1、专题2数列求和及等差、等比数列的综合1.错位相减求和的三个注意事项一是判断模型,判断cn=anbn中的数列an,bn中一个为等差数列,一个为等比数列;二是错开位置,一般先乘公比,再把前n项和退后一个位置来书写,这样避免两式相减时看错列;三是错位相减,相减时一定要注意式中最后一项的符号,考生常在此步出错,一定要细心.2.分组并项求和的两点提醒(1)要善于识别题目类型,注意合理拆分通项.(2)出现(-1)n时一般多用并项求和法,特别注意项数的奇偶.3.裂项相消求和的两个注意事项(1)利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.(2)将通项公式
2、裂项后,有时候需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.数列求和的步骤第一步找关系:根据等差、等比数列基本量寻求关系;第二步求通项:确定等差、等比数列的通项公式;第三步构差式:写出前n项和的表达式,然后两边同时乘以等比数列的公比得到另外一个式子,两式作差;第四步准求和:根据差式的特征准确求和.1.步骤分:(1)列出Sn;(2)构建-2Sn;(3)求出3Sn.2.关键分:解题过程的关键点,有则给分,无则没分.如列出Sn.3.计算分:计算准确是根本保证,如求出3Sn,再求Sn.4.区分公式:牢记等差、等比数列的相关公式,熟记等差、等比数列的通项公式及前n项和公式,解题时结合实
3、际情况合理选择.5.反思检验,规范解题步骤.【典例】(12分)(2020全国卷)设是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.(1)求的公比;(2)若a1=1,求数列nan的前n项和.(1)看到求an的公比,想到利用基本量法列出方程求解;(2)看到求数列nan的前n项和,想到利用错位相减法求数列的前n项和.【标准答案】(1)设的公比为q,已知a1为a2,a3的等差中项,所以2a1=a2+a3,a10,所以q2+q-2=0,2分因为q1,所以q=-2.4分(2)设nan的前n项和为Sn,a1=1,an=(-2)n-1,6分Sn=1+2(-2)+3(-2)2+n(-2)n-1,7分-2Sn
4、=1(-2)+2(-2)2+3(-2)3+(n-1)(-2)n-1+n(-2)n,8分-得,3Sn=1+(-2)+(-2)2+(-2)n-1-n(-2)n10分=-n(-2)n=,所以Sn=.12分测试目标(1)直接利用基本量列方程求解;(2)确定错位相减模型,数列求和测试素养数据分析:利用数据分析列出方程;逻辑推理:利用逻辑推理写出-2Sn;数学建模:建立错位相减模型,运用错位相减法解决问题;数学运算:求解Sn的值设Sn为数列an的前n项和,且a1=1,当n2时,(n-1)an=(n+1)Sn-1+n(n-1),nN*.(1)证明:数列为等比数列;(2)记Tn=S1+S2+Sn,求Tn.1.
5、(一般与特殊)Sn为等比数列的前n项和,已知a4=9a2,S3=13,且公比q0.(1)求an及Sn;(2)是否存在常数,使得数列是等比数列?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.2.(分组转化)已知在等比数列an中,a1=1,且a1,a2,a3-1成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足bn=2n-1+an(nN*),数列bn的前n项和为Sn,试比较Sn与n2+2n的大小.3.(与不等式结合)已知数列是公比大于1的等比数列(nN*),a2=4,且1+a2是a1与a3的等差中项.(1)求数列的通项公式;(2)设bn=log2an,Sn为数列的前n项和,记Tn=+,证明:1T
6、n的最小正整数n.5.(错位相减法)已知等比数列,其公比q1,且满足a2+a3=12,a2和a4的等差中项是10.(1)求数列的通项公式;(2)若bn=nan,Tn是数列的前n项和,求使Tn-n2n+1+14=0成立的正整数n的值.6.(探索问题)已知数列的前n项和记为An,且An=,数列是公比为q的等比数列,它的前n项和记为Bn.若a1=b10,且存在不小于3的正整数k,m,使得ak=bm.(1)若a1=1,a3=5,求a2的值;(2)求证:数列是等差数列;(3)若q=2,是否存在整数m,k,使得Ak=86Bm,若存在,求出m,k的值;若不存在,请说明理由.7.(与三角结合)已知函数f(x)
