1、6.2.3平面向量的坐标及其运算学 习 任 务核 心 素 养(教师独具)1掌握平面向量的正交分解及其坐标表示(重点)2会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算(重点)3会用坐标表示平面向量共线的条件，能用向量共线的条件来解决有关向量共线、直线平行及点共线等问题(重点、难点)1通过学习向量的正交分解，培养数学抽象的核心素养2通过向量的直角坐标运算，提升数学运算的核心素养.通过上节学习我们知道，以单位向量e为基底建立数轴，则数轴上的向量坐标等于它的终点坐标，类似地，请思考：问题：(1)平面直角坐标系的基底应满足什么条件？(2)在直角坐标系中(如图)，向量应怎样用基底表示？(3)若点A的坐标为(x
2、，y)，则向量的坐标与(x，y)有什么关系？提示(1)基底e1，e2中，e1，e2为单位向量且相互垂直(2)xe1ye2.(3)的坐标也是(x，y)知识点1平面向量的坐标1向量的正交分解2向量的坐标(1)定义：一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果axe1ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a(x，y)(2)意义：设点A的坐标为(x，y)，则(x，y)符号(x，y)在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量知识点2平面上向量的运算与坐标的关系向量的加、减法若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，
3、ab(x1x2，y1y2)，即两个向量和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差实数与向量的积若a(x，y)，R，则a(x，y)，即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积向量的数乘、加、减混合运算若a(x1，y1)，b(x2，y2)，u，vR，则uavb(ux1vx2，uy1vy2)向量的模若a(x，y)，则|a|注：平面上两个向量相等的充要条件是它们的坐标对应相等1已知点A(1，3)，的坐标为(3,7)，则点B的坐标为()A(4,4)B(2,4)C(2,10)D(2，10)A设点B的坐标为(x，y)，由(3,7)(x，y)(1，3)(x1，y3)(3,7)，得B(4,4)2.已知a(1，
4、1)，b(3,0)，则3a2b等于()A(5,3)B(4，1)C(2，1)D(3，3)D3a2b3(1，1)2(3,0)(3，3)(6,0)(3，3)知识点3平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式平面上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式|，AB的中点坐标公式3.已知平面直角坐标系内的两点A(1,2)，B(2,6)，则AB_；若AB的中点为M，则M的坐标为_5AB5.设M(x，y)，则x，y4.知识点4向量平行的坐标表示(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx2y1x1y2.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，如果向量b不平行于坐标轴，即x20，y2
5、0，则ab.4.已知向量ae12e2，b2e1e2，其中e1，e2不共线，则ab与c6e12e2的关系是()A不共线B共线C相等D不确定Bab3e1e2，c2(ab)，ab与c共线5.已知a(6,2)，b(m，3)，且ab，则m()A9B9 C3D3B由ab，得6(3)2m，m9. 类型1平面向量的坐标表示【例1】(1)如图所示，若向量e1，e2是一组单位正交向量，则向量2ab在平面直角坐标系中的坐标为()A(3,4)B(2,4)C(3,4)或(4,3)D(4,2)或(2,4)(2)如图，在直角坐标系xOy中，OA4，AB3，AOx45，OAB105，a，b.四边形OABC为平行四边形求向量a
6、，b的坐标；求向量的坐标；求点B的坐标思路探究(1)借助平面向量的正交分解直接求解(2)由OA4，AOx45可求出点A的坐标，从而求出a的坐标，再由OAB105，得出COy，进而得点C的坐标，根据得出b的坐标由中b的坐标及b与的关系得出的坐标可借助求出点B的坐标(1)A以向量a，b公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系，因为e1(1,0)，e2(0,1)，所以2a(2,1)，b(1,3)，所以2ab(2,1)(1,3)(3,4)，即2ab在平面直角坐标系中的坐标为(3,4)，故选A(2)解作AMx轴于点M(图略)，则OMOAcos 4542，AMOAsin 4542，所以A(2，2)故a(2，2
7、)因为AOC18010575，AOy45，所以COy30.又OCAB3，所以C，所以，即b.由知b.(2，2)，所以点B的坐标为.求向量坐标的三个步骤1(1)已知e1，e2为单位正交基底且a3e14e2，b3e1，则a，b的坐标分别为_(2)如图，在正方形ABCD中，O为中心，且(1，1)，则_；_；_.(1)(3,4)，(3,0)(2)(1，1)(1,1)(1,1)(1)由平面向量坐标的定义知a(3,4)，b(3,0)(2)由题意知，(1，1)(1,1)，由正方形的对称性可知，B(1，1)，所以(1，1)，同理(1,1) 类型2平面向量的坐标运算【例2】(1)设(2,3)，(m，n)，(1,
