1、第1讲集合、常用逻辑用语集合的概念及运算核心提炼1集合的运算性质及重要结论(1)AAA,AA,ABBA;(2)AAA,A,ABBA;(3)A(UA),A(UA)U;(4)ABAAB,ABABA.2集合运算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集,用数轴求解;(2)若已知的集合是点集,用数形结合法求解;(3)若已知的集合是抽象集合,用Venn图求解典型例题 (1)(2018高考浙江卷)已知全集U1,2,3,4,5,A1,3,则UA()AB1,3C2,4,5D1,2,3,4,5(2)(2019高考浙江卷)已知全集U1,0,1,2,3,集合A0,1,2,B1,0,1,则B()A1B0,1C1,2
2、,3D1,0,1,3(3)(2019金华模拟)已知集合U1,2,3,4,5,6,S1,2,5,T2,3,6,则S(UT)_,集合S共有_个子集【解析】(1)因为U1,2,3,4,5,A1,3,所以UA2,4,5,故选C.(2)由题意可得UA1,3,则(UA)B1故选A.(3)集合U1,2,3,4,5,6,S1,2,5,T2,3,6,所以UT1,4,5,所以S(UT)1,5,S1,2,5的子集的个数为238.【答案】(1)C(2)A(3)1,58集合的运算与不等式相结合问题求解策略解决此类问题的思路主要有两个:一是直接法,即先化简后运算,也就是先解不等式求出对应集合,然后利用数轴表示,从而求得集
3、合运算的结果;二是间接法,由于此类问题多以选择题的形式进行考查,故可根据选项的差异性选取特殊元素进行验证,排除干扰项从而得到正确选项 对点训练1(2019宁波市高考模拟)已知全集UAB,A(UB),则B()A. B.C. D.解析:选C.因为UAB,又因为A(UB),所以B,故选C.2(2019温州二模)已知集合Ax|x1|2,Bx|0x4,则(RA)B()Ax|0x3Bx|3x4Cx|3x4Dx|3x0解析:选C.Ax|1x3,画数轴可知,(RA)Bx|349成立,则当k8时,均有f(k)0,b0,则“ab4”是“ab4”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要
4、条件(2)(2018高考浙江卷)已知平面,直线m,n满足m,n,则“mn”是“m”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解析】(1)通解:因为a0,b0,所以ab2,由ab4可得24,解得ab4,所以充分性成立;当ab4时,取a8,b,满足ab4,但ab4,所以必要性不成立所以“ab4”是“ab4”的充分不必要条件故选A.优解:在同一直角坐标系内作出函数b4a,b的图象,如图所示,则不等式ab4与ab4表示的平面区域分别是直线ab4及其左下方(第一象限中的部分)与曲线b及其左下方(第一象限中的部分),易知当ab4成立时,ab4成立,而当ab4成立时,ab4
5、不一定成立故选A.(2)若m,n,mn,由线面平行的判定定理知m.若m,m,n,不一定推出mn,直线m与n可能异面,故“mn”是“m”的充分不必要条件故选A.【答案】(1)A(2)A判断充分、必要条件时应关注的三点(1)要弄清先后顺序:“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,且A不能推出B;而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B,且B不能推出A.(2)要善于举出反例:当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时,可以通过举出恰当的反例来说明(3)要注意转化:p是q的必要不充分条件p是q的充分不必要条件;p是q的充要条件p是q的充要条件 对点训练1已知等差数列an的公差为d,前n项和
6、为Sn,则“d0”是“S4 S62S5”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析:选C.因为an为等差数列,所以S4S64a16d6a115d10a121d,2S510a120d,S4S62S5d,所以d0S4S62S5,故选C.2(2019高三“吴越联盟”)已知a,bR,则使|a|b|4成立的一个充分不必要条件是()A|a|b|4B|a|4C|a|2且|b|2Db4解析:选D.由b4,但由|a|b|4得不到b4,如a1,b5.3设a,b,c,d均为正数,且abcd,证明:“”是“|ab|cd|”的充要条件证明:充分性:因为,则()2()2,即ab2cd2
