人做问卷调查，为此将他们随机编号为1、2、480，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法
12、抽到的号码为8抽到的16人中，编号落人区间1，160的人做问卷A，编号落入区间161，320的人做问卷B，其余的人做问卷C，则被抽到的人中，做问卷B的人数为（）A4B5C6D7【考点】B4：系统抽样方法【分析】由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为an=8+（n1）30，由161an320 求得正整数n的个数，即为所求【解答】解：由48016=30，故由题意可得抽到的号码构成以8为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为an=8+30（n1）=30n22由 16130n22320 解得 6.1n11.4再由n为正整数可得 7n11，
13、且 nz，故做问卷B的人数为5，故选B7下列运算正确的个数为（）（x2cosx）=2xsinx（3x）=3xlog3eA0B1C2D3【考点】63：导数的运算【分析】运用导数的求导公式对各运算检验即可【解答】解：（x2cosx）=2xcosxx2sinx；（3x）=3xln3；应该为（lgx）=应该为；个正确的个数为0；故选A8已知总体中各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，15，18，20（a，bN*），且总体的中位数为10，若要使该总体的方差最小，则a，b的取值分别是（）A9，11B10，10C8，10D10，11【考点】BC：极差、方差与标准差【分析】由已知得a+b=20
14、，从而求出这组数据的平均数是10，由此能求出要使该总体的方差最小的a，b【解答】解：个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，15，18，20，且总体的中位数为10，a+b=20，这组数据的平均数是2+3+3+7+a+b+12+15+18+2010=10，要使该总体的方差最小，a=10，b=10，故选：B9用茎叶图记录甲、乙两人在5次体能综合测评中的成绩（成绩为两位整数），现乙还有一次不小于90分的成绩未记录则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）ABCD【考点】BA：茎叶图【分析】由已知的茎叶图，求出甲、乙两人的平均成绩，然后求出甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率，得到答案【解答
15、】解：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩：（88+89+90+91+92）=90设污损数字为x则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+x，则乙的平均成绩：（83+83+87+99+90+x）=88.4+，当x=9，甲的平均数乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，当x=8，甲的平均数=乙的平均数，即乙的平均成绩不小于均甲的平均成绩的概率为，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为1=故选C10已知点P在函数图象上，则函数f（x）在点P处切线倾斜角的取值范围（）ABCD【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切
16、线方程【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由基本不等式可得切线的斜率的范围，由直线的斜率公式，结合正切函数的图象和直线的倾斜角的范围，即可得到所求范围【解答】解：函数的导数为f（x）=+（2x+1），由2x+10，可得+（2x+1）1，当且仅当2x+1=4，即x=时，取得最小值1即有曲线在点（x，y）处切线的斜率k1，即有tan1（为倾斜角），则有故选A11已知函数对区间（1，2）上任意x1，x2（x1x2），都有，则a的取值范围为（）ABCD（，1）（0，+）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性【分析】由题意可得f（x）0在x（1，2）上恒成立，即x22axa0成立，令g（x）=x22
17、axa，得到关于a的不等式组，即可得出结论【解答】解：f（x）=x2a，f（x）0在x（1，2）上恒成立，即x2a0，在x（1，2）上恒成立，即x22axa0，令g（x）=x22axa，则，即，解得a，故选：B12定义在R上的函数f（x）满足f（x）1f（x），其中f（x）是f（x）的导函数，e为自然对数的底数，则下列正确的是（）Aef（1）ee2f（2）e2Be2015fe2016Ce2f（2）+e2ef（1）+eDe2016f+e2015【考点】6B：利用导数研究函数的单调性【分析】根据选项中的不等式的形式可以想到构造一函数：设g（x）=exf（x）ex，求导数，根据条件可以判断g（x）0
