1、第1讲三角函数的图象与性质三角函数的定义、诱导公式及基本关系核心提炼1三角函数：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin y，cos x，tan .各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦2同角关系：sin2cos21，tan .3诱导公式：在，kZ的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”典型例题 (1)(2019湖州市高三期末)点P从点A(1，0)出发，沿单位圆x2y21逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标是()A.B.C.D.(2)(2019长春一模)已知为锐角，且2tan()3cos50，tan()6sin()1，则sin 的值为_(3)(2018
2、高考浙江卷)已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.求sin的值；若角满足sin()，求cos 的值【解】(1)选A.点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，所以QOx，所以Q，即Q点的坐标为.故选A.(2)2tan()3cos50化简为2tan 3sin 50，tan()6sin()1化简为tan 6sin 1，因而sin .故填.(3)由角的终边过点P得sin ，所以sin()sin .由角的终边过点P得cos ，由sin()得cos().由()得cos cos()cos sin()sin ，所以cos 或cos .应用三角函数的概念和诱导公式
3、的注意事项(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误(2)应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定注意三角函数的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等 对点训练1已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点P(4，3)，则的值为_解析：原式tan .根据三角函数的定义，得tan ，所以原式.答案：2已知是第四象限角，且sin，则tan_解析：法一：因为sin ，所以cossinsin，因为为第四象限角，所以2k2k，kZ，所以2k2k，kZ，所以sin，所以tan.法二：因为
4、是第四象限角，且sin，所以为第一象限角，所以cos，所以tan.答案：三角函数的图象及应用核心提炼函数yAsin(x)的图象(1)“五点法”作图设zx，令z0，2，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得(2)图象变换ysin xysin(x)ysin(x)yAsin(x)典型例题 (1)函数yAsin(x)的部分图象如图所示，则()Ay2sinBy2sinCy2sinDy2sin(2)(2019温州瑞安七中高考模拟)函数ysin(2x)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能的值为()A.B. C0D(3)(2019浙江五校联考数学模拟)设函数f(x)，若函数g(x
5、)f(x)m在0，2内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是()A(0，1)B1，2 C(0，1D(1，2)【解析】(1)由题图易知A2，因为周期T满足，所以T，2.由x时，y2可知22k(kZ)，所以2k(kZ)，结合选项可知函数解析式为y2sin.(2)令yf(x)sin(2x)，则fsinsin，因为f为偶函数，所以k，所以k，kZ，所以当k0时，.故的一个可能的值为.故选B.(3)画出函数f(x)在0，2的图象，如图所示：若函数g(x)f(x)m在0，2内恰有4个不同的零点，即yf(x)和ym在0，2内恰有4个不同的交点，结合图象，知0m1.【答案】(1)A(2)B(3)A解决三角函