7、.因为abcd,所以abcd,于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|cd|.必要性:因为|ab|cd|,则(ab)2(cd)2,即(ab)24ab(cd)24cd.因为abcd,所以abcd,所以()2()2,即.综上,“”是“|ab|cd|”的充要条件专题强化训练基础达标1已知集合PxR|1x3,QxR|x24,则P(RQ)()A2,3B(2,3C1,2)D(,21,)解析:选B.由于Qx|x2或x2,RQx|2x2,故得P(RQ)x|2x3故选B.2(2019金华模拟)已知集合Ay|ylog2x,x2,By|y,x1,则AB()A(1,)B.C.D.解析:选
8、A.法一:因为Ay|ylog2x,x2y|y1,By|y,x1y|y,所以ABy|y1,故选A.法二:取2AB,则由2A,得log2x2,解得x42,满足条件,同时由2B,得2,x1,满足条件,排除选项B,D;取1AB,则由1A,得log2x1,解得x2,不满足x2,排除C,故选A.3(2019温州市统一模拟考试)已知集合A1,2,3,Bx|x23xa0,aA,若AB,则a的值为()A1B2C3D1或2解析:选B.当a1时,B中元素均为无理数,AB;当a2时,B1,2,AB1,2;当a3时,B,则AB,故a的值为2,选B.4(2019湖北七市(州)协作体联考)已知a,b为两个非零向量,设命题p
9、:|ab|a|b|,命题q:a与b共线,则命题p是命题q成立的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析:选C.|ab|a|b|a|b|cosa,b|a|b|cosa,b1ab,故是充要条件,选C.5(2019衢州质检)已知全集U为R,集合Ax|x216,Bx|ylog3(x4),则下列关系正确的是()AABRBA(UB)RC(UA)BRDA(UB)A解析:选D.因为Ax|4x4,所以UBx|x4,所以A(UB)A,故选D.6“不等式x2xm0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是()AmB0m1Cm0Dm1解析:选C.若不等式x2xm0在R上恒成立,则(1)2
10、4m0,解得m,因此当不等式x2xm0在R上恒成立时,必有m0,但当m0时,不一定推出不等式在R上恒成立,故所求的必要不充分条件可以是m0,故选C.7设an是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q0”是“对任意的正整数n,a2n1a2n0),a2n1a2na1q2n2a1q2n1a1q2n2(1q)若q0,因为1q的符号不确定,所以无法判断a2n1a2n的符号;反之,若a2n1a2n0,即a1q2n2(1q)0,可得q10.故“q0”是“对任意的正整数n,a2n1a2n1,则x21”的否命题B命题“若xy,则x|y|”的逆命题C命题“若x1,则x2x20”的否命题D命题“若tan x,则x”的
11、逆否命题解析:选B.对于选项A,命题“若x1,则x21”的否命题为“若x1,则x21”,易知当x2时,x241,故选项A为假命题;对于选项B,命题“若xy,则x|y|”的逆命题为“若x|y|,则xy”,分析可知选项B为真命题;对于选项C,命题“若x1,则x2x20”的否命题为“若x1,则x2x20”,易知当x2时,x2x20,故选项C为假命题;对于选项D,命题“若tan x,则x”的逆否命题为“若x,则tan x”,易知当x时,tan x,故选项D为假命题综上可知,选B.9(2019浙江五校联考模拟)已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,下列命题不正确的是()A平面ACB1平面A1C
12、1D,且两平面的距离为B点P在线段AB上运动,则四面体PA1B1C1的体积不变C与所有12条棱都相切的球的体积为DM是正方体的内切球的球面上任意一点,N是AB1C外接圆的圆周上任意一点,则|MN|的最小值是解析:选D.A.因为AB1DC1,ACA1C1,且ACAB1A,所以平面ACB1平面A1C1D,正方体的体对角线BD1,设B到平面ACB1的距离为h,则VBAB1C111h,即h,则平面ACB1与平面A1C1D的距离d2h2,故A正确B点P在线段AB上运动,则四面体PA1B1C1的高为1,底面积不变,则体积不变,故B正确,C与所有12条棱都相切的球的直径2R等于面的对角线B1C,则2R,R,
13、则球的体积VR3()3,故C正确D设正方体的内切球的球心为O,正方体的外接球的球心为O,则三角形ACB1的外接圆是正方体的外接球O的一个小圆,因为点M在正方体的内切球的球面上运动,点N在三角形ACB1的外接圆上运动,所以线段MN长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的内切球的半径,因为正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,所以线段MN长度的最小值是.故D错误故选D.10设A是自然数集的一个非空子集,对于kA,如果k2A,且A,那么k是A的一个“酷元”,给定SxN|ylg(36x2),设MS,集合M中有两个元素,且这两个元素都是M的“酷元”,那么这样的集合M有()A3个B4个C5个D6
