1、第7讲函数的图象考纲解读1.掌握基本初等函数的图象特征，能熟练地运用基本初等函数的图象解决问题2掌握作函数图象的常用方法：描点法；平移法；对称法(重点)3能运用函数图象理解和研究函数的性质、解决方程解的个数或与不等式相关的问题(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的热点预测2021年高考将会考查：已知函数解析式识别函数的图象；利用函数图象求函数零点的个数、解不等式或求参数的取值范围题型以客观题为主，在解答题中也会用到数形结合的思想进行求解.1.利用描点法作函数图象的流程2变换法作图(1)平移变换提醒：对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减(2)对称变
2、换yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)；yax(a0且a1)ylogax(a0且a1)(3)翻折变换yf(x)y|f(x)|；yf(x)yf(|x|)(4)伸缩变换1概念辨析(1)当x(0，)时，函数yf(x)与yf(|x|)的图象相同()(2)函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称()(3)若函数yf(x)满足f(1x)f(1x)，则函数f(x)的图象关于直线x1对称()(4)若函数yf(x)满足f(x)f(x)0，则函数f(x)的图象关于点(，0)中心对称()答案(1)(2)(3)(4)2小题热身(1)设ab，函数y(xa)2(xb)的图象可能是()答案C
3、解析因为(xa)20，所以当xb时，y0，当xb时，y0，对照四个选项，C中的图象符合题意(2)将函数yf(x)的图象向右平移1个单位长度得到()A函数yf(x1)的图象B函数yf(x1)的图象C函数yf(x)1的图象D函数yf(x)1的图象答案B解析函数yf(x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数yf(x1)，即yf(x1)的图象(3)把函数yln x的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数解析式是_答案yln 解析函数f(x)ln x的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数解析式是fln ，即yln .(4)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x
4、)log2(x1)的解集是_答案(1,1解析作出函数ylog2(x1)的图象，如图所示：其中函数f(x)与ylog2(x1)的图象的交点为D(1,1)，由图象可知f(x)log2(x1)的解集为x|11，f()0，排除B，C.故选D.2已知定义在区间0,2上的函数yf(x)的图象如图所示，则yf(2x)的图象为()答案B解析解法一：由yf(x)的图象知，f(x)当x0,2时，2x0,2，所以f(2x)故yf(2x)图象应为B.解法二：当x0时，f(2x)f(2)1；当x1时，f(2x)f(1)1.观察各选项，可知应选B.函数图象辨识的策略(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，
5、判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性，如举例说明1.(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象，如举例说明1. 1函数f(x)sin(x)e的图象可能是()答案A解析由fe0，排除D；由f(x)f(x)，可知f(x)是奇函数，可排除C；由fsineee01，可排除B.故选A.2如图，在不规则图形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线lAB于点E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AEx，左侧部分面积为y，则y关于x的大致图象为()答案D解析直线l
6、在AD圆弧段时，面积y的变化率逐渐增大，l在DC段时，y随x的变化率不变；l在CB段时，y随x的变化率逐渐变小，故选D.题型 三函数图象的应用角度1研究函数的性质1设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知当x0,1时，f(x)1x，则下列说法：2是函数f(x)的周期；函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；函数f(x)的最大值是1，最小值是0；当x(3,4)时，f(x)x3.其中所有正确说法的序号是_答案解析由已知条件，得f(x2)f(x)，故yf(x)是以2为周期的周期函数，正确；当1x0时，0x1，f(x)f(x)1x，函数yf(x)的图
7、象如图所示，当3x4时，1x40，f(x)f(x4)x3，因此正确，不正确角度2解不等式2(2019昆明检测)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且f(x)在(，0)上是减函数，f(2)0，g(x)f(x2)，则不等式xg(x)0的解集是()A(，22，)B4，20，)C(，42，)D(，40，)答案C解析依题意，画出函数g(x)的大致图象如图，则xg(x)0或由图可得xg(x)0的解集为(，42，)3不等式3sinxlogx0的整数解的个数为()A2 B3 C4 D5答案A解析不等式3sinxlogx0可化为3sinxlogx，作出函数y3sinx和ylogx的图象如图所示：结合图象可知，
8、3sinxbc”是“x1”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析由图可知，“x1”“abc”，但“abc” “x1”，即“abc”是“x1”的必要不充分条件故选B.3(2019山西四校联考)已知函数f(x)|x21|，若0ab且f(a)f(b)，则b的取值范围是()A(0，) B(1，)C(1，) D(1,2)答案C解析依题意，f(x)|x21|，作出f(x)的图象如图所示因为0ab且f(a)f(b)，设直线y1与函数f(x)图象的最右边的交点是A，函数f(x)图象与x轴正半轴的交点是B，所以要使得在(0，)上存在两个数a，b，使得它们的函数值f(
9、a)f(b)，则a(0，xA)，b(0，xA)，又ba，所以b(xB，xA)，易得xB1，当y1时，|x21|1，x.所以xA，b(1，)高频考点高考中的函数图象及应用问题考点分析高考中函数图象问题的考查主要有函数图象的识别、变换及应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决，所以熟练掌握高中所学的几种基本初等函数的图象是解决问题的前提1特殊点法典例1函数ylg 的大致图象为()答案D解析函数ylg 的定义域为x|x1，由此排除A，C.当x9时，ylg 10.由此排除B.故选D.2性质检验法典例2(2019全国卷)函数y在6,6的图象大致为()答案B解析yf(x
