1、第二节平面向量的基本定理及坐标表示命题分析预测学科核心素养从近五年的高考情况来看，本节重点是平面向量基本定理的应用与坐标计算，多以选择题、填空题形式考查，难度较低本节主要考查学生的直观想象与数学运算核心素养授课提示：对应学生用书第90页知识点一平面向量基本定理 温馨提醒 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底1基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底2基底给定，同一向量的分解形式唯一1（易错题）e1，e2为不共线的两个向量，下列
2、命题正确的个数为（）e1e2（，R）可以表示平面内的所有向量；对于平面内任一向量a，使ae1e2的实数对（，）有无穷多个；若向量1e11e2与2e12e2共线，则有且只有一个实数，使得1e11e2（2e12e2）；若实数，使得e1e20，则0A1B2C3 D4解析：对于、，由平面向量基本定理可知正确，错误；对于，满足条件的有无数多个，故错误；对于，因为e1与e2不共线，e1e20，得0，故正确答案：B2如图所示，在正方形ABCD中，E为DC的中点若，则的值为_解析：因为E为DC的中点，所以，即，所以，1，所以答案：知识点二向量的坐标运算1平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫
3、做把向量正交分解2平面向量的坐标运算（1）向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a（x1，y1），b（x2，y2），则ab（x1x2，y1y2），ab（x1x2，y1y2），a（x1，y1），|a| （2）向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A（x1，y1），B（x2，y2），则（x2x1，y2y1），| 3平面向量共线的坐标表示设a（x1，y1），b（x2，y2），则abx1y2x2y10 温馨提醒 若a（x1，y1），b（x2，y2），则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2x2y101若P1（1，3），P2（4，0），且P是线段P
4、1P2的一个三等分点，则点P的坐标为（）A（2，2）B（3，1）C（2，2）或（3，1） D（2，2）或（3，1）解析：由题意得或，（3，3）设P（x，y），则（x1，y3），当时，（x1，y3）（3，3），所以x2，y2，即P（2，2）；当时，（x1，y3）（3，3），所以x3，y1，即P（3，1）答案：D2已知向量a（2，3），b（1，2），若manb与a2b共线，则_解析：由向量a（2，3），b（1，2），得manb（2mn，3m2n），a2b（4，1）由manb与a2b共线，得，所以答案：3（易错题）已知O为坐标原点，向量（2，3），（4，1），且3，则|_解析：设P（x，y），由题意
5、可得A，B两点的坐标分别为（2，3），（4，1），由3，可得解得故|答案：授课提示：对应学生用书第91页题型一平面向量基本定理及应用1如图所示，在ABC中，BE是边AC上的中线，O是BE的中点，若a，b，则（）AabBabCabDab解析：在ABC中，BE是边AC上的中线，O是BE的中点，（）ab答案：D2在ABC中，O为ABC的重心，若，则2（）AB1C D解析：设AC的中点为D，因为O为ABC的重心，所以（），所以，所以2答案：D3（2021太原模拟）在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点若，则实数_解析：如图所示，M，N分别为BC，DC的中点，由得，不共线，答案：4（2021西
6、安调研）如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，若m，则实数m的值为_解析：由N是OD的中点得（），又因为A，N，E三点共线，故，即m（），又与不共线，所以解得故实数m答案：应用平面向量基本定理应注意的问题（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减运算或数乘运算题型二平面向量的坐标运算及应用例（2021文登二中模拟）平面内给定三个向量a（3，2），b（1，2），c（4，1）（1）若（akc）（2ba），求实数k；
7、（2）若d满足（dc）（ab），且|dc|，求d的坐标解析（1）akc（34k，2k），2ba（5，2），由题意得2（34k）（5）（2k）0，解得k（2）设d（x，y），则dc（x4，y1），又ab（2，4），|dc|，解得或d的坐标为（3，1）或（5，3）变式探究母题条件不变，若abc试求，解析：bc（1，2）（4，1）（4，2）（3，2），解得1向量的坐标运算常建立在向量的线性运算的基础之上，若已知有向线段两端点的坐标，则应考虑坐标运算2解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一结论，通过列方程（组）进行求解题组突破1已知平行四边形ABCD中，（3，7），（2，3），对角线AC与B
8、D交于点O，则的坐标为（）ABC D解析：因为（2，3）（3，7）（1，10），所以，所以答案：D2已知向量a（1，2），b（2，2），c（1，）若c（2ab），则_解析：2ab（4，2），因为c（1，），且c（2ab），所以124，即答案：向量坐标运算中的核心素养（一）直观想象向量坐标运算的应用例1给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动若xy，其中x，yR，则xy的最大值为_解析以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A（1，0），B设AOC，则C（cos ，sin ）由xy，得所以xcos sin ，ysin ，所以xyc
9、os sin 2sin又，所以当时，xy取得最大值2答案2在向量的有关运算中，可利用几何法和坐标法进行巧解，这样既可以提高解题效率，又能提升正确率，体现了数学思维的灵活性，对学生的直观想象和逻辑推理素养有较高要求（二）数学建模平面向量与三角形的“四心”设O为ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则：（1）O为ABC的外心|（2）O为ABC的重心0（3）O为ABC的垂心（4）O为ABC的内心abc0例2已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足（1）（1）（12），R，则点P的轨迹一定经过（）AABC的内心BABC的垂心CABC的重心 DAB边的中点解析
10、取AB的中点D，则2，因为（1）（1）（12），所以2（1）（12），而1，所以P，C，D三点共线，所以点P的轨迹一定经过ABC的重心答案C求解三角形的“四心”问题时，要结合平面向量基本定理及“四心”定义去探究题组突破1已知在ABC中，AB1，BC，AC2，点O为ABC的外心，若xy，则有序实数对（x，y）为（）A BC D解析：取AB的中点M和AC的中点N，连接OM，ON（图略），则，（xy）y，（xy）x由，得2y0，由，得2x0，又因为2（）2222，所以，把代入得解得x，y故实数对（x，y）为答案：A2在边长为1的正方形ABCD中，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若，则的最大值是（）A3 B2C2 D4解析：由题意，以A为坐标原点，以AB，AD所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系（图略），则A（0，0），B（1，0），D（0，1），C（1，1）因为BC1，CD1，所以BD因为动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，所以圆C的半径为，所以圆C的方程为（x1）2（y1）2设点P的坐标为，因为，所以（1，0）（0，1）（，），所以所以1cos 1sin 2（cos sin ）2sin，当sin1时，取得最大值，最大值为3答案：A