14、个解析:选C.由36x20可解得6x6,又xN,故x可取0,1,2,3,4,5,故S0,1,2,3,4,5由题意可知:集合M不能含有0,1,且不能同时含有2,4.故集合M可以是2,3,2,5,3,5,3,4,4,511设P,Q为两个非空实数集合,定义集合P*Qz|zab,aP,bQ,若P1,2,Q1,0,1,则集合P*Q中元素的个数为_解析:法一(列举法):当b0时,无论a取何值,zab1;当a1时,无论b取何值,ab1;当a2,b1时,z21;当a2,b1时,z212.故P*Q,该集合中共有3个元素法二:(列表法):因为aP,bQ,所以a的取值只能为1,2;b的取值只能为1,0,1.zab的
15、不同运算结果如下表所示:ba1011111212由上表可知P*Q,显然该集合中共有3个元素答案:312(2019温州瑞安高考数学模拟)设全集U1,2,3,4,5,6,A1,2,B2,3,4,则A(UB)_,(UA)B_解析:因为U1,2,3,4,5,6,UB1,5,6,UA3,4,5,6,所以A(UB)1,21,5,61,(UA)B3,4,5,62,3,42,3,4,5,6答案:12,3,4,5,613给出命题:若函数yf(x)是幂函数,则函数yf(x)的图象不过第四象限在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是_解析:易知原命题是真命题,则其逆否命题也是真命题,而逆命题、否命题
16、是假命题答案:114一次函数f(x)kxb(k0)是奇函数的充分必要条件是_解析:必要性:因为f(x)kxb(k0)是奇函数,所以f(x)f(x),即k(x)b(kxb),所以b0.充分性:如果b0,那么f(x)kx,因为f(x)k(x)kx,所以f(x)f(x),所以f(x)为奇函数答案:b015A1,2,3,BxR|x2axb0,aA,bA,则ABB的概率是_解析:有序实数对(a,b)的取值情形共有9种,满足ABB的情形有:(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3),此时B;(2,1),此时B1;(3,2),此时B1,2所以ABB的概率为P.答案:16设集合Ax
17、|x24x0,xR,Bx|x22(a1)xa210,aR,xR,若BA,则实数a的取值范围为_解析:因为A0,4,所以BA分以下三种情况:(1)当BA时,B0,4,由此知0和4是方程x22(a1)xa210的两个根,由根与系数之间的关系,得解得a1.(2)当BA时,B0或B4,并且4(a1)24(a21)0,解得a1,此时B 0满足题意(3)当B时,4(a1)24(a21)0,解得a1.综上所述,所求实数a的取值范围为(,11答案:(,1117函数g(x)其中P,M为实数集R的两个非空子集,规定f(P)y|yg(x),xP,f(M)y|yg(x),xM给出下列四个命题:若PM,则f(P)f(M
18、);若PM,则f(P)f(M);若PMR,则f(P)f(M)R;若PMR,则f(P)f(M)R.其中命题不正确的有_解析:若P1,M1,则f(P)1,f(M)1,则f(P)f(M),故错若P1,2,M1,则f(P)1,2,f(M)1,则f(P)f(M).故错若P非负实数,M负实数,则f(P)非负实数,f(M)正实数,则f(P)f(M)R,故错若P非负实数,M正实数,则f(P)非负实数,f(M)负实数,则f(P)f(M)R,故错答案:能力提升1已知集合Py|y()x,x0,Qx|ylg(2xx2),则PQ为()A(0,1 B C(0,2) D0解析:选A.由已知得,因为x0,且0()x()01,
19、所以P(0,1,又因为2xx200x2,所以Q(0,2),因此PQ(0,1,故选A.2已知zm21(m23m2)i(mR,i为虚数单位),则“m1”是“z为纯虚数”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析:选C.由题意,当m1时,z的实部为(1)210,虚部为(1)23(1)26,此时z为纯虚数,即充分性成立;当z为纯虚数时,有m1,即必要性成立,故选C.3集合Ax|yln(1x),Bx|x22x30,全集UAB,则U(AB)()Ax|x1或x1 Bx|1x3或x1Cx|x1或x1 Dx|1x3或x1解析:选B.集合Ax|yln(1x)x|1x0x|x
