1、专题强化训练1(2019衢州市高三数学质量检测)已知函数f(x)ln xax2(1a)x1.(1)当a1时，求函数f(x)在x2处的切线方程；(2)求函数f(x)在x1，2时的最大值解：(1)当a1时，f(x)ln xx21，所以f(x)x，所以f(2)，即k切，已知切点为(2，1ln 2)，所以切线的方程为：yx2ln 2.(2)因为f(x)(1x2)，当a0时，f(x)0在x1，2恒成立，所以f(x)在x1，2单调递增，所以fmax(x)f(2)4a3ln 2；当0a时，f(x)在x1，2单调递增，所以fmax(x)f(2)4a3ln 2；当a1时，f(x)在x1，单调递增，在x，2单调递
2、减，所以fmax(x)f()ln a；当a1时，f(x)在x1，2单调递减，所以fmax(x)f(1)a2，综上所述fmax(x).2(2019绍兴、诸暨市高考二模)已知函数f(x)xexa(x1)(aR)(1)若函数f(x)在x0处有极值，求a的值与f(x)的单调区间；(2)若存在实数x0(0，)，使得f(x0)0，求实数a的取值范围解：(1)f(x)(x1)exa，由f(0)0，解得：a1，故f(x)(x1)ex1，令f(x)0，解得：x0，令f(x)0，解得：x0，故f(x)在(，0)单调递减，在(0，)单调递增(2)若f(x)0在x(0，)上有解，即xexa(x1)，a在x(0，)上有
3、解，设h(x)，x(0，)，则h(x)0，故h(x)在(0，)单调递减，h(x)在(0，)的值域是(，0)，故ah(0)0.3(2019兰州市实战考试)已知函数f(x)ln xax1(aR)(1)当0a时，讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)x22bx4.当a时，若对任意x1(0，2)，存在x21，2，使f(x1)g(x2)，求实数b的取值范围解：(1)因为f(x)ln xax1，所以f(x)a，x(0，)，令f(x)0，可得两根分别为1，1，因为0a10，当x(0，1)时，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x时，f(x)0，函数f(x)单调递减(2)a，13(0，2)，由(1)知，当x(
4、0，1)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，所以f(x)在(0，2)上的最小值为f(1).对任意x1(0，2)，存在x21，2，使f(x1)g(x2)等价于g(x)在1，2上的最小值不大于f(x)在(0，2)上的最小值，(*)又g(x)(xb)24b2，x1，2，所以，当b0，此时与(*)矛盾；当1b2时，g(x)min4b20，同样与(*)矛盾；当b2时，g(x)ming(2)84b，且当b2时，84b88ln 2；(2)若a34ln 2，证明：对于任意k0，直线ykxa与曲线yf(x)有唯一公共点证明：(1)函数f(x)的导函数f(x)，由f(x1)f(x2)得，因为x1x2，所以.由基
5、本不等式得2，因为x1x2，所以x1x2256.由题意得f(x1)f(x2)ln x1ln x2ln(x1x2)设g(x)ln x，则g(x)(4)，所以 x(0，16)16(16，)g(x)0g(x)24ln 2所以g(x)在256，上单调递增，故g(x1x2)g(256)88ln 2，即f(x1)f(x2)88ln 2.(2)令me(|a|k)，n1，则f(m)kma|a|kka0，f(n)knann0，直线ykxa与曲线yf(x)有唯一公共点5(2019绍兴市高三教学质量调测)已知函数f(x)x3ax23xb(a，bR)(1)当a2，b0时，求f(x)在0，3上的值域；(2)对任意的b，
6、函数g(x)|f(x)|的零点不超过4个，求a的取值范围解：(1)由f(x)x32x23x，得f(x)x24x3(x1)(x3)当x(0，1)时，f(x)0，故f(x)在(0，1)上单调递增；当x(1，3)时，f(x)0，故f(x)在(1，3)上单调递减又f(0)f(3)0，f(1)，所以f(x)在0，3上的值域为0，(2)由题得f(x)x22ax3，4a212，当0，即a23时，f(x)0，f(x)在R上单调递增，满足题意当0，即a23时，方程f(x)0有两根，设两根为x1，x2，且x1x2，x1x22a，x1x23.则f(x)在(，x1)，(x2，)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减由
7、题意知|f(x1)f(x2)|，即|a(xx)3(x1x2)|.化简得(a23)，解得3a24，综合，得a24，即2a2.6(2019台州市高考一模)已知函数f(x)1，g(x)bx(e为自然对数的底数)，若曲线yf(x)与曲线yg(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直(1)求a，b的值；(2)求证：当x1时，f(x)g(x).解：(1)因为f(x)1，所以f(x)，f(1)1.因为g(x)bx，所以g(x)b.因为曲线yf(x)与曲线yg(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直，所以g(1)1，且f(1)g(1)1，即g(1)a1b1，g(1)a1b1，
8、解得a1，b1.(2)证明：由(1)知，g(x)x，则f(x)g(x)1x0.令h(x)1x(x1)，则h(x)11.因为x1，所以h(x)10，所以h(x)在1，)上单调递增，所以h(x)h(1)0，即1x0，所以当x1时，f(x)g(x).7(2019宁波市镇海中学高考模拟)设函数f(x)k(ln x)(k为常数，e2.718 28是自然对数的底数)(1)当k0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点，求k的取值范围解：(1)f(x)的定义域为(0，)，所以f(x)k()(x0)，当k0时，kx0，所以exkx0，令f(x)0，则x2，所以当0x2时，
9、f(x)0，f(x)单调递减；当x2时，f(x)0，f(x)单调递增，所以f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，)(2)由(1)知，k0时，函数f(x)在(0，2)内单调递减，故f(x)在(0，2)内不存在极值点；当k0时，设函数g(x)exkx，x(0，)因为g(x)exkexeln k，当0k1时，当x(0，2)时，g(x)exk0，yg(x)单调递增，故f(x)在(0，2)内不存在两个极值点；当k1时，得x(0，ln k)时，g(x) 0，函数yg(x)单调递减，x(ln k，)时，g(x)0，函数yg(x)单调递增，所以函数yg(x)的最小值为g(ln k)k(1ln
10、 k)函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点，当且仅当，解得：ek综上所述，函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点时，k的取值范围为(e，)8(2019杭州市学军中学高考模拟)已知函数f(x)ax3bx2x(a，bR)(1)当a2，b3时，求函数f(x)极值；(2)设ba1，当0a1时，对任意x0，2，都有m|f(x)|恒成立，求m的最小值解：(1)当a2，b3时，f(x)x3x2x，f(x)2x23x1(2x1)(x1)，令f(x)0，解得：x1或x，令f(x)0，解得：x1，故f(x)在(，)单调递增，在(，1)单调递减，在(1，)单调递增，故f(x)极大值f()，f(x)极小值f(1
11、).(2)当ba1时，f(x)ax3(a1)x2x，f(x)ax2(a1)x1，f(x)恒过点(0，1)；当a0时，f(x)x1，m|f(x)|恒成立，所以m1；0a1，开口向上，对称轴1，f(x)ax2(a1)x1a(x)21，当a1时f(x)x22x1，|f(x)|在x0，2的值域为0，1；要m|f(x)|，则m1；当0a1时，根据对称轴分类：当x2，即a1时，(a1)20，f()(a)(，0)，又f(2)2a11，所以|f(x)|1；当x2，即0a；f(x)在x0，2的最小值为f(2)2a1；12a1，所以|f(x)|1，综上所述，要对任意x0，2都有m|f(x)|恒成立，有m1，所以m1.
