1、专题检测（十三） 概 率A组“633”考点落实练一、选择题1.(2019全国卷)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A.B.C. D.解析：选D设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示.由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“”的情况)共有12种，故所求概率为.故选D.2.已知定义在区间3，3上的函数f(x)2xm满足f(2)6，在3，3上任取一个实数x，则使得f(x)的值不小于4的概率为()A. B.C. D.解析：选Bf(2)6，22m6，解得m2.由f(x)4，得2x24，
2、即x1，而x3，3，故根据几何概型的概率计算公式，得f(x)的值不小于4的概率P.故选B.3.(2019广东六校第一次联考)在区间，上随机取两个实数a，b，记向量m(a，4b)，n(4a，b)，则mn42的概率为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选B在区间，上随机取两个实数a，b，则点(a，b)在如图所示的正方形内部及其边界上.因为mn4a24b242，所以a2b22，满足条件的点(a，b)在以原点为圆心，为半径的圆外部(含边界)，且在正方形内(含边界)，如图中阴影部分所示，所以mn42的概率P1，故选B.4.(2019成都第一次诊断性检测)齐王有上等、中等、下等马各一匹；田忌也有上等、中
3、等、下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜的概率为()A. B.C. D.解析：选C将齐王的上等、中等、下等马分别记为a1，a2，a3，田忌的上等、中等、下等马分别记为b1，b2，b3，则从双方的马匹中随机各选一匹进行比赛，其对阵情况有a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，共9种，其中齐王的马获胜的对阵情况有a1b1，a1b2，a1b3，a2b2，a2b3，a3b3
4、，共6种，所以齐王的马获胜的概率P，故选C.5.从4名男生和2名女生中任选3人参加某项活动，则所选的3人中女生人数不超过1的概率是()A.0.8B.0.6C.0.4 D.0.2解析：选A设事件Q为“所选3人中女生人数不超过1”，事件M为“所选3人中女生人数为1”，事件N为“所选3人中女生人数为0”，则事件M，N是互斥事件.4名男生分别记为1，2，3，4；2名女生分别记为a，b.从4名男生和2名女生中任选3人有20种不同的结果，分别为1，2，3，1，2，4，1，2，a，1，2，b，1，3，4，1，3，a，1，3，b，1，4，a，1，4，b，1，a，b，2，3，4，2，3，a，2，3，b，2，4，
5、a，2，4，b，2，a，b，3，4，a，3，4，b，3，a，b，4，a，b.事件M所含的基本事件分别为1，2，a，1，2，b，1，3，a，1，3，b，1，4，a，1，4，b，2，3，a，2，3，b，2，4，a，2，4，b，3，4，a，3，4，b，共12个，所以P(M)；事件N所含的基本事件分别为1，2，3，1，2，4，1，3，4，2，3，4，共4个，所以P(N)；所以事件Q的概率为P(Q)P(M)P(N)0.8，故选A.6.如图(1)所示的风车是一种用纸折成的玩具.它用高粱秆、胶泥瓣儿和彩纸制成，是老北京的象征，百姓称它吉祥轮.风车现已成为北京春节庙会和节俗活动的文化标志物之一.图(2)是用8
6、个等腰直角三角形组成的风车平面示意图，若在示意图内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A. B.C. D.解析：选B设白色的等腰直角三角形的斜边长为2，则白色的等腰直角三角形直角边的长为，所以白色部分的面积为S144，易知阴影部分中的等腰直角三角形的腰长为1，所以阴影部分的面积为S24112，由几何概型的概率公式，可得此点取自阴影部分的概率为P.二、填空题7.一个三位自然数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当其中两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213，134等).若a，b，c1，2，3，4，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是_.解析：由1
7、，2，3组成的三位自然数可能为123，132，213，231，312，321，共6个；同理，由1，2，4组成的三位自然数有6个，由1，3，4组成的三位自然数有6个，由2，3，4组成的三位自然数有6个，共有666624个三位自然数.由1，2，3或1，3，4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个，所以三位数为“有缘数”的概率为.答案：8.甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲、乙的平均成绩分别为x甲，x乙，则x甲x乙的概率是_.解析：设被污损的数字为x，由茎叶图知x乙90，x甲89，污损处可取数字0，1，2，9，共10种，而x甲x乙时，8990，xN，污损处对应的
8、数字有6，7，8，9，共4种，故x甲x乙的概率为.答案：9.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，在正方体内随机取一点M，则点M落在三棱锥B1A1BC1内的概率为_.解析：因为正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，所以三棱锥B1A1BC1的体积aaaa3，正方体ABCDA1B1C1D1的体积为a3，所以在正方体内随机取一点M，则点M落在三棱锥B1A1BC1内的概率为.答案：三、解答题10.(2019天津高考)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72，108，12
