1、5.6函数yAsin(x)5.6.1匀速圆周运动的数学模型5.6.2函数yAsin(x)的图象学 习 目 标核 心 素 养1.理解参数A，对函数yAsin(x)的图象的影响；能够将ysin x的图象进行变换得到yAsin(x)，xR的图象(难点)2.能根据yAsin(x)的部分图象，确定其解析式(重点)3.求函数解析式时值的确定(易错点)1.通过函数图象的变换，培养直观想象素养.2.借助函数的图象求解析式，提升数学运算素养.1对ysin(x)，xR的图象的影响2(0)对ysin(x)的图象的影响3A(A0)对yAsin(x)的图象的影响1把函数ysin x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解
2、析式为()Aysin xBysin xCysin DysinD根据图象变换的方法，ysin x的图象向左平移个单位长度后得到ysin的图象2为了得到函数y4sin，xR的图象，只需将函数y4sin，xR的图象上的所有点()A横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变A函数y4sin的图象上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y4sin的图象3函数yAsin(x)1(A0，0)的最大值为5，则A_.4由已知得A15，故A4.三角函数图象之间的变换【例1】(1)将函数ycos的图象向左平移个单位
3、长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为_(2)将ysin x的图象怎样变换可得到函数y2sin2x1的图象？思路点拨(1)依据左加右减；上加下减的规则写出解析式(2)法一：ysin x纵坐标伸缩横坐标伸缩和平移向上平移法二：左右平移横坐标伸缩纵坐标伸缩上下平移(1)ycos 2x3ycos的图象向左平移个单位长度，得ycoscos(2x)cos 2x，再向下平移3个单位长度得ycos 2x3的图象(2)解法一：(先伸缩法)把ysin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y2sin x的图象；将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y2sin 2x的图象；将所得图象沿x
4、轴向左平移个单位，得y2sin 2的图象；将所得图象沿y轴向上平移1个单位，得y2sin1的图象法二：(先平移法)将ysin x的图象沿x轴向左平移个单位，得ysin的图象；将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得ysin的图象；把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来2倍，得到y2sin的图象；将所得图象沿y轴向上平移1个单位，得y2sin1的图象由ysin x的图象，通过变换可得到函数yAsin(x)(A0，0)的图象，其变化途径有两条：(1)ysin xysin(x)ysin(x)yAsin(x)(2)ysin xysin xysinsin(x)yAsin(x)提醒：两种途径的变换顺序不
5、同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|个单位(2)是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很易出错的地方，应特别注意1(1)要得到ycos的图象，只要将ysin 2x的图象()A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位(2)把函数yf(x)的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是y2sin，则f(x)的解析式是()Af(x)3cos x Bf(x)3sin xCf(x)3cos x3 Df(x)sin 3x(1)A(2)A(1)因为ycossinsinsin 2，所以将ysin 2x的图
6、象向左平移个单位，得到ycos的图象(2)y2siny3siny3siny3sin3sin3cos x已知函数图象求解析式【例2】(1)已知函数f(x)Acos(x)B的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为()Ay2cos4 By2cos4Cy4cos2 Dy4cos2(2)函数f(x)Asin(x)中A0，0，|，且图象如图所示，求其解析式思路点拨由最大(小)值求A和B，由周期求，由特殊点坐标解方程求.(1)A由函数f(x)的最大值和最小值得AB6，AB2，所以A2，B4，函数f(x)的周期为44，又0，所以，又因为点在函数f(x)的图象上所以62cos4，所以cos1，所以2k，kZ
7、，所以2k，kZ，又|所以，所以f(x)2cos4.(2)解法一：(五点作图原理法)由图象知，振幅A3，T，所以2，又由点，根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)20得，所以f(x)3sin.法二：(方程法)由图象知，振幅A3，T，所以2，又图象过点，所以f3sin0，所以sin0，k(kZ)，又因为|，所以k0，所以f(x)3sin.法三：(变换法)由图象知，振幅A3，T，所以2，且f(x)Asin(x)是由y3sin 2x向左平移个单位而得到的，解析式为f(x)3sin3sin.确定函数yAsin(x)的解析式的关键是的确定，常用方法有：(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时
8、A，已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).(2)五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口.“五点”的x的值具体如下：,“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为x0；,“第二点”(即图象的“峰点”)为x；,“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为x；,“第四点”(即图象的“谷点”)为x；,“第五点”为x2.2已知函数f(x)Asin(x)，xR的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为，且图象上一个最低点为M，求f(x)的解析式解由最低点M，得A2.在x轴上两相邻交点之间的距离为，故，即T，2.由点M在图象上得2sin2，即sin1