6、数图象问题的方法及注意事项(1)已知函数yAsin(x)(A0，0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换，变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向 对点训练1(2019兰州市诊断考试)函数f(x)sin(x)(0，|)的部分图象如图所示，若x1，x2，且f(x1)f(x2)，则f(x1x2)()A.B.C.D1解析：选C
7、.由图知，即T，则2，所以f(x)sin(2x)，因为点在函数f(x)的图象上，所以sin0，即k，kZ，又|0)若f(x)f对任意的实数x都成立，则的最小值为_解析：由于对任意的实数x都有f(x)f成立，故当x时，函数f(x)有最大值，故f1，2k(kZ)，所以8k(kZ)，又0，所以min.答案：3(2019高考浙江卷)设函数f(x)sin x，xR.(1)已知0，2)，函数f(x)是偶函数，求的值；(2)求函数y的值域解：(1)因为f(x)sin(x)是偶函数，所以对任意实数x都有sin(x)sin(x)，即sin xcos cos xsin sin xcos cos xsin ，故2s
8、in xcos 0，所以cos 0.又0，2)，因此或.(2)ysin2sin211cos.因此，函数的值域是.三角函数与其他知识的交汇核心提炼三角函数的图象与性质是高考考查的重点，近年来，三角函数与其他知识交汇命题成为高考的热点，由原来三角函数与平面向量的交汇渗透到三角函数与函数的零点、数列、不等式、复数、方程等知识的交汇典型例题 (1)(2019台州市高考一模)已知0，)，若对任意的x1，0，不等式x2cos (x1)2sin x2x0恒成立，则实数的取值范围是()A. B. C. D.(2)(2019浙江“七彩阳光”联盟高三联考)已知函数f(x)sin(x)的图象过点，若f(x)f对xR
9、恒成立，则的值为_；当最小时，函数g(x)f在区间0，22的零点个数为_【解析】(1)设f(x)x2cos (x1)2sin x2x(1sin cos )x2(2sin 1)xsin ，因为0，)，所以1cos sin 0，且其对称轴为x.因为f(x)在1，0的最小值为f(0)或f(1)或f，所以，即，所以.所以.(2)由题意得，且当x时，函数f(x)取到最大值，故2k，kZ，解得112k，kN，又因为0，所以的最小值为1，因此，g(x)fsin x的零点个数是8个【答案】(1)A(2)112k(kN)8解决三角函数与其他知识的交汇问题，可利用数形结合思想利用“数形结合”思想还可以解决以下问题
10、：(1)讨论含有参数的方程的解的个数问题 (2)求三角函数解析式中含有参数的最值问题(3)求一些特殊函数的周期(4)利用三角函数图象对实际问题作出分析等对点训练1(2019湖州市高三期末考试)若，且sin sin 0，则必有()A22B22CD解析：选B.，且sin sin 0，即sin sin ，再根据yxsin x为偶函数，且在上单调递增，可得|，即22，故选B.2(2019合肥市第二次教学质量检测)已知关于x的方程(t1)cos xtsin xt2在(0，)上有实根，则实数t的最大值是_解析：由题意可得，1，令P(cos x，sin x)，A(2，1)，则kPA，因为x(0，)，所以1c
11、os x1，0sin x1，令acos x，bsin x，则点P是上半圆a2b21(0b1)上任意一点，如图，可知，0kPA1，所以011，即00)的最大值与最小正周期相同，则函数f(x)在1，1上的单调递增区间为()A.B.C.D.解析：选D.由T，又f(x)的最大值为2，所以2，即，所以f(x)2sin.当2kx2k，即2kx2k，kZ时函数f(x)单调递增，则f(x)在1，1上的单调递增区间为.7(2019温州调研)已知函数f(x)sin(0)在区间上单调递增，则的取值范围为()A.B.C.D.解析：选B.因为x，所以x，因为函数f(x)sin(0)在区间上单调递增，所以又0，所以0，选
12、B.8(2019宁波市高三调研)已知函数f(x)(sin xcos x)|sin xcos x|，则f(x)的值域是()A1，1B.C.D.解析：选C.f(x)作出0，2区间内f(x)的图象，如图所示，由f(x)的图象，可得f(x)的值域为.9(2019宁波市高考模拟)已知函数f(x)asin 2x(a1)cos 2x，aR，则函数f(x)的最小正周期为_，振幅的最小值为_解析：函数f(x)asin 2x(a1)cos 2x，aR，化简可得：f(x)sin(2x)sin(2x)，其tan .函数f(x)的最小正周期T.振幅为 ，当a时，可得振幅的最小值.答案：10已知0，sin cos ，则s
