1、22.3 相似三角形的性质一、精心选一选1若两个相似多边形的面积之比为1：3，则它们的周长之比为（ ）A.1:3 B.3:1 C.:3 D. :12在ABC中，D、E为边AB、AC的中点，已知ADE的面积为4，那么ABC的面积是（ ）A.8 B.12 C.16 D.203如果一个三角形保持形状不变，但面积扩大为原来的4倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的（ ）A.2倍 B.4倍 C.8倍 D.16倍4如图，ABC中，点D在线段BC上，且ABCDBA，则下列结论一定正确的是（ ）A.AB2BCBD B.AB2ACBD C.ACBDABAD D.ABACADBC 第4题图 第5题图 第6题图 第7
2、题图5如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD相交于点O，设OCD的面积为m，OEB的面积为，则下列结论中正确的是（ ）A.m5 B.m4 C.m3 D.m106如图，D、E分别是ABC的边AB、BC上的点，DEAC，若SBDE：SCDE1：3，则SDOE：SAOC的值为（ ）A. B. C. D.7如图，在等边ABC中，点D为边BC上一点，点E为边AC上一点，且ADE60，BD4，CE，则ABC的面积为（ ）A.8 B.15 C.9 D.128如图，D是等边ABC边AB上的一点，且AD：DB1：2，现将ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上，则CE
3、：CF（ ）A. B. C. D. 第8题图 第9题图 第10题图9如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达E处（即CE3米），测得自己影子EF的长为2米，已知小明的身高为1.5米，那么路灯A的高度AB是（ ）A.4.5米 B.6米 C.7.2米 D.8米10.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BEAC于点F，连接DF，给出下列四个结论：AEFCAB；CF2AF；DFDC；SABF：S四边形CDEF2：5，其中正确的结论有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、细心填一填11.已知ABCDEF，若ABC与DEF的相似比为2：
4、3，则ABC与DEF对应边上的中线的比为_.12.若两个相似三角形的周长之比为2：3，则它们的面积之比是_.13.如图，ABC和A1B1C1均在44的正方形网格图（每个小正方形的边长都为1）中，ABC与A1B1C1的顶点都在网格线的交点处，如果ABCA1B1C1，那么ABC与A1B1C1的相似比是_. 14.如图，在RtABC中，ACB90，将ABC沿BD折叠，点C恰好落在AB上的点 处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在D的延长线上的处.若BEDABC，则BED与ABC的相似比是_.15.如图，在一块直角三角板ABC中，C90，A30，BC1，将另一个含30角的EDF的30角的顶点D放
5、在AB边上，E、F分别在AC、BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB垂直，若CEF与DEF相似，则AD_.16.如图，已知在RtOAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y（k0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD.若OCDACO，则直线OA的解析式为_.三、解答题17.已知：如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，E是BO的中点，连接AE并延长交BC于点F，求BEF与DEA的周长之比.18.已知，如图，在梯形ABCD中，ADBC，对角线AC与BD相交于点O.若，SBOCm.试求AOD的面积.19.如图，在ABC中，点P是BC
6、边上任意一点（点P与点B，C不重合），平行四边形AFPE的顶点F，E分别在AB，AC上已知BC2，SABC1设BPx，平行四边形AFPE的面积为y（1）求y与x的函数关系式；（2）上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x取何值时，y有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由20.已知：如图，在RtABC中，BAC90，ADBC于D，E为直角边AC的中点，过D，E作直线交AB的延长线于F.求证：.21.已知，如图，在ABC中，P是边AB上一点，ADCP，BECP，垂足分别为D、E，AC3，BC3，BE5，DC.求证：（1）RtACDRtCBE；（2）ACBC.22.如图，在平行四边形ABCD中，
7、对角线AC、BD相交于点O，点E、F是AD上的点，且AEEFFD连接BE、BF，使它们分别与AO相交于点G、H（1）求EG：BG的值；（2）求证：AGOG；（3）设AGa，GHb，HOc，求a：b：c的值23.如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接GA、GB、GC、GD、EF，若AGDBGC. 图1 图2（1）求证：ADBC；（2）求证：AGDEGF；（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值.22.3相似三角形的性质课时练习题参考答案一、精心选一选题号12345678910答案CCABBDCBBD1若两
