1、向量一、 单选题1在平面四边形中，已知的面积是的面积的3倍，若存在正实数，使得成立，则的最小值为ABCD解：根据题意，如图，连接、，设与交于点，过点作与点，过点作与点，若面积是面积的3倍，即，根据相似三角形的性质可知，设，即，即，当且仅当且，即，时取等号，即的最小值为，故选：2.已知平面向量满足：，则的最小值为ABCD解：，所以可建立平面直角坐标系如图所示，使，由椭圆定义知，点轨迹是以，为焦点的椭圆，所以，当运动到时等号成立，所以的最小值为故选：3在中，点是的中点，线段与交于点，动点在内部活动（不含边界），且，其中、，则的取值范围是ABCD解：若点为交点时，若点在线段上运动时，；若点在线段上运
2、动时，；若点在线段上运动时，；综上，由于不含边界，另解：按照三点共线定理可知，当点在直线上时，当点在直线的下方且平行于直线的直线上时，随着直线向下平行移动，的值越来越大，因为点在内部活动（不含边界）上运动，所以到达临界点时的值为上限值，故选：4在梯形中，若点在线段上，则的最小值为ABCD解：如图，在梯形中，令，当时，的最小值为故选：5已知点是边长为1的正方形所在平面上一点，满足，则的最小值是ABCD解：以为原点，、所在的直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，则，即，点在以为圆心，半径为的圆上，又表示圆上的点到点的距离，故选：6在中，若点为边所在直线上的一个动点，则的最小值为ABC
3、D解：以点为原点，所在的直线为轴，建立直角坐标系，如图所示：由于，所以，所以点的横坐标为，点的纵坐标为所以，设点的坐标为，所以，的横坐标为，的纵坐标为故的坐标为，由于，所以当时，的最小值为故选：7在平面上，若，则的取值范围是A，B，C，D，解：根据，知，四边形是矩形如图，以，所在直线为坐标轴建立直角坐标系设，点的坐标为，点，同理，由 可知，的取值范围为，故选：8已知矩形的一边的长为4，点，分别在边，上，当，分别是边，的中点时，有若，则线段的最短长度为AB2CD解：当，分别是边，的中点时，有，所以，则矩形为正方形，设，则则，又，所以故，则（当且仅当时取等号）故线段的最短长度为故选：二、 多选题9
4、如图，、分别是射线、上的点，下列以为起点的向量中，终点落在阴影区域内的向量是ABCD解：由向量共线的充要条件可得：当点在直线上时，存在唯一的一对有序实数，使得成立，且可以证明当点位于阴影区域内的充要条件是：满足，且，证明如下：如图所示，点是阴影区域内的任意一点，过点作，分别交，于点，；交于点，过点作交于点，则存在唯一一对实数，使得，且，唯一；同理存在唯一一对实数，使得，而，即可判断出，点位于阴影区域内，故正确；同理正确；而不正确；故选：10如图，正方形中，为上一点，为以点为圆心，以为半径的圆弧上一点，若，则以下说法正确的是A若点和重合，点和重合，则，B若点是线段的中点，则点是圆弧的中点C若点和
5、重合，且点为靠近点的圆弧的三等分点，则D若点与重合，点为上任一点，则动点的轨迹为双曲线的一部分解：以为轴，为轴建立直角坐标系，设正方形的边长为1，如图，则，因为，所以，若点和重合，点和重合，则，即，故正确；则，；若点是线段的中点，则，；若点是圆弧的中点，则，即，即，此方程组无解，故错误；若点和重合，则，；又点为靠近点的圆弧的三等分点，则，即，即，解得，则，故错误；若点与重合，则，；又点为上任一点，则，即，由得：，整理得：，则动点的轨迹为双曲线的一部分，故正确故选：11如图所示，在直角梯形中，为线段（含端点）上一个动点，设，对于函数，以下四个结论中正确的是A当时，函数的值域为，B，都有（1）成立
6、C，函数的最大值都等于4D若在上单调减，则，解：如图所示，建立直角坐标系在直角梯形中，当时，当时，取得最小值；又，（1），综上可得：函数的值域为因此不正确由可得：，都有（1）成立，因此正确；由可知：对称轴当时，函数在，单调递减，因此当时，函数取得最大值4当时，函数在，单调递减，在，上单调递增又，（1），因此正确在上单调减，则，因此正确故选：12如图，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），若，则的取值可能是AB1C5D9解：设，求的最大值，只需考虑右图中6个顶点的向量即可，讨论如下：（1），；（
7、2），；（3），；（4），；（5），；（6），的最大值为根据其对称性，可知的最小值为故的取值范围是，观察选项，选项、均符合题意故选：三、 填空题13已知圆，点是直线的一动点，是圆的一条直径，则的最小值等于解：由，得，可得圆的圆心坐标为，半径，由，即为，其中为圆心到直线上点的距离，为半径，因此当取最小值时，的取值最小，可知的最小值为，故的最小值为故答案为：14已知，若存在，使得与夹角为，且，则的最小值为解：由题意，令，故有，共线，为定值，在中，由余弦定理可得，当且仅当时，取最大值，此时面积最大，则到距离最远，即当且仅当、关于轴对称时，最小，此时到的距离为，即故答案为：15已知平行四边形的两条对角线相交于点，其中点在线段上且满足，若点是线段上的动点，则的最小值为解：在中，所以，所以，则有，所以，则，在中，因为，解得，所以，取的中点为，故同理可得，又，设点到的距离为，则有，所以，所以的最小值为故答案为：；16在中，是所在平面上的动点，则的最小值为解：以为坐标原点，为轴建立平面直角坐标系如图所示，因为，所以，是所在平面上的动点，设，其中，则，故，所以当时，取得最小值故答案为：