10、)，x6,6，f(x)f(x)，f(x)是奇函数，排除C.当x4时，y(7,8)，排除A，D.故选B.3导数法典例3若函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式是()Af(x)xsinxBf(x)Cf(x)xcosxDf(x)x答案C解析由图象知函数为奇函数，排除D，又f0，排除A，又当0x时，0，所以f(x)在上为减函数，排除B，故选C.4图象变换法典例4函数f(x)则yf(1x)的图象是()答案C解析因为f(x)所以f(1x)故选C.方法指导1.用特殊点法破解函数图象问题需寻找特殊的点，即根据已知函数的图象或已知函数的解析式，取特殊点，判断各选项的图象是否经过该特殊点，从而得正
11、确的选项在求函数值的过程中运算一定要认真，从而准确进行判断2已知函数解析式，判断其图象的关键：由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，根据这些性质对函数图象进行具体的分析和判断，即可得出正确选项若能熟记基本初等函数的性质，则此类题就不攻自破3判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数的定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值4有关函数yf(x)与函数yaf(bxc)h的图象问题的判断，熟练掌握图象的平移变换(左加右减
12、，上加下减)、对称变换、伸缩变换等，便可破解此类问题组基础关1向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数hf(t)的大致图象如图所示，则杯子的形状可能是()答案A解析由图可知，高度的增长速率是先慢后快，且都是匀速增长，所以只有A满足故选A.2函数f(x)的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线yex关于y轴对称，则f(x)的解析式为()Af(x)ex1 Bf(x)ex1Cf(x)ex1 Df(x)ex1答案D解析与曲线yex关于y轴对称的曲线是函数yex的图象，此函数图象向左平移1个单位得到函数f(x)的图象，所以f(x)e(x1)ex1.3(2019郑州模拟)我国著名数学家华罗庚先
13、生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征如函数f(x)的图象大致是()答案D解析由f(x)，易得f(x)为非奇非偶函数，排除A，B.当x时，f(x)0，排除C，故选D.4使log2(x)0，即x0，根据ylog2(x)和yx1的图象，且log2(x)1，则满足条件的x(1,0)5.函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()Af(x)x2(x22)Bf(x)xcosxCf(x)xsinxDf(x)x2cosx1答案C解析当x(0，)时，f(x)0，排除A；
14、由图知f(x)是偶函数，而f(x)xcosx是非奇非偶函数，排除B；又f()0，而D中f()0，排除D.故选C.6若函数f(x)的图象如图所示，则f(3)等于()A B C1 D2答案C解析由函数f(x)的图象可知解得a2，b5，所以f(x)所以f(3)2(3)51.7若函数yf(2x1)是偶函数，则函数yf(x)图象的对称轴方程是()Ax1 Bx1 Cx2 Dx2答案A解析因为yf(2x1)f，所以将函数yf(x)图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，可以得到函数yf(2x)的图象，将函数yf(2x)的图象向左平移个单位，可以得到yf(2x1)f的图象因为函数yf(2x1)是偶函数，所以函数
15、yf(2x1)的图象的对称轴方程为x0.所以函数yf(2x)的图象的对称轴方程为x，函数yf(x)的图象的对称轴方程为x1.故选A.8用mina，b，c表示a，b，c三个数中的最小值，设f(x)min2x，x2,10x(x0)，则f(x)的最大值为()A4 B5 C6 D7答案C解析y10x是减函数，yx2是增函数，y2x是增函数，在同一平面直角坐标系中作出函数y10x，yx2，y2x的图象，如图1.yx2与y2x的交点是A，B，yx2与y10x的交点为C(4,6)，则函数f(x)的图象如图2，C为最高点，所以f(x)的最大值为6.9函数f(x)的图象与直线ykx1交于不同的两点(x1，y1)
16、，(x2，y2)，则y1y2_.答案2解析因为f(x)1，所以f(x)的图象关于点(0,1)对称因为直线ykx1的图象过点(0,1)，所以两图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)关于点(0,1)对称，所以1，所以y1y22.10若直线y1与曲线yx2|x|a有四个交点，则a的取值范围是_答案解析yx2|x|a作出函数图象如图所示此曲线与y轴交于点(0，a)，最小值为a，要使y1与其有四个交点，只需a1a，所以1a.组能力关1(2019南昌模拟)已知函数f(x)ln (1x)，若函数g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x1对称，则g(3)()Aln 2 Bln 2 C0 Dln 3答案A解析
17、因为函数g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x1对称，所以g(3)f(1)ln 1(1)ln 2.2(2020福州模拟)已知偶函数yf(x)(xR)在区间1,0上单调递增，且满足f(1x)f(1x)0，给出下列五个结论：f(5)0；f(x)在1,2上是减函数；函数f(x)没有最小值；函数f(x)在x0处取得最大值；f(x)的图象关于直线x1对称其中所有正确结论的编号是()A B C D答案B解析因为f(1x)f(1x)0，所以f(1x)f(1x)f(x1)，所以f(2x)f(x)，所以f(x4)f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数由题意知，函数yf(x)(xR)关于点(1,0)对称，画出满足条件的图象如图所示，结合图象可知正确3函数f(x)是定义在4,4上的偶函数，其在0,4上的图象如图所示，那么不等式0，当x时，ycosx0.结合yf(x)，x0,4上的图象知，当1x时，0.又函数y为偶函数，所以在4,0上，0的解集为，所以不等式0的解集为.4已知函数f(x)若在该函数的定义域0,6上存在互异的3个数x1，x2，x3，使得k，则实数k的取值范围是_答案解析由题意知，直线ykx与函数yf(x)的图象至少有3个公共点函数yf(x)，x0,6的图象如图所示，由图知k的取值范围是.