8、个相似多边形的面积之比为1：3，则它们的周长之比为（ ）A.1:3 B.3:1 C.:3 D. :1解答：根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，得它们的周长之比，故选：C.2在ABC中，D、E为边AB、AC的中点，已知ADE的面积为4，那么ABC的面积是（ ）A.8 B.12 C.16 D.20解答：如图，D、E为边AB、AC的中点，DE为ABC的中位线，DEBC，DEBC，ADEABC，()2()2，SABC16，故选：C.3如果一个三角形保持形状不变，但面积扩大为原来的4倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的（ ）A.2倍 B.4倍 C.8倍 D.16倍解答：由题意知
9、：这两个三角形的面积之比等于4:1，则它们的相似比为2：1，因此边长扩大到原来的2倍，故选：A.4如图，ABC中，点D在线段BC上，且ABCDBA，则下列结论一定正确的是（ ）A.AB2BCBD B.AB2ACBD C.ACBDABAD D.ABACADBC解答：ABCDBA，AB2BCBD，ACBDABAD，ABACADBC，故选：B.5如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD相交于点O，设OCD的面积为m，OEB的面积为，则下列结论中正确的是（ ）A.m5 B.m4 C.m3 D.m10解答：ABCD，OCDOEB，又E是AB的中点，2EBABCD，()2，即()2，解得：
10、m4，故选：B.6如图，D、E分别是ABC的边AB、BC上的点，DEAC，若SBDE：SCDE1：3，则SDOE：SAOC的值为（ ）A. B. C. D.解答：SBDE：SCDE1：3，BE：EC1：3，BE：BC1：4，DEAC，DOEAOC，SDOE：SAOC()2，故选：D.7如图，在等边ABC中，点D为边BC上一点，点E为边AC上一点，且ADE60，BD4，CE，则ABC的面积为（ ）A.8 B.15 C.9 D.12解答：ABC是等边三角形，ADE60，BCADE60，ABAC，ADBDAC+C，DECADE+DAC，ADBDEC，ADBDCE，设ABx，则DCx4，解得：x6，即
11、AB6，过点A作AFBC于F，则BFAB3，在RtABF中，AF3，SABCBCAF639，故选：C.8如图，D是等边ABC边AB上的一点，且AD：DB1：2，现将ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上，则CE：CF（ ）A. B. C. D.解答：设ADk，则DB2k，ABC为等边三角形，ABAC3k，ABCEDF60，EDA+FDB120，又FDB+AED120，FDBAED，AEDBDF，设CEx，则EDx，AE3kx，设CFy，则DFy，FB3ky，CE：CF4：5，故选：B.9如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米，他继续
12、往前走3米到达E处（即CE3米），测得自己影子EF的长为2米，已知小明的身高为1.5米，那么路灯A的高度AB是（ ）A.4.5米 B.6米 C.7.2米 D.8米解答：由题意知：MCAB，DCMDAB，即，NEAB，FNEFAB，即，解得：BC3，解得：AB6，即路灯A的高度AB为6米，故选：B.10.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BEAC于点F，连接DF，给出下列四个结论：AEFCAB；CF2AF；DFDC；SABF：S四边形CDEF2：5，其中正确的结论有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解答：过D作DMBE交AC于N，四边形ABCD是矩形，ADBC，ABC90，AD
13、BC，BEAC于点F，EACACB，ABCAFE90，AEFCAB，故正确；ADBC，AEFCBF，AEADBC，CF2AF，故正确，DEBM，BEDM，四边形BMDE是平行四边形，BMDEBC，BMCM，CNNF，BEAC于点F，DMBE，DNCF，DFDC，故正确；AEFCBF，SAEFSABF，SABFS矩形ABCD，SAEFS矩形ABCD，又S四边形CDEFSACDSAEFS矩形ABCDS矩形ABCDS矩形ABCD，SABF：S四边形CDEF2：5，故正确；故选：D二、细心填一填11. 2：3； 12. 4：9； 13. ：1； 14. ； 15. 或； 16. y2x； 11.已知A
14、BCDEF，若ABC与DEF的相似比为2：3，则ABC与DEF对应边上的中线的比为_.解答：ABC与DEF的相似比为2：3，ABC与DEF对应边上的中线的比为2：3，故答案为：2：3.12.若两个相似三角形的周长之比为2：3，则它们的面积之比是_.解答：这两个相似三角形的周长之比为2：3，它们的相似比为2：3，它们的面积之比为4：9，故答案为：4：9.13.如图，ABC和A1B1C1均在44的正方形网格图（每个小正方形的边长都为1）中，ABC与A1B1C1的顶点都在网格线的交点处，如果ABCA1B1C1，那么ABC与A1B1C1的相似比是_.解答：由图可知：AC与A1C1是对应边，A1C11，