18、，从而得出g（x）在R上单调递增，从而便可判断A，B错误；而同理构造函数：h（x）=exf（x）+ex，通过求导数，便可判断出h（x）在R上单调递增，这样便可判断选项C，D的正误，从而找出正确答案【解答】解：设g（x）=exf（x）ex，g（x）=exf（x）+exf（x）ex=exf（x）+f（x）1；f（x）1f（x）；f（x）+f（x）10；g（x）0；g（x）在R上是增函数；g（1）g（2），即ef（1）ee2f（2）e2，A错误；g，B错误；同理，设h（x）=exf（x）+ex，由g（x）0得，h（x）=exf（x）+exf（x）+ex0；h（x）在R上单调递增；h（2）h（1），h
19、，C正确故选：C二、填空题（共20分）.13已知函数y=f（x）及其导函数y=f（x）的图象如图所示，则曲线y=f（x）在点P（2，0）处的切线方程是xy2=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】利用导函数图象，可得切线的斜率，从而可得切线的方程【解答】解：由题意，f（2）=1，曲线y=f（x）在点P（2，0）处的切线方程是y0=x2，即xy2=0故答案为：xy2=014已知函数f（x）满足满足f（x）=f（1）ex1f（0）x+x2；则f（x）的解析式为f（x）=【考点】63：导数的运算；36：函数解析式的求解及常用方法【分析】把给出的函数求导，在导函数中取x=1可求出f（0
20、）=1，在给出的等式中，取x=0，利用f（0）=1可求f（1），则函数解析式可求【解答】解：由f（x）=f（1）ex1f（0）x+x2，得：f（x）=f（1）ex1f（0）+x，令x=1得：f（0）=1；在f（x）=f（1）ex1f（0）x+x2中，取x=0，得f（0）=f（1）e1=1，f（1）=e所以f（x）的解析式为故答案为15已知圆C：x2+y2=18，直线l：4x+3y=25，则圆C上任一点到直线l的距离小于2的概率为【考点】CF：几何概型【分析】试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，根据题意做出符合条件的弧长对应的圆心角是60，根据几何概型概率公式
21、得到结果【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，满足条件的事件是到直线l的距离小于2，过圆心做一条直线交直线l与一点，圆心到直线的距离是=5，在这条垂直于直线l的半径上找到圆心的距离为3的点做半径的垂线，根据弦心距，半径，弦长之间组成的直角三角形得到符合条件的弧长对应的圆心角是90根据几何概型的概率公式得到P=故答案为：16已知f（x）为定义在（0，+）上的可导函数，且f（x）xf（x），则不等式的解集为x|0x1【考点】6B：利用导数研究函数的单调性【分析】由已知当x0时，总有f（x）xf（x）成立，可判断函数g（x）=
22、为减函数，而不等式，由此得到不等式继而求出答案【解答】解：设g（x）=，则g（x）=，f（x）xf（x），xf（x）f（x）0，g（x）0，g（x）在（0，+）为减函数，x0，0x1故答案为：x|0x1三、解答题（共70分）.17利用导数的定义，求f（x）=在x=1处的导数【考点】64：导数的加法与减法法则【分析】直接利用导数的定义求函数f（x）=在x=1处的导数值【解答】解：y=f（1+x）f（1）=，=，f（1）=18为了培养学生的安全意识，某中学举行了一次安全自救的知识竞赛活动，共有800名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100
23、分）进行统计，得到如下的频率分布表：序号（i）分组（分数）组中值（Gi）频数（人数）频率（Fi）160，70）650.10270，80）7520380，90）850.20490，100）95合计501请你根据频率分布表解答下列问题：（1）求出频率分布表中、处的值；（2）在上述统计数据的分析中，有一项指标计算的程序框图如图所示，则该程序功能是什么？求输出S的值【考点】EF：程序框图【分析】（1）由分布表的频数和频率的关系逐步求解可得；（2）可得程序的功能是求平均数，由表中数据计算可得【解答】解：（1）由分布表可得频数为50，故的数值为500.1=5，中的值为=0.40，中的值为500.2=10，
24、中的值为50（5+20+10）=15，中的值为=0.30；（2）该程序的功能是求平均数，S=650.10+750.40+850.20+950.30=82，800名学生的平均分为82分19学校从参加高一年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下：60，75），2；75，90），3；90，105），14；105，120），15；120，135），12；135，150，4（1）估计成绩的众数与中位数；（2）为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩在135，150的学生中选两位同学，共同帮助成绩在
25、60，75）中的任意一位同学，已知甲同学的成绩为62分，乙同学的成绩为140分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率【考点】CB：古典概型及其概率计算公式【分析】（1）利用频数统计结果能估计成绩的众数和中位数（2）成绩在135，150的四名学生编号为A1，A2，A3，乙，成绩在60，75）的两名学生的编号为B，甲，从A1，A2，A3，利用列举法能求出甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率【解答】解：（1）数学成绩分组及各组频数如下：60，75），2；75，90），3；90，105），14；105，120），15；120，135），12；135，150，4估计成绩的众数为： =112.5，设