8、4)，则()A(1m,7n)B(1m，7n)C(1m,7n)D(1m ，7n)(2)已知向量(3，2)，(5，1)，则向量的坐标是()ABCD(8,1)(3)若A，B，C三点的坐标分别为(2，4)，(0,6)，(8,10)，求2，的坐标思路探究(1)可利用向量加法的三角形法则将分解为来求解(2)可借助来求坐标(3)可利用(xBxA，yByA)来求解(1)B(2)A(1)(1,4)(m，n)(2,3)(1m，7n)(2)A()(8,1)，.(3)解(2,10)，(8,4)，(10,14)，2(2,10)2(8,4)(2,10)(16,8)(18,18)，(8,4)(10,14)(8,4)(5,7
9、)(3，3)平面向量坐标的线性运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行2已知a(1,2)，b(2,1)，求：(1)2a3b；(2)a3b；(3)ab.解(1)2a3b2(1,2)3(2,1)(2,4)(6,3)(4,7)(2)a3b(1,2)3(2,1)(1,2)(6,3)(7，1)(3)ab(1,2)(2,1). 类型3向量坐标运算的综合应用1已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及t.当t为何值时，点P在x轴上？点
10、P在y轴上？点P在第二象限？提示t(1,2)t(3,3)(13t,23t)若点P在x轴上，则23t0，t.若点P在y轴上，则13t0，t.若点P在第二象限，则t.2如果尝试发现1条件不变，四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由提示(1,2)，(33t,33t)，若四边形OABP为平行四边形，则，该方程组无解故四边形OABP不能为平行四边形3已知在非平行四边形ABCD中，ABDC，且A，B，D三点的坐标分别为(0,0)，(2,0)，(1,1)，则顶点C的横坐标的取值范围是什么？提示当ABCD为平行四边形时，则(2,0)(1,1)(3,1)，故满足条件的顶点C的横坐标
11、的取值范围是(1,3)(3，)【例3】(1)已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)若AAA(R)，试求为何值时，点P在一、三象限角平分线上？点P在第三象限内？(2)已知向量a(1,2)，b(，1)，若(a2b)(2a2b)，求的值思路探究(1)先用表示点P的横、纵坐标，再根据条件列方程或不等式求解(2)根据向量坐标的条件关系求出参数解(1)设点P的坐标为(x，y)，则A(x，y)(2,3)(x2，y3)，AA(5,4)(2,3)(7,10)(2,3)(3,1)(5,7)(35，17)AAA，则若P在一、三象限角平分线上，则5547，即时，点P在一、三象限角平分线上若点P在第三象限内，
12、则1即1时，点P在第三象限内(2)a2b(1,2)2(，1)(12，4)，2a2b2(1,2)2(，1)(22，2)，由(a2b)(2a2b)，可得2(12)4(22)0，解得.1待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，此方法是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用2坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量由此可建立相等关系求某些参数的值3已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？解由已知得，kab(k3,2k2)，a3b(10，4)，kab与a3b
13、平行，(k3)(4)10(2k2)0，解得k.此时kab(a3b)，当k时，kab与a3b平行，并且反向1若a(2,1)，b(1,0)，则3a2b的坐标是()A(5,3) B(4,3) C(8,3) D(0，1)B3a2b3(2,1)2(1,0)(4,3)2下列各组向量中，不能作为表示平面内所有向量基底的一组是()Aa(2,4)，b(0,3)Ba(2,3)，b(3,2)Ca(2，1)，b(3,7)Da(4，2)，b(8,4)D对于D选项，b2a，即ab，故a与b不能作为平面内所有向量的一组基底3如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，那么可以表示为()A2
14、i3jB4i2jC2ijD2ijC记O为坐标原点，则2i3j，4i2j，所以2ij.4已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为_(3，4)，则与同方向的单位向量为(3，4).5已知向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且uv，则x_.因为a(1,2)，b(x,1)，ua2b(1,2)2(x,1)(2x1,4)，v2ab2(1,2)(x,1)(2x,3)又因为uv，所以3(2x1)4(2x)0，解得x.回顾本节内容，自我完成以下问题：1向量的终点的坐标与此向量的坐标完全相同吗？提示向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同，当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量的终点坐标才相同2平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式，对平面内的任意两点都成立吗？提示都成立3用向量的坐标运算判断向量共线要注意什么问题？提示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，当证明ab时，可利用x2y1x1y2进行证明，此种方法没有a0的条件限制，便于应用；也可用进行证明，即两向量的对应坐标成比例，特别注意x1y10的条件限制
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