7、=,方程f(x)=在上的解按从小到大的顺序排成数列(nN*).(1)求数列的通项公式;(2)设bn=sin an,求数列的前n项和Sn.8.在S2=6,an+1=Sn+2;Sn=2an-a1且a1,a2+1,a3成等差数列;log2(Sn+2)=n+1这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中.设数列an的前n项和为Sn,已知_,bn=,Tn是数列bn的前n项和,问是否存在n(nN*),使得|Tn-1|成立?若存在,求出n的最大值;若不存在,请说明理由.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.专题2数列求和及等差、等比数列的综合【模拟考场】【解析】(1)当n2时,an=Sn-Sn-1,所
8、以(n-1)(Sn-Sn-1)=(n+1)Sn-1+n(n-1),即(n-1)Sn=2nSn-1+n(n-1),则=2+1,所以+1=2,又+1=2,故数列是首项为2,公比为2的等比数列.(2)由(1)知+1=2n-1=2n,所以Sn=n2n-n,故Tn=(12+222+n2n)-(1+2+n).设M=12+222+n2n,则2M=122+223+n2n+1,所以-M=2+22+2n-n2n+1=2n+1-2-n2n+1,所以M=(n-1)2n+1+2,所以Tn=(n-1)2n+1+2-./高考演兵场检验考试力/1.【解析】(1)由题意得,解得,所以an=a1qn-1=3n-1,Sn=.(2)
9、存在.理由如下:假设存在常数,使得数列是等比数列,因为S1+=+1,S2+=+4,S3+=+13,又因为=,所以=,所以=,此时,Sn+=3n,则=3,故存在=,使得数列是以S1+=为首项,公比为3的等比数列.2.【解析】(1)设等比数列an的公比为q,因为a1,a2,a3-1成等差数列,所以2a2=a1+(a3-1)=a3,所以q=2,所以an=a1qn-1=2n-1(nN*).(2)由(1)知bn=2n-1+an=2n-1+2n-1,所以Sn=(1+1)+(3+2)+(5+22)+(2n-1+2n-1)=1+3+5+(2n-1)+(1+2+22+2n-1)=n+=n2+2n-1.因为Sn-
10、(n2+2n)=-10,所以Snn2+2n.3.【解析】(1)由题意得:2=a1+a3设数列的公比为q,则2=+a2q,即2q2-5q+2=0,解得:q=(舍去)或q=2,则a1=2,所以an=a1qn-1=2n.(2)由(1)得:bn=log22n=n,可知为首项为1,公差为1的等差数列,则Sn=,所以=2,所以Tn=2=2=2-,因为01,所以12-2,即1Tn,可得n9,可得最小正整数n为10.5.【解析】(1)等比数列,其公比q1,且满足a2+a3=12,a2和a4的等差中项是10,即有a1q+a1q2=12,20=a2+a4=a1q+a1q3,解得:a1=q=2,所以an=2n.(2
11、)由(1)知:bn=nan=n2n,则Tn=12+222+323+n2n,2Tn=122+223+324+n2n+1,相减可得:-Tn=2+22+23+2n-n2n+1=-n2n+1,化简可得:Tn=2+2n+1,Tn-n2n+1+14=0,即为16-2n+1=0,解得:n=3.6.【解析】(1)当n=3时,A3=a1+a2+a3=,因为a1=1,a3=5,所以a2=3.(2)由An=,得An+1=,两式相减,得an+1=,即(n-1)an+1-nan+a1=0,所以nan+2-(n+1)an+1+a1=0.两式相减,得2an+1=an+an+2,所以数列为等差数列.(3)存在.理由如下:依题
12、意:ak=bm=a12m-1,由Ak=86Bm得:k=86,即k=86,2m=-2,所以344-k=.因为29=512,且m3,所以2m-19,又因为516=4129=4343,且2m-1+1为奇数,所以2m-1+1=129时,是整数,此时m-1=7,所以m=8,k=340.7.【解析】(1)f(x)=tan 2x,解得f(x)=tan 2x=,2x=k+,kZ,则x=+,kZ,依题意,an=+=-,nN*.(2)bn=sin an=sin是周期T=4的数列,b1=,b2=,b3=-,b4=-,S1=,S2=,S3=,S4=0,从而S5=S4+b5=b1=,S6=S5+b6=b1+b2=S2=,所以Sn是周期为4的数列,Sn=(kN*).8.【解析】选:S2=6,an+1=Sn+2,由题意得则当n2时,an+1-an=(Sn+2)-(Sn-1+2)=an,解得an+1=2an,又a2=2a1,所以数列an是首项为2,公比为2的等比数列,所以数列an的通项公式为an=2n,bn=-,Tn=1-,|Tn-1|=,即,所以n+110,得n,即,所以n+110,得n,即,所以n+110,得n9,又nN*,所以n的最大值为8.关闭Word文档返回原板块