9、0人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“”表示享受，“”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.员工项目 ABCDEF子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.解：(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6910，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中
10、、青员工中分别抽取6人、9人、10人.(2)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为A，B，A，C，A，D，A，E，A，F，B，C，B，D，B，E，B，F，C，D，C，E，C，F，D，E，D，F，E，F，共15种.由表格知，符合题意的所有结果为A，B，A，D，A，E，A，F，B，D，B，E，B，F，C，E，C，F，D，F，E，F，共11种.所以事件M发生的概率P(M).11.(2019安徽五校联盟第二次质检)一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量(单位：辆)如表：A类轿车B类轿车C类轿车舒适型100150z标准型300450600按类用分层抽样的方法从
11、这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆.(1)求z的值；(2)用分层抽样的方法从C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数xi(1i8，iN)，设样本平均数为x，求|xix|0.5的概率.解：(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得，所以n2 000，则z2 000(100300)(150450)600400.(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车
12、，由题意得，得a2，所以抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车.用A1，A2分别表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3分别表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，至少有1辆舒适型轿车”.从该样本中任取2辆包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个，其中事件E包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个.故P(E)，即所求的概率为.(3
13、)样本平均数x(9.48.69.29.68.79.39.08.2)9.设D表示事件“从样本中任取一个数xi(1i8，iN)，|xix|0.5”，则从样本中任取一个数有8个基本事件，事件D包括的基本事件有9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个.所以P(D)，即所求的概率为.12.已知二次函数f(x)ax24bx2.(1)任取a1，2，3，b1，1，2，3，4，记“f(x)在区间1，)上是增函数”为事件A，求A发生的概率.(2)任取(a，b)(a，b)|a4b60，a0，b0，记“关于x的方程f(x)0有一个大于1的根和一个小于1的根”为事件B，求B发生的概率.解：(1)因为a有3
14、种取法，b有5种取法，则对应的函数有3515个.因为函数f(x)的图象关于直线x对称，若事件A发生，则a0且1.数对(a，b)的取值为(1，1)，(2，1)，(2，1)，(3，1)，(3，1)共5种.所以P(A).(2)集合(a，b)|a4b60，a0，b0对应的平面区域为RtAOB，如图，其中点A(6，0)，B，则AOB的面积为6.若事件B发生，则f(1)0，即a4b20.所以事件B对应的平面区域为BCD.由得交点坐标为D(2，1).又C，则BCD的面积为21.所以P(B).B组大题专攻强化练1.为了从某校甲、乙两名学生中选拔出一名学生参加全国中学生奥林匹克数学竞赛，现对这两名学生以往的若干
15、次数学竞赛成绩进行分析，数据如下：(1)请你从这两名学生的数学成绩的平均水平和稳定性角度进行分析，判断应选择哪名学生参加竞赛；(2)请你通过该组数据中甲、乙两名学生的数学成绩在xs与xs之间的概率大小进行选择，请给出你的选择结果；(3)按照第(1)问的选取标准，为了迎接竞赛，学校决定对所选学生以往的若干次数学竞赛试卷进行分析，每位老师负责分析其中的两张试卷，求陈老师为该生分析的数学试卷分数都在88分以上的概率.参考数据：8.2，8.0，7.9，8.7.解：(1)平均值：x甲82.4，x乙82.4，x甲x乙.样本方差：s(7282.4)2(7482.4)2(9582.4)2(9682.4)267
16、.44，s(7082.4)2(7182.4)2(9282.4)2(9382.4)275.44，由于ss，所以甲同学的成绩相对稳定，因此派甲同学参加比赛.(2)由于x甲x乙82.4，s甲8.2，s乙8.7，所以x甲s甲90.6，x甲s甲74.2，在x甲s甲与x甲s甲之间的成绩有75，76，80，82，85，89，所以P甲，x乙s乙91.1，x乙s乙73.7，在x乙s乙与x乙s乙之间的成绩有76，85，87，88，90，所以P乙，因为，所以派甲同学去参加比赛.(3)从10份试卷中任意抽取2份共有45种取法，2份试卷的分数均在88分以上的有(89，95)，(89，96)，(95，96)，共3种，故陈