20、1,Bx|x22x30x|(x1)(x3)0x|1x3,所以UABx|x3,所以ABx|1x1;所以U(AB)x|1x3或x1故选B.4若xR,则“x1”是“1”的()A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分也非必要条件解析:选A.由x1,一定能得到1,但当1时,不能推出x1(如x1时),故“x1”是“1”的充分非必要条件5下面四个条件中,使ab成立的必要而不充分的条件是()Aa1bBa1bC|a|b|Da3b3解析:选B.“ab”不能推出“a1b”,故选项A不是“ab”的必要条件,不满足题意;“ab”能推出“a1b”,但“a1b”不能推出“ab”,故满足题意;“ab”不能推出
21、“|a|b|”,故选项C不是“ab”的必要条件,不满足题意;“ab”能推出“a3b3”,且“a3b3”能推出“ab”,故是充要条件,不满足题意6(2019绍兴质检)已知集合Ax|x2或x1,Bx|x2或x0,则(RA)B()A(2,0)B2,0)CD(2,1)解析:选B.因为集合Ax|x2或x1,所以RAx|2x1,集合Bx|x2或x0,所以(RA)Bx|2x02,0),故选B.7对于两条不同的直线m,n和两个不同的平面,以下结论正确的是()A若m,n,m,n是异面直线,则,相交B若m,m,n,则nC若m,n,m,n共面于,则mnD若m,n,不平行,则m,n为异面直线解析:选C.A.时,m,n
22、,m,n是异面直线,可以成立,故A错误;B.若m,m,则,因为n,则n或n,故B错误;C.利用线面平行的性质定理,可得C正确;D.若m,n,不平行,则m,n为异面直线或相交直线,故D不正确,故选C.8已知f(x)ax2bx,其中1a0,b0,则“存在x0,1,|f(x)|1”是“ab1”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析:选C.因为f(x)ax2bx,所以ab1f(1)1.因为存在x0,1,|f(x)|1,所以|f(x)|max1.因为1a0,b0,所以函数f(x)的对称轴x0.计算:f(0)0,f(1)ab,f()0.f(1)1,所以f()1,反之也成
23、立,若b24a,则b4a1a.所以“存在x0,1,|f(x)|1”是“ab1”的充要条件9已知全集UR,集合Ax|x(x2)0,Bx|x|1,则如图所示的阴影部分表示的集合是()A(2,1)B1,01,2)C(2,1)0,1D0,1解析:选C.因为集合Ax|x(x2)0,Bx|x|1,所以Ax|2x0,Bx|1x1,所以AB(2,1,AB1,0),所以阴影部分表示的集合为AB(AB)(2,1)0,1,故选C.10已知各项均不为零的数列an,定义向量cn(an,an1),bn(n,n1),nN*.下列命题中真命题是()A若任意nN*总有cnbn成立,则数列an是等比数列B若任意nN*总有cnbn
24、成立,则数列an是等比数列C若任意nN*总有cnbn成立,则数列an是等差数列D若任意nN*总有cnbn成立,则数列an是等差数列解析:选D.cnbncnbnnan(n1)an10,即;所以数列an既不是等比数列又不是等差数列;cnbn(n1)annan10,即;所以n(n2),即anna1.所以数列an是等差数列11已知A 0,1,2,B1,3,记:ABab|aA,bB,试用列举法表示AB_解析:因为aA,bB,所以当a0时,ab1或3,当a1时,ab0或4,当a2时,ab1或5,所以AB1,0,1,3,4,5答案:1,0,1,3,4,512设集合A1,2,4,Bx|x24xm0,若AB1,
25、则B_解析:因为AB1,所以1B,所以1是方程x24xm0的根,所以14m0,m3,方程为x24x30,又因它的解为x1或x3,所以B1,3答案:1,313已知集合AxR|x2|3,集合BxR|(xm)(x2)0,且AB(1,n),则m_,n_解析:AxR|x2|3xR|5x1,由AB(1,n),可知m1,则Bx|mx3(xm)”是“q:x23x43(xm)x|(xm)(xm3)0x|xm3,Qx|x23x40x|(x4)(x1)0x|4x1;若Sn为数列an的前n项和,则此数列的通项公式anSnSn1(n1)解析:命题:由数列an是等差数列,设其公差为d,则anan1d(n2)(),又数列an是等比数列,设其公比为q,则anqan1(n2)(),把()代入()得:qan1an1(q1)an1d(n2),要使(q1)an1d(n2)对数列中“任意项”都成立,则需q1d0,也就是q1,d0.所以数列an为非零常数列,故不正确;命题:由正弦定理可把sin2Asin2Bsin2C转化为a2b2c2,由余弦定理得cos C0,所以三角形为直角三角形,故正确;命题:若A、B是锐角三角形的两内角,则tan A0,tan B0,AB,则tan(AB)1,故正确;命题:若Sn为数列an的前n项和,则此数列的通项公式an,故不正确故正确的命题为:.答案: