1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(三十九)空间几何体的表面积与体积(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2014福建高考)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A.2B.C.2D.1【解析】选A.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴旋转一周所得的圆柱的底面半径为1,母线长为1.故侧面积为2rl=211=2.2.如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为()A
2、.B.C.D.【解析】选A.在ABC中,BC边上的高为,即棱锥A-BB1C1的高为,又=,所以=.3.(2014新课标全国卷)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A.B.C.D.【解题提示】由三视图,还原出几何体,然后根据几何体的形状,求得体积之比.【解析】选C.因为加工前的零件半径为3,高为6,所以体积V1=96=54.因为加工后的零件,左半部为小圆柱,半径为2,高为4,右半部为大圆柱,半径为3,高为2.所以体积V2=44+92=34.所以削
3、掉部分的体积与原体积之比=.4.(2015淮南模拟)某空间几何体的三视图如图所示,则这个空间几何体的表面积是()A.2+4B.2+2C.4+2D.4+4【解析】选D.由三视图可知,该几何体为上部为半径为的球,下部为半径为1,高为2的半个圆柱,球的表面积为4=,半圆柱的底面面积为2=,半圆柱的侧面面积为2(2+)=4+2.几何体的表面积为:4+4.5.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为()A.B.C.D.【解题提示】先根据题意确定四面体O-ABC的结构特征,求得O到平面ABC的距离,进而求得S到平面ABC的距
4、离,代入体积公式求解.【解析】选A.因为ABC为边长为1的正三角形,且球半径为1,所以四面体O-ABC为正四面体,所以ABC的外接圆的半径为,所以点O到平面ABC的距离d=,所以三棱锥的高SF=2OE=,所以三棱锥的体积为1=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2014天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.【解析】如图,所给几何体由一个圆锥和一个圆柱组合而成,V=222+124=(m3).答案:7.已知一个几何体的三视图如图所示(单位:cm),其中正视图是直角梯形,侧视图和俯视图都是矩形,则这个几何体的体积是cm3.【解析】由三视图可知,该几何体为一个
5、放倒的四棱柱,以梯形为底,所以梯形面积为=,四棱柱的高为1,所以该几何体的体积为.答案:8.(2015烟台模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为.【解析】如图所示,由三视图可知该几何体为圆锥AO,AD为该圆锥外接球的直径,则AO=1,CO=,由射影定理可知CO2=AOOD,得OD=3,所以外接球的半径为(AO+OD)=2,表面积为422=16.答案:16【误区警示】本题易误将圆锥底面圆半径作为球的半径而致误.【加固训练】圆柱形容器内盛有高度为8cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是cm.【解析】设球半径为r
6、,则由3V球+V水=V柱,可得3r3+r28=r26r,解得r=4.答案:4三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知某几何体的三视图如图所示(单位:cm):(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法).(2)求这个几何体的表面积及体积.【解析】(1)这个几何体的直观图如图所示.(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q-A1D1P的组合体.由PA1=PD1=,A1D1=AD=2,可得PA1PD1.故所求几何体的表面积S=522+22+2()2=22+4(cm2),体积V=23+()22=10(cm3).10.如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体,截
7、面为ABC,已知A1B1=B1C1=2,A1B1C1=90,AA1=4,BB1=3,CC1=2,求:(1)该几何体的体积.(2)截面ABC的面积.【解析】(1)过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C,交AA1,BB1分别于A2,B2.由直三棱柱性质及A1B1C1=90可知B2C平面ABB2A2,则V=222+(1+2)22=6.(2)在ABC中,AB=,BC=,AC=2.则SABC=2=.【一题多解】本题(1)问还可以用以下方法解答:延长B1B,C1C到B3,C3,使得B3B1=C3C1=AA1.则V= =224-(1+2)22=6.(20分钟40分)1.(5分)(2015铜陵模拟)一个几何
8、体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为5的两个全等的等腰直角三角形.用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为5的正方体()A.2个B.3个C.4个D. 5个【解析】选B.该几何体的直观图如图所示,它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.其中底面ABCD是边长为5的正方形,高为CC1=5,故所求体积是V=525=,依题意,正方体的体积是原四棱锥体积的3倍,故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为5的正方体,其拼法如图所示.故选B.2.(5分)(2014陕西高考)已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为()A.B.4C.2D.【解题提示】根据截面圆半径、球心距、球
9、半径构成直角三角形,满足勾股定理,求出球的半径,代入球的体积公式求解.【解析】选D.由正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,可设正四棱柱的上底所在截面圆的半径为R1,则+=1可得=;又侧棱长为,所以球心到截面圆的距离d=;由截面圆半径、球心距、球半径构成直角三角形,根据勾股定理得球半径R=1,代入球的体积公式得球的体积为.【加固训练】已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA平面ABCD,四边形ABCD是边长为2的正方形.若PA=2,则OAB的面积为.【解析】首先,可以判定点O,P在平面ABCD的同侧(否则,由OA=OP=R,三角形OAP为等腰三角形,OAP=OPA,据PA平面ABCD知OAP
10、为钝角,一个等腰三角形的底角不可能为钝角),设正方形ABCD的对角线交于点M,连接OM,由球的性质,OM平面ABCD,又PA平面ABCD,则PAOM,从而四边形AMOP为直角梯形.如图,OP=R,作ONPA于N.可以求得ON=MA=,AN=OM=,PN=PA-AN=2-.在直角三角形ONP中,利用勾股定理,得(2-)2+6=R2,求得R=2,故三角形OAB为等边三角形,SOAB=(2)2=3.答案:33.(5分)已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,点P1,P2分别是线段AB,BD1上(不包括端点)的动点,在P1,P2运动的过程中线段P1P2始终平行于平面A1ADD1,则当几何体P
11、1P2AB1的体积取得最大值时,AP1=.【解析】过P2作P2O底面ABCD于O,连接OP1,则OP1AB,即OP1平面P1AB1,设AP1=x,0x0).(2)V=ha2=(h0),易得V=,因为h+2=2,所以V,当且仅当h=,即h=1时取等号,故当h=1米时,V有最大值,V的最大值为立方米.5.(13分)(能力挑战题)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,过A1,C1,B三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体ABCD-A1C1D1,这个几何体的体积为.(1)求棱A1A的长.(2)求经过A1,C1,B,D四点的球的表面积.【解析】(1)设A1A=h,因为几何体
12、ABCD-A1C1D1的体积为,所以=,即S四边形ABCDh-h=,即22h-22h=,解得h=4.所以A1A的长为4.(2)如图,连接D1B,设D1B的中点为O,连接OA1,OC1,OD.因为ABCD-A1B1C1D1是长方体,所以A1D1平面A1AB.因为A1B平面A1AB,所以A1D1A1B.所以OA1=D1B.同理OD=OC1=D1B.所以OA1=OD=OC1=OB.所以经过A1,C1,B,D四点的球的球心为点O.因为D1B2=A1+A1A2+AB2=22+42+22=24.所以S球=4(OD1)2=4=D1B2=24.故经过A1,C1,B,D四点的球的表面积为24.关闭Word文档返回原板块