1、第8讲函数与方程考纲解读1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的关系，能够判断一元二次方程根的存在性与根的个数(重点、难点)2根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解考向预测从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，尤其是函数零点(方程的根)个数的判断及由零点存在性定理判断零点是否存在预测2021年高考将以零点个数的判断或根据零点的个数求参数的取值范围为主要命题方向，以客观题或解答题中一问的形式呈现.1.函数的零点(1)定义：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点(2)三个等价关系(3)存在性定理2用二分法求函数f(x)零点近似值
2、(1)确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度；(2)求区间(a，b)的中点x1；(3)计算f(x1)若f(x1)0，则x1就是函数的零点；若f(a)f(x1)0，则令bx1(此时零点x0(a，x1)；若f(x1)f(b)0，则令ax1(此时零点x0(x1，b)(4)判断是否达到精确度：即若|ab|0)的图象与零点的关系b24ac000)的图象与x轴的交点21无零点个数2101概念辨析(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)若f(x)在区间a，b上连续不断，且f(a)f(b)0，则
3、f(x)在(a，b)内没有零点()(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值()(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0，则函数f(x)在a，b上有且只有一个零点()答案(1)(2)(3)(4)(5)2小题热身(1)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x12345F(x)42147在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为()A(1,2) B(2,3) C(3,4) D(4,5)答案B解析由已知得f(2)f(3)0，所以函数f(x)必有零点的区间为(2,3)(2)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()答案A解析能用二
4、分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，由图象可得，只有A不满足此条件故选A.(3)函数f(x)xx零点的个数为()A0 B1 C2 D3答案B解析函数f(x)xx零点的个数是方程xx0的解的个数，即方程xx的解的个数，也就是函数yx与yx图象的交点个数在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得交点个数为1.故函数f(x)xx零点的个数为1.(4)若二次函数f(x)x2kxk在R上无零点，则实数k的取值范围是_答案(0,4)解析因为f(x)x2kxk在R上无零点，所以方程x2kxk0无实根，所以k24k0，解得0k1时，由f(x)1log2x0，解得x，因为x1，所以此时方程无解综
5、上，函数f(x)的零点只有0，故选D.2若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内 B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内 D(，a)和(c，)内答案A解析由已知得，f(x)是二次函数，其图象是开口向上的抛物线，又因为ab0，f(b)(bc)(ba)0.由零点存在性定理得函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内3(2019青岛二中模拟)已知函数f(x)2xlogx，且实数abc0满足f(a)f(b)f(c)0.若实数x0是函数yf(x)的一个零点，则下列不等式中不可能成立的是()Ax0
6、a Cx0b Dx0bc0满足f(a)f(b)f(c)0，所以f(a)，f(b)，f(c)可能都小于0或有1个小于0,2个大于0，如图，则A，B，C可能成立，D不可能成立故选D.函数零点所在区间的判断方法及适合题型方法解读适合题型解方程法可先解对应方程，然后看所求的根是否落在给定区间上当对应方程f(x)0易解时如举例说明1续表方法解读适合题型定理法利用函数零点的存在性定理进行判断能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负如举例说明2图象法画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断容易画出函数的图象如举例说明31在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间可能为()A.
7、B. C. D.答案D解析因为fe43e40，f(0)1320，fe43e10.所以ff0时，由1lg x0，解得x；当x0时，由x2x0，解得x0或1.所以函数f(x)的零点是1,0，.题型 二函数零点个数的判定1已知函数f(x)则函数yf(x)3x的零点个数是()A0 B1 C2 D3答案C解析由已知得yf(x)3x令x2x0，解得x0或x1.令13x0(x0)可得3x2x10.因为1120，sinx0，所以f(x)0，故f(x)在0,1上单调递增，且f(0)10，所以f(x)在0,1内有唯一零点当x1时，f(x)cosx0，故函数f(x)在0，)上有且仅有一个零点，故选B.2偶函数f(x
8、)满足f(x1)f(x1)，且在x0,1时，f(x)x2，则关于x的方程f(x)x在上的根的个数是()A1 B2 C3 D4答案C解析因为f(x)为偶函数，所以当x1,0时，x0,1，所以f(x)x2，即f(x)x2.又f(x1)f(x1)，所以f(x2)f(x)，故f(x)是以2为周期的周期函数，据此在同一坐标系中作出函数yf(x)与yx在上的图象如图所示，数形结合得两图象有3个交点，故方程f(x)x在上有3个根题型 三函数零点的应用角度1根据函数的零点(或方程的根)的个数求参数1(2019衡水模拟)已知函数f(x)(e为自然对数的底数)，若关于x的方程f(x)a0有两个不相等的实根，则a的