9、，故2k(kZ)，2k(kZ)又，.故f(x)2sin.三角函数图象与性质的综合应用探究问题1如何求函数yAsin(x)与yAcos(x)的对称轴方程？提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数yAsin()和yAcos(x)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x轴函数yAsin(x)对称轴方程的求法：令sin(x)1，得xk(kZ)，则x(kZ)，所以函数yAsin(x)的图象的对称轴方程为x(kZ)；函数yAcos(x)对称轴方程的求法：令cos(x)1，得xk(kZ)，则x(kZ)，所以函数yAcos(x)的图象的对称轴方程为x(kZ)2如何求函数yAsin(x)与yAcos(x)的对称
10、中心？提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数yAsin(x)和yAcos(x)图象的对称中心即函数图象与x轴的交点函数yAsin(x)对称中心的求法：令sin(x)0，得xk(kZ)，则x(kZ)，所以函数yAsin(x)的图象关于点(kZ)成中心对称；函数yAcos(x)对称中心的求法：令cos(x)0，得xk(kZ)，则x(kZ)，所以函数yAcos(x)的图象关于点(kZ)成中心对称【例3】(1)已知函数f(x)sin(0)，若ff，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则()A.B. C.D.(2)已知函数f(x)sin(x)(0,0)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调
11、函数，求和的值思路点拨(1)先由题目条件分析函数f(x)图象的对称性，何时取到最小值，再列方程求的值(2)先由奇偶性求，再由图象的对称性和单调性求.(1)B因为ff，所以直线x是函数f(x)图象的一条对称轴，又因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，所以当x时，f(x)取得最小值所以2k，kZ，解得8k，(kZ)又因为T，所以12，又因为0，所以k1，即8.(2)解由f(x)是偶函数，得f(x)f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴对称，f(x)在x0时取得最值，即sin 1或1.依题设0，解得.由f(x)的图象关于点M对称，可知sin0，即k，解得，kZ.又f(x)在上是单调函数，所以T，即
12、.2，又0，k1时，；k2时，2.故，2或.1将本例(2)中“偶”改为“奇”，“其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数”改为“在区间上为增函数”，试求的最大值解因为f(x)是奇函数，所以f(0)sin 0，又0，所以0.因为f(x)sin x在上是增函数所以，于是，解得0，所以的最大值为.2本例(2)中增加条件“1”，求函数yf2(x)sin 2x，x的最大值解由条件知f(x)sincos 2x，由x得2x，sin 2xyf2(x)sin 2xcos22xsin 2x1sin22xsin 2x(sin 2x)2所以当sin 2x时ymax.1正弦余弦型函数奇偶性的判断方法正弦型函数yAsin
13、(x)和余弦型函数yAcos(x)不一定具备奇偶性对于函数yAsin(x)，当k(kZ)时为奇函数，当k(kZ)时为偶函数；对于函数yAcos(x)，当k(kZ)时为偶函数，当k(kZ)时为奇函数2与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间(2)确定函数yAsin(x)(A0，0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将x看作一个整体，可令“zx”，即通过求yAsin z的单调区间而求出函数的单调区间若0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间1准确理解“图象变换法”(1)由ysin x到ysin (x)的图象变换称为相位变换，由
14、ysin x到ysin x图象的变换称为周期变换；由ysin x到yAsin x图象的变换称为振幅变换(2)由ysin x的图象，通过变换可得到函数yAsin (x)的图象，其变换途径有两条，注意两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：是先相位变换后周期变换，平移|个单位是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很易出错的地方，应特别注意(3)类似地yAcos (x)(A0，0)的图象也可以由ycos x的图象变换得到2由yAsin (x)的图象性质或部分图象确定解析式的关键在于确定参数A，.其基本方法是在观察图象的基础上，利用待定系数法求解.1思考辨析(1)ysin 3x的图象向左平移
15、个单位所得图象的解析式是ysin.()(2)ysin x的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是ysin 2x.()(3)ysin x的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是ysin x()提示(1)错误ysin 3x的图象向左平移个单位得ysinsin.(2)错误ysin 2x应改为ysinx.(3)错误ysin x应改为y2sin x.答案(1)(2)(3)2函数ycos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为ycos x，则的值为_函数ycos xycosx.所以.3由y3sin x的图象变换到y3sin的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移_个单位，后者需向左平移_个单位y3sin xy3siny3sin，y3sin xy3siny3sin3sin.4已知函数f(x)3sin3(xR)，用图象变换法画出它在一个周期内的闭区间上的图象解