26、中位数为x，则0.04+0.06+0.28+（x105）=0.5，解得x=111（2）成绩在135，150的四名学生编号为A1，A2，A3，乙，成绩在60，75）的两名学生的编号为B，甲，从A1，A2，A3，乙选两名学生记为x，y，从B，甲选一名，记为z，则基本事件为：A1，A2，甲，A1，A3，甲，A1，乙，甲，A2，A3，甲，A2，乙，甲，A3，乙，甲，A1，A2，B，A1，A3，B，A1，乙，B，A2，A3，B，A2，乙，B，A3，乙，B，基本事件总数为12，设E为事件“甲、乙两同学恰好被安排在同一小组”，则事件E包含的基本事件有：A1，乙，甲，A2，乙，甲，A3，乙，甲，甲、乙两同学恰
27、好被安排在同一小组的概率P（E）=20已知关于x的一元二次函数f（x）=ax24bx+1（1）设集合P=1，2，3和Q=1，1，2，3，4，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间1，+）上是增函数的概率；（2）设点（a，b）是区域内的随机点，记A=y=f（x）有两个零点，其中一个大于1，另一个小于1，求事件A发生的概率【考点】CF：几何概型；CB：古典概型及其概率计算公式【分析】（1）确定基本事件总数，求出函数y=f（x）在区间1，+）上是增函数对应的事件数，利用古典概型概率的计算公式，即可得到结论；（2）以面积为测度，计算试验的全部结果所构成的区域的面积及事件A构
28、成的区域的面积，利用公式可得结论【解答】解：（1）函数f（x）=ax24bx+1的图象的对称轴为，要使f（x）=ax24bx+1在区间1，+）上为增函数，当且仅当a0且若a=1则b=1，若a=2则b=1，1若a=3则b=1，1记B=函数y=f（x）在区间1，+）上是增函数，则事件B包含基本事件的个数是1+2+2=5，（2）依条件可知试验的全部结果所构成的区域为，其面积事件A构成的区域：由，得交点坐标为，事件A发生的概率为21已知函数（1）若函数y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；（2）若a0，求函数y=f（x）的单调增区间【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导
29、数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）先求出函数的导数，再根据导数的几何意义可得f（1）=f（3）求出a即可（2）根据函数的单调性与导数的关系可知令f（x）0可得到增区间，令f（x）0可得到减区间但要注意前提是x0【解答】解：函数f（x）=ax2（2a+1）x+2lnx （aR）定义域为（0，+）f（x）=ax（2a+1）+（x0）（1）曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行f（1）=f（3）a=；（2）f（x）=（x0）当0a时，2，在区间（0，2）和（，+） 上，f（x）0；在区间（2，） 上f（x）0，故f（x）的单调递增区间是（0，2）和（，+），单调递减区间是（2，）当a=
30、时，f（x）=，故f（x）的单调递增区间是（0，+）当a时，02，在区间（0，） 和（2，+）上，f（x）0；在区间（，2）上f（x）0，故f（x）的单调递增区间是（0，） 和（2，+），单调递减区间是（，2）22已知函数f（x）=sinx，g（x）=exf（x），其中e为自然对数的底数（1）求曲线y=g（x）在点（0，g（0）处的切线方程；（2）若对任意，不等式g（x）xf（x）+m恒成立，求实数m的取值范围；（3）试探究当时，方程g（x）=xf（x）的解的个数，并说明理由【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数y=g（x）的
31、导函数，得到函数在点（0，g（0）处的导数值，再求得g（0），然后利用直线方程的点斜式得切线方程；（2）对任意，不等式g（x）xf（x）+m恒成立，等价于g（x）xf（x）minm，构造函数h（x）=g（x）xf（x），利用导数求出函数的最值，问题得以解决（3）问题等价于m（x）=g（x）xf（x）与x轴交点的个数，利用导数和函数的零点存在定理即可判断【解答】解：（1）f（x）=sinx，g（x）=exf（x）=excosx，g（x）=excosxexsinx=ex（cosxsinx）g（0）=e0（cos0sin0）=1，又g（0）=e0cos0=1，曲线y=g（x）在点（0，g（0）处的切
32、线方程为y=x+1；（2）对任意，不等式g（x）xf（x）+m恒成立，等价于g（x）xf（x）m在恒成立，等价于g（x）xf（x）minm，令h（x）=g（x）xf（x）=excosxxsinx，h（x）=excosxexsinxsinxxcosxcosx0，sinx0，h（x）0，在，0上恒成立，h（x）在，0上为增函数，h（x）min=h（）=，m故实数m的取值范围是（，；（3）当时，方程g（x）=xf（x）的解的个数等价于方程g（x）xf（x）=0的解得个数等价于m（x）=g（x）xf（x）与x轴交点的个数，令m（x）=g（x）xf（x），m（x）=excosxexsinxsinxxcosx=ex（cosx+sinx）sinxxcosx，x，cosxsinx0，xcosx0，sinx0，m（x）0，m（x）在，为减函数，m（）=（）0，m（）=0，由零点存在定理可得m（x）在，上有且仅有一个零点，即方程g（x）=xf（x）在，上有且仅有一个解2017年5月26日