9、取值范围是()Aa1 B1a1C0a1 Da1答案C解析画出函数f(x)的图象如图所示，若关于x的方程f(x)a0有两个不相等的实根，则函数f(x)与直线ya有两个不同交点，由图可知1a0，所以00.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_答案(3，)解析f(x)的大致图象如图所示，若存在bR，使得方程f(x)b有三个不同的根，只需4mm20，所以m3.组基础关1若函数f(x)axb有一个零点是2，那么函数g(x)bx2ax的零点是()A0,2 B0， C0， D2，答案C解析因为函数f(x)axb有一个零点是2，所以2ab0，b2a，所以g(x)bx2ax2
10、ax2axax(2x1)，由g(x)0得x0或，故g(x)的零点是0，.2(2020佳木斯摸底)已知函数yf(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：123456124.4337424.536.7123.6则函数yf(x)在区间1,6上的零点至少有()A2个 B3个 C4个 D5个答案B解析由表可知，f(2)0，f(3)0，f(5)0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)上均至少有一个零点，所以函数yf(x)在区间1,6上的零点至少有3个3在用二分法求方程x32x10的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定该根所在的区间为(
11、)A. B. C. D.答案D解析设f(x)x32x1，一根在区间(1,2)上，根据二分法的规则，取区间中点，因为f(1)20，f40，所以下一步可以断定该根所在的区间是，故选D.4若函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A(1,3) B(1,2) C(0,3) D(0,2)答案C解析因为函数f(x)2xa在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)f(2)0，所以(a)(41a)0，即a(a3)0，解得0a3.5函数f(x)|x2|ln x在定义域内的零点的个数为()A0 B1 C2 D3答案C解析作出函数y|x
12、2|与g(x)ln x的图象，如图所示由图象可知两个函数的图象有两个交点，即函数f(x)在定义域内有2个零点故选C.6(2019江西三校联考)设函数ylog2x1与y22x的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)答案C解析设f(x)(log2x1)22x，则f(2)112010.所以函数f(x)在区间(2,3)内有零点所以x0(2,3)7若函数f(x)2ax2x1在(0,1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是()A(1,1) B1，)C(1，) D(2，)答案C解析当a0时，函数f(x)的零点是1，1x|0x1；当0，即a时，
13、函数f(x)的零点是2，2x|0x0时，由f(x)0，即xln x0得ln x0，解得x1；当x0时，由f(x)0，即x2x20，解得x1或x2.因为x0，所以x1.综上，函数的零点为1，1.9若函数f(x)2xa2a在(，1上存在零点，则正实数a的取值范围是_答案(0,1解析当x(，1时，2x(0,2由函数f(x)2xa2a在(，1上存在零点，可得01时，直线yxa与ylog2x只有一个交点组能力关1函数f(x)xcos(x22x3)在区间1,4上的零点个数为()A5 B4 C3 D2答案B解析由题意可知x0或cos(x22x3)0，又x1,4，所以x22x3(x1)244,5，当cos(x
14、22x3)0时，x22x3k，kZ，在相应的范围内，k只有1,0,1三个值可取，所以总共有4个零点，故选B.2(2019石家庄模拟)设方程10x|lg (x)|的两个根分别为x1，x2，则()Ax1x21 D0x1x21答案D解析作出y10x与y|lg (x)|的大致图象，如图显然x10，x20.不妨设x1x2，则x11，1x20，所以10x1lg (x1)，10x2lg (x2)，此时10x110x2，即lg (x1)lg (x2)，由此得lg (x1x2)0，所以0x1x21.3已知函数f(x)x2x，g(x)xln x，h(x)x1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关
15、系是_(由小到大)答案x1x2x3解析令y12x，y2ln x，y31，yx，函数f(x)x2x，g(x)xln x，h(x)x1的零点分别为x1，x2，x3，即函数y12x，y2ln x，y31与函数yx交点的横坐标分别为x1，x2，x3.分别作出函数的图象，结合图象可得x1x20)，则t2mt10.当0时，即m240，所以m2，当m2时，t1；当m2时，t1(不符合题意，舍去)所以2x1，x0符合题意当0时，即m2或m2，t2mt10有两正或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点所以这种情况不符合题意综上可知，当m2时，f(x)有唯一零点(2)由(1)可知，该函数的零点为0.5(2019昆明模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上f(x)x，若关于x的方程f(x)logax有三个不同的实根，求a的取值范围解由f(x4)f(x)知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f(x4)f(x)f(4x)，所以函数图象关于x2对称，且f(2)f(6)f(10)2，要使方程f(x)logax有三个不同的根，则如图满足解得a，故a的取值范围是(，)