15、再由勾股定理得：AC，AC：A1C1：1，即ABC与A1B1C1的相似比是：1，故答案为：1.14.如图，在RtABC中，ACB90，将ABC沿BD折叠，点C恰好落在AB上的点 处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在D的延长线上的处.若BEDABC，则BED与ABC的相似比是_.解答：BEDABC，DBAA，又DBADBC，ADBADBC30，设BC为x，则ACx，BDx， ，即BED与ABC的相似比是，故答案为：15.如图，在一块直角三角板ABC中，C90，A30，BC1，将另一个含30角的EDF的30角的顶点D放在AB边上，E、F分别在AC、BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与
16、AB垂直，若CEF与DEF相似，则AD_.解答：EDF30，EDAB于D，FDBB60，BDF是等边三角形；BC1，AB2；BDBF，2AD1CF；ADCF+1若FED90，CEFEDF， 则，即，解得，CF；AD+1；若EFD90，CEFFED， 则，即；解得，CF；AD+1故答案为：或16.如图，已知在RtOAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y（k0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD.若OCDACO，则直线OA的解析式为_.解答：设OCa，点D在y上，CD，OCDACO，AC，点A（a，），点B是OA的中点，点B的坐标为（，），点B在反比例
17、函数图象上，k，a44k2，解得，a22k，点B的坐标为（，a），设直线OA的解析式为ymx，则ma，解得m2，所以，直线OA的解析式为y2x故答案为：y2x三、解答题17.已知：如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O， E是BO的中点，连接AE并延长交BC于点F，求BEF与DEA的周长之比.解答：四边形ABCD是平行四边形，BODOBD，E是BO的中点，BEEOBOBD，EDEO+DOBD+BDBD，BE：EDBD：BD1：3，BFAD，BEFDEA，BEF的周长：DEA的周长BE：ED1：3.18.已知，如图，在梯形ABCD中，ADBC，对角线AC与BD相交于点O.若，S
18、BOCm，试求AOD的面积.解答：过点D作DEAC于E，则，又AO+OCAC，ADBC，()2，即，SAOD.19.如图，在ABC中，点P是BC边上任意一点（点P与点B，C不重合），平行四边形AFPE的顶点F，E分别在AB，AC上已知BC2，SABC1设BPx，平行四边形AFPE的面积为y（1）求y与x的函数关系式；（2）上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x取何值时，y有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由解答：（1）四边形AFPE是平行四边形，PFCA，BFPBAC，()2，SABC1，SBFP，同理：SPEC()2，y1，yx2+x；（2）上述函数有最大值，最大值为 ；理由如下：y
19、x2+x (x1)2+，又0，y有最大值，当x1时，y有最大值，最大值为20.已知：如图，在RtABC中，BAC90，ADBC于D，E为直角边AC的中点，过D，E作直线交AB的延长线于F.求证：.解答：BAC90，ADBC，BACADB90，又ABCABD，CBAABD，CFAD，又E为AC的中点，ADBC，EDECAC，CEDC，又EDCFDB，FADFDB，FF，DBFADF，.21.已知，如图，在ABC中，P是边AB上一点，ADCP，BECP，垂足分别为D、E，AC3，BC3，BE5，DC.求证：（1）RtACDRtCBE；（2）ACBC.解答：（1）ADCP，BECP，EADC90，A
20、C3，BC3，BE5，DC，,RtACDRtCBE；（2）RtACDRtCBE，ACDCBE，CBE+ECB90，ACD+ECB90，即ACB90，ACBC.22.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F是AD上的点，且AEEFFD连接BE、BF，使它们分别与AO相交于点G、H（1）求EG：BG的值；（2）求证：AGOG；（3）设AGa，GHb，HOc，求a：b：c的值解答：（1）四边形ABCD是平行四边形，AOAC，ADBC，ADBC，AEGCBG，AEEFFD，BCAD3AE，GC3AG，GB3EG，EG：BG1：3；（2）GC3AG，AC4AG，AOAC2AG，
21、GOAOAGAG；（3）AEEFFD，BCAD3AE，AF2AEADBC，AFHCBH，即AHACAC4AG，aAGAC，bAHAGACACAC，cAOAHACACAC，a：b：c：5：3：223.如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接GA、GB、GC、GD、EF，若AGDBGC. 图1 图2（1）求证：ADBC；（2）求证：AGDEGF；（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值.解答：（1）证明：GE是AB的垂直平分线，GAGB，同理GDGC，在AGD和BGC中，GAGB，AGDBGC，GDGC， AGD BGC， ADBC. （2）证明：AGDBGC，AGBDGC，在AGB和DGC中， ，AGBDGC.，AGBDGC， ，又AGEDGF，AGDEGF，AGDEGF. （3）解：如图，延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，则AHBH，由AGDBGC，知GADGBC，在GAM和HBM中，GADGBC，GMAHMB，图 AGBAHB90，AGEAGB45， ，又AGDEGF， .