1、四川省眉山市彭山区第一中学2020-2021学年高二数学4月月考试题 理一、选择题（每题5分，共60分）1.下列反映两个变量的相关关系中，不同于其他三个的是()A月明星稀 B水涨船高 C登高望远 D名师出高徒2.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所示:甲乙丙丁平均环数8.68.98.98.2方差3.53.52.15.6从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛,最佳人选是( )A.甲B.乙C.丙D.丁3.利用系统抽样法从编号分别为1,2,3，80的80件不同产品中抽出一个容量为16的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为13，则抽的产品的最大编号为( )A
2、73B76C77D784.下列求导运算正确的是( )A. B. C.D.5.德国数学家莱布尼茨发现,他发明的二进制数与中国易卦具有同构关系,即如果把易卦中的阳爻与1对应,阴爻与0对应,则每个卦都对应一个6位的二进制数,而一个二进制数又对应一个十进制数如图1的(火山旅)卦所示,自下而上对应的二进制数可记作00101。图2的(泽天夬)卦对应的十进制数为( )A.31B.32C.62D.636.现采用随机模拟的方法估计一位射箭运动员三次射箭恰有两次命中的概率:先由计算机随机产生0到9之间取整数的随机数,指定1,2,3,4,5表示命中,6,7,8,9,0表示不命中,再以三个随机数为一组,代表三次射箭的
3、结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:807966191925271932812458569683489257394027552488730113537741根据以上数据,估计该运动员三次射箭至少有两次命中的概率为( )A.0.30 B.0.35C.0.50 D.0.607.如图,在半径为的圆内随机撒一粒黄豆,它落在圆的内接正三角形(阴影部分)内的概率是( ). A. B. C. D. 0.00150.0020.00050.001a8.为了更好的支持“中小微企业”发展，某市决定对部分企业的税收进行适当减免某机构调查了当地的中小微企业的年收入情况，根据所得的数据画出了样本频率分布直方图，下面有
4、三个结论：样本数据落在区间的频率为0.45；如果规定年收入在500万元以内的企业,才能享受税收减免政策，则估计当地有的中小微企业能享受到这一政策；样本的中位数为480万元,其中正确结论的个数有( ) A. B. C. D. 9.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在五次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为（ ）A B. C D10.已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是( )A.B.C.D.11.某校举办“中华魂”爱我中华主题演讲比赛聘请7名评委为选手评分,评分规则是去掉一个最高分和一个最低分,再求平均分为选手的最终得分.现评委为
5、选手李红的评分从低到高依次为,具体分数如图1的茎叶图所示,图2的程序框图是统计选手最终得分的一个算法流程图,则图中空白处及输出的分别为( )A.B.C.D.12.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线限所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上。设抛物线的弦过焦点，为阿基米德三角形，则的面积的最小值为( )A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，共20分）13.数据8，9，10，11，12的方差为_。14.已知函数，则_。15.已知正方体的棱长为1，则在该正方体内任取一点M，则其到顶点A的距离小于1的概率
6、为 。16.设函数yx22x2的图象为C1，函数yx2axb的图象为C2，已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直，ab= 。 三、解答题.（共70分，写出必要的解题步骤和文字说明）17. (10分）已知函数.(1).求曲线在点处的切线的方程;(2).直线为曲线的切线,且经过原点,求直线的方程及切点坐标.18.（12分）某市工会组织了一次工人综合技能比赛,一共有1 000名工人参加,他们的成绩都分布在内,数据经过汇总整理得到如下的频率分布直方图,规定成绩在76分及76分以上的为优秀.求图中的值；估计这次比赛成绩的平均数(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)；某工厂车间有25名工人
7、参加这次比赛,他们的成绩分布和整体的成绩分布情况完全一致,若从该车间参赛的且成绩为优秀的工人中任选两人,求这两人成绩均低于92分的概率.19.（12分）由于往届高三年级数学学科的学习方式大都是“刷题讲题再刷题”的模式效果不理想，某市一中的数学课堂教改采用了“记题型刷题检测效果”的模式，并记录了某学生的记题型时间t(单位：h)与检测效果y的数据如表所示：记题型时间t/h1234567检测效果y2.93.33.64.44.85.25.9(1)据统计表明，y与t之间具有线性相关关系，请用相关系数r加以说明(若|r|0.75，则认为y与t有很强的线性相关关系，否则认为没有很强的线性相关关系)；(2)建
8、立y关于t的回归方程，并预测该学生记题型8 h的检测效果；参考公式：回归直线x中斜率和截距的最小二乘估计分别为，20.（12分）某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、人为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人（1）.求的值；（2）.把在前排就坐的高二代表队6人分别记为，现随机从中抽取2人上台抽奖求和至少有一人上台抽奖的概率（3）.抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个之间的均匀随机数，并按如图所示的程序框图执行若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若
9、电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率（20题图） （21题图）21.（12分）如图,四棱锥 中,.是边长为 2 的正三角形,底面 为菱形,且平面平面, , 为上一点,满足(1)证明：;(2)求二面角的余弦值 22.（12分）已知椭圆C:的离心率为,点在椭圆上（1）求椭圆的标准方程;(2)过点任作椭圆的两条相互垂直的弦，设分别是的中点，则直线是否过定点?若过，求出该定点坐标；若不过，请说明理由.彭山一中高2022届高二（下）4月考数学（理科）参考答案一、选择题题号123456789101112答案ACDBCDCADAAB二、填空题13. 2 14. 0 15. 16. 三、解答题17.
10、解：(1).可判定点在曲线上.在点处的切线的斜率为.切线的方程为即(2).设切点坐标为,则直线的斜率为,直线的方程为.又直线过坐标点(0,0),整理得,得切点坐标,.直线的方程为,切点坐标为.18.解：(1)由题意得,解得.(2)由(1)可得,各分组的频率分别为0.2,0.28,0.32,0.08,0.08,0.04.平均数的估计值为.(3)由题意可知,该工厂车间参赛的25人中,成绩在76分及76分以上的三个分组的频率分别为,所以成绩优秀的有5人,其中成绩低于92分的有4人,分别记为,另一人记为.从5人中任选两人,所有的情况有,共10种情况.设“这两人成绩均低于92分”为事件,则事件包含的情况
11、有6种.所以.19.解：(1)由题得4，941014928，7.08，y与t有很强的线性相关关系 4.30.542.3.y关于x的线性回归方程0.5t2.3，当t8时，0.582.36.3.预测该学生记题型8 h的检测效果约为6.3.20.答案：（1）.由题意可得，； （2）.二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件有，共15种，其中和至少有一人上台抽奖的基本事件有9种，和至少有一人上台抽奖的概率为；（3）.由已知，点在如图所示的正方形内，由条件得到的区域为图中的阴影部分由，令可得；令可得在时满足的区域的面积为该代表中奖的概率为 21.答案：(1)设为中点,连接,又底面四边形为菱形, ,为等边三角形又,平面,平面,而平面,(2)解:平面平面,平面平面,平面以为原点,分别为轴建立空间直坐标系,则由即,设为平面的法向量,则令,得,设为平面的法向量,则由令,得设二面角的平面角为,则,所以二面角的余弦值为.22.答案：(1)由已知得,解得,所以椭圆的方程为.(2)由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，由得，由得,且,所以，即,同理，所以，所以直线的方程为，由对称性可知定点必在轴上,令,得，所以直线过定点.