13、in cos _解析：sin cos ，平方可得sin22sin cos cos2，即2sin cos ，因为(sin cos )212sin cos ，又0，所以sin 0，所以sin cos 0，所以sin cos .答案：11已知f(x)sin 2xcos 2x，若对任意实数x，都有|f(x)|m，则实数m的取值范围是_解析：因为f(x)sin 2xcos 2x2sin，x，所以，所以2sin(，1，所以|f(x)|0)，若方程f(x)1在(0，)上有且只有四个实数根，则实数的取值范围为_解析：因为f(x)2sin，方程2sin1在(0，)上有且只有四个实数根，即sin在(0，)上有且只
14、有四个实数根设tx，因为0x，所以t，所以，解得.答案：14(2019温州市高考数学模拟)设奇函数f(x)，则ac的值为_，不等式f(x)f(x)在x，上的解集为_解析：因为f(x)是奇函数，所以f(0)0，即f(0)acos 0sin 0cac0，即ac0，则f(x)，若x0，则x0，则f(x)acos xsin xacos xbsin xa，则a1，b，c1.则f(x)，若0x，则由f(x)f(x)得cos xsin x1cos xsin x1，即cos xsin x1，即cos，因为0x，所以x，则x，即x.若x0，则由f(x)f(x)得cos xsin x1cos xsin x1，即c
15、os xsin x1，即cos，因为x0，所以x，则x，即x0，综上不等式的解集为.答案：015(2019台州市高三期末评估)已知函数f(x)sin(x)的最小正周期为，且x为f(x)图象的一条对称轴(1)求和的值；(2)设函数g(x)f(x)f，求g(x)的单调递减区间解：(1)因为f(x)sin(x)的最小正周期为，由T，所以2，由2xk，kZ，所以f(x)的图象的对称轴为x，kZ.由，得k.又|，则.(2)函数g(x)f(x)fsinsin 2xsin 2xcos 2xsin 2xsin.所以g(x)的单调递减区间为，kZ.16(2019宁波诺丁汉大学附中高三期中)已知函数f(x)sin
16、(xR，0)的图象如图，P是图象的最高点，Q是图象的最低点，且|PQ|.(1)求函数yf(x)的解析式；(2)将函数yf(x)的图象向右平移1个单位后得到函数yg(x)的图象，当x0，2时，求函数h(x)f(x)g(x)的最大值解：(1)过P作x轴的垂线PM，过Q作y轴的垂线QM，则由已知得|PM|2，|PQ|，由勾股定理得|QM|3，所以T6，又T，所以，所以函数yf(x)的解析式为f(x)sin.(2)将函数yf(x)图象向右平移1个单位后得到函数yg(x)的图象，所以g(x)sinx.函数h(x)f(x)g(x)sinsin xsin2xsinxcos xsin xsin.当x0，2时，
17、x，所以当x，即x1时，h(x)max.17(2019“绿色联盟”模拟)已知函数f(x)sin x(cos xsin x)(1)求f(x)的最小正周期；(2)若关于x的方程f(x)t在区间内有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围解：(1)f(x)sin 2xcos 2xsin，故函数f(x)的最小正周期为T.(2)关于x的方程f(x)t在区间内有两个不相等的实数解，等价于yf(x)与yt的图象在区间内有两个不同的交点因为x，所以2x.因为ysin x在上是增函数，在上是减函数，所以f(x)在上是增函数，在上是减函数又因为f(0)0，f1，f，所以t1，故实数t的取值范围为.18已知定义在区间
18、上的函数yf(x)的图象关于直线x对称，当x时，f(x)sin x.(1)作出yf(x)的图象；(2)求yf(x)的解析式；(3)若关于x的方程f(x)a有解，将方程中的a取一确定的值所得的所有解的和记为Ma，求Ma的所有可能的值及相应的a的取值范围解：(1)yf(x)的图象如图所示(2)任取x，则x，因为函数yf(x)的图象关于直线x对称，则f(x)f，又当x时，f(x)sin x，则f(x)fsincos x，即f(x)(3)当a1时，f(x)a的两根为0，则Ma；当a时，f(x)a的四根满足x1x2x3x4，由对称性得x1x20，x3x4，则Ma；当a时，f(x)a的三根满足x1x2x3，由对称性得x3x1，则Ma；当a时，f(x)a的两根为x1，x2，由对称性得Ma.综上，当a时，Ma；当a时，Ma；当a1时，Ma.