1、外接球1在菱形中，将沿折起到的位置，若二面角的大小为，三棱锥的外接球心为点，则三棱锥的外接球的表面积为ABCD解：四边形是菱形，是等边三角形，过球心作平面，则为等边的中心，取的中点为，则且，由二面角的大小为，得，即，在中，由，可得在中，即，设三棱锥的外接球的半径为，即，三棱锥的外接球的表面积为，故选：2已知三棱锥的各个顶点都在球的表面上，底面，是线段上一点，且过点作球的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为ABCD解：因为，由勾股定理可得，设面所截圆的圆心为，外接球的球心为，则有，取的中点，连结，则，故，设，则，设球的半径为，则，故与垂直的截面圆的半径，所以，故所得截面圆
2、面积的最小值为，而最大截面圆的面积为，所以，解得，所以球的表面积为故选：3在三棱锥中，则这个三棱锥的外接球的半径为ABCD解：如图，可得，取中点，则为三角形的外心，设三棱锥的外接球的球心为，连接，则底面，连接，则为等腰三角形，取中点，连接，则，由，可得平面，平面，平面平面，又平面平面，平面，可得平面，则，过作，在等腰三角形中，求得，设，则，可得，由，可得，即，解得三棱锥的外接球的半径为故选：4三棱锥的顶点都在球的球面上，若三棱锥的体积的最大值为，则球的体积为ABCD解：因为，且，所以，过的中点作平面的垂线，则球心在直线上，设，球的半径为，则棱锥的高的最大值为，所以，解得，在中，则，由解得，所以
3、球的体积为故选：5已知三棱锥中，是以角为直角的直角三角形，为的外接圆的圆心，那么三棱锥外接球的体积为ABCD解：如图，设三棱锥外接球的球心为，半径为，连结，由已知可得，为圆的直径，则，因为，在中，由余弦定理可得，则，又，所以为钝角，由正弦定理可得，即，解得，所以，因为，三线共面，则，在中，在中，所以，解得，故三棱锥的外接球的体积为故选：6已知三棱锥的底面是正三角形，点在侧面内的射影是的垂心，当三棱锥体积最大值时，三棱锥的外接球的表面积为ABCD解：延长交于，连接，是的垂心，平面，平面，又平面，平面，平面，又平面，连接并延长交于，连接，由平面可得，又，平面，设在平面上的射影为，延长交于，连接，平
4、面，是的中心，是的中点，当，两两垂直时，三棱锥体积取得最大值时，将，作为正方体的相邻的三条棱补成正方体，则外接球的直径即为正方体的对角线长，所以三棱锥的外接球的半径满足：，解得，所以球的表面积为，故选：7.已知三棱锥的各个顶点都在球的表面上，底面，是线段上一点，且过点作球的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为ABCD解：因为，所以，设面所截的截面圆的圆心为，外接球的球心为，则为的中点，且平面，则有，取的中点，连结，则，因为，为的中点，所以，所以，设，则有，则球的半径，故与垂直的截面圆的半径，所以截面圆面积的最小值为，截面圆面积的最大值为，由题意可得，解得，所以球的表面积
5、为故选：8在四棱锥中，平面，四边形是平行四边形，经过直线且与直线平行的平面交直线于点，则三棱锥的外接球的表面积为ABCD解：如图，连接，交于，四边形是平行四边形，为的中点，平面，平面，、平面，则为的中点，设三角形的外心为，外接圆半径为，由已知可得，则，再设三棱锥的外接球的球心为，连接，则平面，又平面，且，外接球半径满足，则三棱锥的外接球的表面积为故选：9蹴鞠（如图所示），2006年5月20日，已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球，因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球已知某鞠（球的表面上有四
6、个点、，且球心在上，则该鞠（球的表面积为ABCD解：如图，取中点，由，得，由，得，连接并延长，交球于，连接，为球的直径，则，可得球的表面积为故选：10正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，若球与正三棱锥所有的棱都相切，则这个球的表面积为ABCD解：设底面的外接圆的圆心为，连接，延长交于，球与棱和切于点，设球的半径为，则，而底面，可得，在直角三角形中，在直角三角形中，所以，即有，解得，则这个球的表面积为，故选：11九章算术卷五商功中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”，现有阳马（如图），平面，点，分别在，上，当空间四边形的周长最小时，三棱锥外接球的表面积为ABCD解：如图所示，把，剪开，使得与矩形在同一个平面内延长到，使得，则四点，在同一条直线上时，取得最小值，即空间四边形的周长取得最小值可得，点为的中点如图所示，设的外心为，外接圆的半径为，则取分别为，的中点设，则，解得设三棱锥外接球的半径为，则三棱锥外接球的表面积故选：12已知四棱锥中，底面是矩形，侧面是正三角形，且侧面底面，若四棱锥外接球的体积为，则该四棱锥的表面积为ABCD解：如图，设矩形的中心为，三角形的外心为，分别过、作所在平面的垂线，交于，则为四棱锥外接球的球心，设，又，可得，四棱锥外接球的体积为，解得：，该四棱锥的表面积为故选：