17、老师为该生分析的数学试卷分数都在88分以上的概率为.2.(2019济南市学习质量评估)某企业生产了一种新产品，在推广期邀请了100位客户试用该产品，每人一台.试用一个月之后进行回访，由客户先对产品性能作出“满意”或“不满意”的评价，再让客户决定是否购买该试用产品(不购买则可以免费退货，购买则仅需付成本价).经统计，决定退货的客户人数占总人数的一半，“对性能满意”的客户比“对性能不满意”的客户多10人，“对性能不满意”的客户中恰有选择了退货.(1)请完成下面的22列联表，并判断是否有99%的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”？对性能满意对性能不满意总计购买产品不购买产品总计(2)该
18、企业为了改进产品性能，现从“对性能不满意”的客户中按是否购买产品进行分层抽样，随机抽取6位客户进行座谈.座谈后安排了抽奖环节，共有4张奖券，奖券上分别印有200元、400元、600元和800元字样，抽到奖券可获得相应奖金.6位客户有放回地进行抽取，每人随机抽取一张奖券，求6位客户中购买产品的客户人均所得奖金不少于500元的概率.附：K2，其中nabcd，P(K2k0)0.1500.1000.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635解：(1)设“对性能不满意”的客户中购买产品的人数为x，则不购买产品的人数为2x，由此并结合题意可列出表：对性能满意对性能不满
19、意总计购买产品x50不购买产品2x50总计3x103x100由表可得3x103x100，所以x15.完成22列联表为对性能满意对性能不满意总计购买产品351550不购买产品203050总计5545100所以K29.0916.635，所以有99%的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”.(2)由题意得，参加座谈的6位客户中购买产品的人数为2，退货的人数为4.“6位客户中购买产品的客户抽取奖券”包含的基本事件有(200，200)，(200，400)，(200，600)，(200，800)，(400，200)，(400，400)，(400，600)，(400，800)，(600，200)，
20、(600，400)，(600，600)，(600，800)，(800，200)，(800，400)，(800，600)，(800，800)，共16个.设事件A为“6位客户中购买产品的客户人均所得奖金不少于500元”，则事件A包含的基本事件有(200，800)，(400，600)，(400，800)，(600，400)，(600，600)，(600，800)，(800，200)，(800，400)，(800，600)，(800，800)，共10个，则P(A).所以6位客户中购买产品的客户人均所得奖金不少于500元的概率是.3.(2019江西省五校协作体试题)某市组织高三全体学生参加计算机操作比赛
21、，成绩为1至10分，随机调阅了A，B两所学校各60名学生的成绩，得到样本数据如下：A校样本数据条形图B校样本数据统计表成绩/分12345678910人数/个000912219630(1)计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较；(2)从A校样本数据中成绩分别为7分、8分和9分的学生中按分层抽样方法抽取6人，若从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛，求这2人成绩之和大于或等于15分的概率.解：(1)从A校样本数据的条形图可知，成绩为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有6人、15人、21人、12人、3人、3人.A校样本数据的均值为xA6(分)，A校样本数据的方差为s6(46
22、)215(56)221(66)212(76)23(86)23(96)21.5.从B校样本数据统计表可知，B校样本数据的均值为xB6(分)，B校样本数据的方差为s9(46)212(56)221(66)29(76)26(86)23(96)21.8.因为xAxB，所以两校学生的计算机成绩平均分相同，又ss，所以A校学生的计算机成绩比较集中，总体得分情况比B校好.(2)依题意，从A校样本数据中成绩为7分的学生中应抽取的人数为124，分别设为a，b，c，d；从成绩为8分的学生中应抽取的人数为31，设为e；从成绩为9分的学生中应抽取的人数为31，设为f.所有基本事件有ab，ac，ad，ae，af，bc，b
23、d，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15个，其中满足条件的基本事件有ae，af，be，bf，ce，cf，de，df，ef，共9个，所以从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛，这2人成绩之和大于或等于15分的概率P.4.(2019湖南省湘东六校联考)某企业为了参加上海的进博会，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(xi，yi)(i1，2，6)，如表所示：试销单价x/元456789产品销量y/件q8483807568已知yi80.(1)求q的值；(2)已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y(件)关于试销单价
24、x(元)的线性回归方程yx；(3)用i表示用正确的线性回归方程得到的与xi对应的产品销量的估计值，当|iyi|1时，将销售数据(xi，yi)称为一个“好数据”，现从6个销售数据中任取2个，求抽取的2个销售数据中至少有一个是“好数据”的概率.解：(1)由yi80，得80，解得q90.所以4，8046.5106，所以所求的线性回归方程为4x106.(3)由(2)知，当x14时，190；当x25时，286；当x36时，382；当x47时，478；当x58时，574；当x69时，670.与销售数据对比可知满足|iyi|1(i1，2，6)的共有3个：(4，90)，(6，83)，(8，75).从6个销售数据中任取2个的所有可能结果有15(种)，其中2个销售数据中至少有一个是“好数据”的结果有33312(种)，于是抽取的2个销售数据中至少有一个是“好数据”的概率为.